презентации лекций по 1 разделу

Статистическое моделирование и
параллельные вычисления.
Глава 1.
Введение в методы Монте-Карло
И. Б. Мееров,
к.т.н., каф. МО ЭВМ, ВМК, ННГУ
Проект «Виртуоз-2005»
Содержание
1. Введение.
2. Статистическое моделирование как научное
направление.
3. Метод статистических испытаний (методы
Монте-Карло). История метода.
4. Случайность и имитация случайности.
5. Заключение.
6. Литература.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
2
Вместо напутствия
Если люди не полагают,
что
математика
проста,
то
только
потому,
что
они
не
понимают,
как на самом деле сложна жизнь.
Джон фон Нейман
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
3
Содержание
1. Введение.
2. Статистическое моделирование как научное
направление.
3. Метод статистических испытаний (методы
Монте-Карло). История метода.
4. Случайность и имитация случайности.
5. Заключение.
6. Литература.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
4
Введение
•
•
•
•
•
Предметная область.
Заказчик (в широком смысле).
Задача.
Пусть постановка понятна (далеко не всегда так).
Как ее решать?
• Принципиальная разница –
простые и сложные задачи.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
5
Введение
Простые и сложные задачи
• Простые задачи (признаки)
• Легко понять постановку и согласовать цели.
• Один человек может удержать в голове
необходимую информацию.
• Один человек как правило может решить в
требуемые сроки.
• Достаточно просто (понятно, как именно) устроена
моделируемая система.
• …
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
6
Введение
Простые и сложные задачи
• Сложные задачи (признаки)
• Трудно понять и согласовать постановку задачи и
конечные цели.
• Один человек не в состоянии удержать в голове все
подробности.
• Требуется привлекать большой коллектив
специалистов.
• Необходимы специальные механизмы борьбы со
сложностью.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
7
Введение
Простые и сложные задачи
Основная мысль:
сложные задачи сложны сами по себе.
Далее всюду подразумеваем сложные задачи.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
8
Введение
• Есть задача.
• Как ее решать?
современные реалии –
часто используем возможности ВТ
• Возможная схема (сокращенный вариант):
• Постановка задачи;
• Анализ предметной области;
• Построение математической модели;
• Разработка алгоритма;
• Программирование;
• Тестирование и отладка;
• Сопровождение.
Схема циклическая.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
9
Введение
• Реализация схемы связана со множеством
проблем.
• Разные курсы покрывают разные проблемы.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
10
Введение
• Рассмотрим некоторые проблемы:
• Понятно, как устроена система, но сложное
устройство не позволяет построить адекватную
модель, которая учитывает все факторы.
• Модель построена, но нет хорошего алгоритма,
точно решающего задачу за требуемое время.
• Модель содержит факторы неопределенности.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
11
Введение
• Возможное решение проблемы:
• Стремимся получить приближенное решение с
заданной точностью – часто этого достаточно.
• Стремимся уйти от моделирования каждого
компонента системы по отдельности. Моделируем
поведение системы целиком.
• Используем аппарат теории вероятности и
математической статистики для моделирования
факторов неопределенности.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
12
Введение
Курс посвящен рассмотрению
статистического моделирования –
численного метода решения математических
задач.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
13
Введение
Из этого раздела мы узнаем:
• Что такое статистическое моделирование?
• Что такое методы Монте-Карло?
• Какова вычислительная схема методов МонтеКарло?
• Где и как ее можно применить?
• Что такое случайные и псевдослучайные числа?
• Что такое генератор случайных чисел?
• Какие генераторы бывают?
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
14
Содержание
1. Введение.
2. Статистическое моделирование как
научное направление.
3. Метод статистических испытаний (методы
Монте-Карло). История метода.
4. Случайность и имитация случайности.
5. Заключение.
6. Литература.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
15
Понятие статистического
моделирования
Статистическое моделирование – численный
метод решения математических задач, при
котором:
1) искомые
величины
представляют
вероятностными характеристиками какого-либо
случайного явления,
2) это явление моделируется,
3) нужные
характеристики
приближённо
определяют путём статистической обработки
«наблюдений» модели.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
16
Пример –
вычисление интеграла
y
b
I   f ( x)dx
a
y = f(x)
I ?
x
0
xi
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
17
Пример –
вычисление интеграла
b
I   f ( x)dx
a
Рассмотрим случайную величину X, равномерно распределенную на [a,b].
b
1
1
E ( f ( X )) 
f
(
x
)
dx

I,

ba a
ba
I  (b  a) E ( f ( X )).
Оценим I по выборке размера N :
N
Iˆ  (b  a)
 f (x )
i
i 1
N
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
18
Пример –
вычисление интеграла
b
y
I   f ( x)dx
a
N
Iˆ  (b  a )
y = f(x)
 f (x )
i
i 1
N
x
0
xi
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
19
Пример - итоги
• Просто?
• Понятно?
• Элементарно?
• Нет сложных квадратурных формул?
• Почему существуют и другие методы?
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
20
Пример - итоги
• Все не так просто – вспоминаем про
погрешность.
• Нужно суметь обеспечить качество оценки.
• Об этом далее…
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
21
Схема проведения вычислений в
статистическом моделировании
Искомую
величину
представляют
математическим
ожиданием
числовой
функции f от случайного исхода w некоторого
явления:
E ( f ( ))   f ( )dP
(1.1)
т. е. интегралом по вероятностной мере Р.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
22
Схема –
неформальное определение
Для того, чтобы оценить некоторое значение,
необходимо:
• подобрать случайную величину так, чтобы ее
математическое ожидание равнялось искомому
значению.
• пронаблюдать случайную величину.
• оценить по выборке ее математическое ожидание.
Полученный результат можно считать оценкой
искомого значения.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
23
Наблюдение
случайной величины
• Как наблюдать случайную величину?
• Необходимо
тем
или
иным
образом
генерировать случайные числа, имеющие
заданное распределение.
• Об этом далее в курсе и в лекции…
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
24
Области применения
статистического моделирования
Статистическое
моделирование
широко
применяется для решения задач из различных
областей человеческого знания.
Среди них такие актуальные области как
• биология;
• химия;
• физика;
• экономика;
• ...
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
25
Области применения
статистического моделирования
Примеры задач:
• численное интегрирование,
• расчеты в системах массового обслуживания,
• расчеты качества и надежности изделий,
• расчеты прохождения нейтронов сквозь пластину,
• передача сообщений при наличии помех,
• задачи теории игр,
• задачи динамики разреженного газа,
• задачи дискретной оптимизации,
• задачи финансовой математики (оценивание
опционов и др.)
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
26
Природа задач
Часть этих задачи имеют очевидную
вероятностную природу:
• системы массового обслуживания;
• финансовая математика).
Часть не имеет:
• вычисление определенного интеграла.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
27
Содержание
1. Введение.
2. Статистическое моделирование как научное
направление.
3. Метод статистических испытаний
(методы Монте-Карло). История метода.
4. Случайность и имитация случайности.
5. Заключение.
6. Литература.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
28
Метод статистических испытаний
(методы Монте-Карло)
Говоря о статистическом моделировании,
люди часто подразумевают, что речь идет о так
называемом
методе
статистических
испытаний (методах Монте-Карло).
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
29
Метод статистических испытаний
(методы Монте-Карло)
Метод
статистических
испытаний
(метод Монте-Карло) – метод вычислительной
и прикладной математики, основанный на
моделировании
случайных
величин
и
построении статистических оценок для
искомых величин.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
30
История метода Монте-Карло
1944 год
В связи с работами по созданию атомных реакторов
американские учёные Дж. фон Нейман и С. Улам
начали широко применять аппарат теории вероятностей
для решения прикладных задач с помощью ЭВМ.
На самом деле примеры применения можно
обнаружить и ранее:
• Бюффон (число );
• Ферми (нейтронные потоки);
• …
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
31
История метода Монте-Карло
Основоположники:
Stanislaw Marcin Ulam Nicholas Constantine Metropolis
John von Neumann
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
32
История метода Монте-Карло
•
•
•
фон Нейман – математический базис;
Улам – идея о применении компьютеров;
Метрополис – название, статьи…
Происхождение названия – рулетка казино как способ
генерации случайных чисел.
Источник – военные исследования по заказу Министерства
обороны США.
Далее эти исследования не стали носить секретного
характера, и результаты были успешно внедрены в разных
областях, благодаря общности схемы метода и отсутствию
привязки к конкретному объекту или предметной области.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
33
Отличия методов Монте-Карло
от ранних исследований
• Ранее:
• берем детерминированную проблему,
• решаем,
• потом используем имитацию, чтобы проверить
выкладки.
• Теперь:
• берем проблему,
• ищем стохастический аналог,
• решаем задачу.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
34
Методы Монте-Карло.
Математическая основа
Теорема Колмогорова.
• Для того чтобы среднее арифметическое
независимых реализаций случайной величины
сходилось с вероятностью единица к ее
математическому ожиданию необходимо и
достаточно,
чтобы
это
математическое
ожидание существовало.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
35
Анализ общей схемы,
достоинства и недостатки
• Несомненное достоинство методов Монте-Карло –
простая схема вычислительного алгоритма.
• Как известно, ошибка вычислений по методу МонтеКарло обычно пропорциональна
d
N
где d – некоторая константа, а N – количество
испытаний.
Недостаток – большая погрешность, требуется
большое количество испытаний N.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
36
Примеры применения
методов Монте-Карло
В лекции нами будут рассмотрены следующие
примеры:
• Вычисление площади фигуры на плоскости.
• Оценивание числа .
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
37
Задача вычисления площади
фигуры на плоскости
Пусть дана некоторая плоская фигура F, для которой
требуется найти площадь.
Введем следующие предположения:
• Для определенности предположим, что эта фигура
целиком расположена внутри единичного квадрата.
• С учетом предположения 1 периметр фигуры может
быть устроен совершенно произвольно.
• Фигура может не быть связной, т.е. может состоять
из нескольких областей.
• Фигура может быть задана аналитически или
графически.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
38
Задача вычисления площади
фигуры на плоскости
y
1
F
0
1
x
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
39
Задача вычисления площади
фигуры на плоскости
y
Сгенерируем в квадрате N случайных точек
1
F
0
1
x
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
40
Задача вычисления площади
фигуры на плоскости
y
Сгенерируем в квадрате N случайных точек
1
Пусть N* – количество точек,
попавших внутрь
рассматриваемой фигуры.
F
*
N
Sˆ 
- оценка площади
N
0
1
x
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
41
Оценивание числа 
История числа  –
изящное маленькое зеркало
истории человечества.
Петр Бекманн
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
42
Оценивание числа 
• Игла Бюффона
• Метод Hit-Or-Miss
• Метод Выборочного среднего
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
43
Игла Бюффона
y
l

0
h
A  ( x,  ) : h  l cos   d 
N
1, A;
SN
i  
 ; S N   i , N
i 1
0, A 
2l
ˆ 
N
SN d
d
x
Оценка несмещенная, эффективная, состоятельная.
Минимум дисперсии при l = d.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
44
Метод Hit-Or-Miss
y
1
S
0
1
x
Единичный эксперимент – в единичном квадрате случайно
выбирается любая точка.
Рассмотрим событие A, состоящее в том, что точка попала в
рассматриваемый сектор окружности.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
45
Метод Hit-Or-Miss
• площадь квадрата Smax = 1,
• площадь выделенной области S  
4
• рассмотрим случайную величину
N
1, A;
i  

0, A 
SN
 частота наступления
N
• Введем S N   i ,
события A. i 1
SN
• Тогда случайная величина
подчиняется
N
биномиальному распределению, p =  / 4.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
46
Метод Hit-Or-Miss
SN
N
• Будем рассматривать
– частоту
наступления события A – в качестве оценки
величины p – вероятности того, что точка попала
в указанный сектор окружности.
• Зная теоретическую вероятность p =  / 4
этого события , мы можем оценить эту
вероятность по достаточно большой выборке.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
47
Метод Hit-Or-Miss
SN 
 ;
N
4
4S N
ˆ N 
N
pq
2
E ( N )   ; D( N )  16
3
N
N
Получили несмещенную оценку.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
48
Метод выборочного среднего
• Рассмотрим функцию f ( x)  R 2  x 2
R
• Рассмотрим
 f ( x)dx 
0
 R2
4
R
• Заметим, что
1
0 R dx  1,
что определяет функцию q(x) – плотность
равномерного распределения на отрезке [0; 1].
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
49
Метод выборочного среднего
• Тогда
2
1

R
2
2
R
R

x
dx   g ( x)q( x)dx  E ( g ( )) 
,
0
R
4
0
R
R
• где
g ( )  R R  
• При этом – случайная величина, равномерно
распределенная отрезке [0, 1].
2
• Введем
1
ˆ
N 
N
2
N
 g ( ).
i 1
i
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
50
Метод выборочного среднего
4 N
ˆ N  2  g (i ).
R N i 1
2

16 2  
E (ˆ N )   ; D(ˆ N ) 
 .
4 
NR  3 16 
Оценка является несмещенной.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
51
Содержание
1. Введение.
2. Статистическое моделирование как научное
направление.
3. Метод статистических испытаний (методы
Монте-Карло). История метода.
4. Случайность и имитация случайности.
5. Заключение.
6. Литература.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
52
Случайность и имитация
случайности
• Сердце методов Монте-Карло – случайные
числа.
• Чем лучше качество датчика – тем меньше
погрешность, лучше результат.
• В данном разделе мы кратко коснемся
инструментального аппарата методов МонтеКарло – случайных чисел и способов их
получения.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
53
Вместо напутствия
Всякий, кто питает слабость
к арифметическим методам
получения случайных чисел,
грешен вне всяких сомнений.
Джон фон Нейман
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
54
Случайность
Случайность – интереснейшая тема, рассмотрением
которой издревле занималась не только математика,
но и философия, теология…
• Первые примеры – гадание и игра.
• Гадание и игра – яркие примеры того, как
случайность в отличие от свободного выбора влияет
на жизнь человека.
• Разница между свободным выбором и
определенностью всегда являлась предметом
ожесточенных споров в философии и теологии.
• Долго существовало некоторое гласное или негласное
табу. В лучшем случае, это считалось чем-то
неприличным. Церковные запреты.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
55
Случайность
Случайность – интереснейшая тема,
рассмотрением которой издревле занималась
не только математика, но и философия,
теология…
• Галилей и Кардано писали про азартные игры и
проявление случайности.
• Паскаль, Ферма и Гюйгенс направили исследования
по пути сегодняшней теории вероятности.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
56
Случайность и
непредсказуемость
Случайность ≠ Непредсказуемость
• Поведение части систем является случайным и
непредсказуемым (время смерти конкретного
человека).
• Поведение части систем является случайным, но
предсказуемым (демографический рост).
• Непредсказуемость нужна в криптографии.
• Предсказуемость нужна при имитации.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
57
Случайные числа и
генераторы случайных чисел
• Нужны случайные числа. Как их получить?
• Генераторы случайных чисел – устройства,
которые
генерируют
эти
числа
из
непредсказуемого физического процесса.
• Обычно такие устройства основаны на
микроскопических явлениях (непредсказуемы)
• Фотоэффект;
• Квантовые явления;
• …
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
58
Случайные числа и
генераторы случайных чисел
• Нужны случайные числа. Как их получить?
• Генераторы случайных чисел – устройства,
которые
генерируют
эти
числа
из
непредсказуемого физического процесса.
• Иногда
устройства
основаны
на
макроскопических явлениях (непредсказуемы,
из-за неизвестности начальных условий)
• Рулетка;
• Игральные кости;
• …
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
59
Случайные числа и
генераторы случайных чисел
• Создать такое устройство
• Дорого;
• Сложно.
• Эксплуатировать такое устройство
• Дорого;
• Сложно.
• Вывод: обычно пользуются
псевдослучайных чисел.
генераторами
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
60
Генераторы псевдослучайных
чисел (PRNG)
Генератор псевдослучайных чисел (ГПСЧ,
PRNG)
—
алгоритм,
генерирующий
последовательность чисел, элементы которой
почти
независимы
друг
от
друга
и
подчиняются заданному распределению.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
61
Генераторы псевдослучайных
чисел (PRNG)
Никакой детерминированный алгоритм не
может генерировать полностью случайные
числа,
а
только
лишь
аппроксимировать
некоторые свойства случайных чисел.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
62
Псевдослучайные числа
Числа, получаемые по какой-либо формуле и
имитирующие значения случайной величины,
называются псевдослучайными числами. Под
словом «имитирующие» подразумевается, что
эти числа удовлетворяют ряду тестов так, как
если бы они были значениями этой случайной
величины.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
63
Псевдослучайные числа
Псевдослучайные числа:
• Получаются по некоторому алгоритму.
• Почти независимы.
• Удовлетворяют заданному распределению.
Т.к. они удовлетворяют заданным свойствам,
не важно, как именно они получены!
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
64
Примеры методов генерации
псевдослучайных чисел
•
•
•
•
Метод фон Неймана (середины квадратов)
Линейный конгруэнтный метод.
Метод Фибоначчи с запаздываниями.
…
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
65
Алгоритм фон Неймана
• Первый алгоритм получения псевдослучайных чисел.
Метод середины квадратов.
• Рассмотрим 4-значное целое число n1 = 9876.
Возведем его в квадрат. Получим, вообще говоря, 8-значное
число 97 535 376.
• Выберем четыре средние цифры из этого числа и обозначим n2
= 5353.
Затем возведем его в квадрат (28 654 609) и снова извлечем 4
средние цифры. Получим n3 = 6546.
• Далее, 42 850116, n4 = 8501 и т. д.
• В качестве значений случайной величины предлагалось
использовать значения 0,9876; 0,5353; 0,6546; 0,8501; 0,2670;
0,1289 и т. д.
• Недостаток – много малых значений.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
66
Линейный конгруэнтный метод
X k 1  (aX k  c) mod m
a, c, m – целые положительные числа.
a – множитель,
с – приращение,
m – модуль.
Датчик имеет период <= m (подбор констант).
X0 – начальное условие.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
67
Генераторы
псевдослучайных чисел - итоги
Достоинства:
• Скорость.
• Воспроизводимость последовательности.
• Однократная проверка качества.
Недостатки:
• Периодичность.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
68
Содержание
1. Введение.
2. Статистическое моделирование как научное
направление.
3. Метод статистических испытаний (методы
Монте-Карло). История метода.
4. Случайность и имитация случайности.
5. Заключение.
6. Литература.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
69
Заключение
Рассмотренные вопросы:
• статистическое моделирование;
• метод статистических испытаний (методы Монте-Карло);
• общая схема методов Монте-Карло;
• области применения статистического моделирования;
• примеры применения методов Монте-Карло;
• случайность;
• непредсказуемость;
• случайные числа;
• псевдослучайные числа;
• генераторы случайных чисел;
• генераторы псевдослучайных чисел.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
70
Что дальше?
• Рассмотренный материал – лишь обзор,
некоторые основы.
• Далее в курсе – все то, что было, только
подробнее, плюс примеры применения в
разных областях.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
71
Содержание
1. Введение.
2. Статистическое моделирование как научное
направление.
3. Метод статистических испытаний (методы
Монте-Карло). История метода.
4. Случайность и имитация случайности.
5. Заключение.
6. Литература.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
72
Источники информации
• При подготовке презентации использовались
материалы, взятые из источников, перечень
которых указан на следующих слайдах.
• Приведенный список источников
рекомендуется в качестве материалов для
изучения при самостоятельной подготовке.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
73
Литература
•
•
•
•
•
Gamerman, D. Markov Chain Monte Carlo: Stochastic
Simulation for Bayesian Inference. Boca Raton, FL: CRC
Press, 1997.
Gentle J. Random Number Generation and Monte Carlo
Methods. Springer-Verlag NY, 1998.
Gilks, W. R.; Richardson, S.; and Spiegelhalter, D. J. (Eds.).
Markov Chain Monte Carlo in Practice. Boca Raton, FL:
Chapman & Hall, 1996.
Gourdon X., Sebah P.  and its computation through the ages.
April 16, 2003.
[http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html]
Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story
of Paul Erdos and the Search for Mathematical Truth. New
York: Hyperion, pp. 238-239, 1998.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
74
Литература
• Kuipers, L. and Niederreiter, H. Uniform Distribution
of Sequences. New York: Wiley, 1974.
• Manno, I. Introduction to the Monte Carlo Method.
Budapest, Hungary: Akadémiai Kiadó, 1999.
• Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo method, J.
Amer. statistical assoc., 1949, 44, N247, 335-341.
• Metropolis, N. "The Beginning of the Monte Carlo
Method." Los Alamos Science, No. 15, p. 125.
[http://jackman.stanford.edu/mcmc/metropolis1.pdf]
• Mikhailov, G. A. Parametric Estimates by the Monte
Carlo Method. Utrecht, Netherlands: VSP, 1999
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
75
Литература
• Niederreiter, H. and Spanier, J. (Eds.). Monte Carlo and QuasiMonte Carlo Methods 1998, Proceedings of a Conference held
at the Claremont Graduate University, Claremont, California,
USA, June 22-26, 1998. Berlin: Springer-Verlag, 2000.
• Sobol, I. M. A Primer for the Monte Carlo Method. Boca Raton,
FL: CRC Press, 1994.
• Weisstein Eric W. "Monte Carlo Method." From MathWorld – A
Wolfram Web Resource.
[http://mathworld.wolfram.com/MonteCarloMethod.html]
• Библиотека Wikipedia.
• Большая Советская Энциклопедия. Издание 3-е.–М.,
Советская энциклопедия, 1970.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
76
Литература
• Бусленко Н.П., Голенко Д.И., Соболь И.М., Срагович В.Г.,
Шреацидер Ю.А. Метод стохастических испытаний (метод
Монте-Карло).–М.: ГИМФЛ, 1962.
• Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических
испытаний Монте-Карло и его реализация в цифровых
машинах.–Физматгиз, 1961
• Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая
статистика.–М.: Высшая школа, 1977.
• Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы.–
М., 1971.
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
77
Литература
• Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое
моделирование. М: Наука, 1982.
• Ермаков С.Н., Михайлов Г.А. Курс статистического
моделирования.– М.:Наука, 1976.
• Крамер Г.. Математические методы статистики. М: Мир,
1975.
• Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло.–М.:Наука,
1973.
• Тепляков А. Моделируя жизнь // Hard’n’soft, №8, 2001.
[http://www.hardnsoft.ru/magazine.php?issue=86&article=18&
page=2]
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
78
Вопросы
ННГУ, "Виртуоз-2005" Мееров И.Б. "Статистическое моделирование и параллельные вычисления". Глава 1
79