Кривые II порядка

Кривые II порядка
Определение. Кривая называется
кривой 2го порядка, если она
описывается уравнением
Ax  Bxy  Cy  Dx  Ey  F  0
2
2
Рассмотрим кривые при B  0
Дополним левую часть до полного квадрата,
получим
2
2
D
E 
D
E


Ax 

F
  C  y 
 
2A 
2C 
4 A 4C


2
2
полагая
2
2
D
D
E
E
x0  

F
; y0  
; 
2A
4 A 4C
2C
получим
Ax  x0   C y  y0   
2
2
*


Точка O x0 ; y0 представляет
собой центр симметрии кривой,
если
A0; C 0
yy
xx
Прямые
и
0
0
являются осями симметрии кривой.
Определение. Кривая 2го порядка
Ax  x0   C y  y0   
2
2
называется эллипсом (т.е.принадлежит
эллиптическому типу), если
коэффициенты А и С имеют
одинаковые знаки, т.е.
A C  0
Пусть А и С > 0 , иначе умножим уравнение
на (-1)
1)   0  действительный эллипс
2
2
при x0  y 0  0
Ax  By   |: 
2
2
x
y


1
2
2
a
b
a

;b 
A
- каноническое уравнение
оэллипса

B
- полуоси эллипса
y
- Чертеж эллипса, соответствующего
каноническому уравнению
b
a
a
x
b
Частный случай:
a  b  r,  A  C  
получим окружность
 x  x0    y  y 0 
2
2
r
2
2)   0  вырожденный эллипс,
т.е. точка O0;0.
3)   0  кривая не имеет
действительных точек, условно
её называют мнимым эллипсом.
Определение. Кривая 2го порядка
Ax  x0   C y  y0   
2
2
называется кривой
гиперболического типа,
если A  C  0
(А и С имеют разные знаки)
Пусть A  0; C  0
1) Если   0,то получим гиперболу с
каноническим уравнением
2
2
x
y


1
2
2
a
b
y

b
C
b
a
a
a
A
a
- действительная
полуось
- мнимая
полуось
x
b
Диагонали прямоугольника являются асимптотами гиперболы
2) Если   0, то получим гиперболу,
сопряженную к предыдущей.
y
0
b
a
a
x
b
Действительная и мнимая полуоси меняются
местами.
0
3) Если
, то гипербола вырождается в
пару пересекающихся прямых, совпадающих с
асимптотами.
y
b
a
a
b
x
Определение. Кривая 2го порядка называется
нецентральной, если она или не имеет
центра симметрии, или же имеет
бесконечно много центров симметрии.
Ax  Cy  Dx  Ey  F  0
2
где
2
A C  0 и A  C  0
2
2
Пусть A  0; C  0; D
параллельных прямых)
0
(иначе – пара
2
E 
E

C y 
   Dx  F 
2C 
4C

F
x0   ;
D
2
E
y0  
;
2C
D
2p  
C
получим
 y  y0 
2
 2 px  x0 

Кривая y 
параболой.
y0   2 px  x0  называется
2
O  x 0 ; y 0  - вершина параболы,
p - параметр параболы.
*
Аналогично:
 x  x0 
2
 2 py  y0 
Применение кривых 2го порядка к
решению экономических задач
Пример 1. Два предприятия, отстоящие одно от другого
на 100 км, производят некоторое изделие, причем
фабрично-заводская цена изделия на обоих
предприятиях одинакова и равняется р. Пусть
транспортные расходы на перевозку единицы изделия от
предприятия А до потребителя составляют 9 руб/км,
а от предприятия В – 3 руб/км. Как будет разделен
рынок сбыта, если расходы потребителей должны быть
одинаковыми?
y
Px, y 
s1
y
 125 
C 
,0 
 2 
A50,0
s2
x B50,0
0
x
Проведем через середину отрезка АВ оси
системы координат. Допустим, что потребитель
находится в точке P x, y ; введем обозначения
AP  s1; BP  s2


Расходы потребителя на приобретение единицы
изделия у предприятия А составляют:
p  s1  9
а у предприятия В:
p  s2  3
Расходы потребителей одинаковы, если
p  9s1  p  s2
или
9s1  3s2 , откуда 3s1  s2
Из рисунка видно, что
s1  50  x   y 2 , или s1 
2
и
2
s2  50  x   y 2 , или s1 
2
2
50  x
2
y
2
50  x2  y 2
Для потребителя расходы на приобретение изделия
одинаковы, если
3 50  x   y 
2
откуда
или

50  x
2
2
 y2

9 2500  100 x  x 2  y 2  2500  100 x  x 2  y 2
22500  900 x  9 x 2  9 y 2  2500  100 x  x 2  y 2
или после сокращения
8 x  8 y  1000 x  20000  0
2
2
Деля обе части уравнения на 8, получим:
x 2  y 2  125 x  2500  0
или
x  125x  y  2500
2
2
Преобразуя далее, получим:
125 15625
15625
2
x  2x 

 y  2500 
2
4
4
2
откуда в итоге
2
125 
5625

2
x
 y 
2 
4

2
125 
5625

2
x
 y 
2 
4

Это – уравнение окружности, центр которой находится на
оси абсцисс и имеет абсциссу
а радиус есть
125

 62,5
2
75
r
 37,5
2
Для потребителей, находящихся на этой окружности,
расходы на приобретение изделия одинаковы. Для
потребителей, находящихся вне окружности, расходы на
приобретение изделия ниже на предприятии В, а для
потребителей, находящихся внутри окружности, - на
предприятии А.
Следовательно, рынок будет поделен так:
а) потребители, находящиеся внутри окружности,
будут закупать данное изделие на предприятии А;
б) для покупателей, находящихся на окружности,
безразлично, на каком предприятии будут
производиться закупки;
в) потребители, находящиеся вне окружности, будут
изделие на предприятии В.
Пример 2. Пусть в момент t = 0 началось
производство определенного типа машин,
которые раньше не производились. Допустим,
что производство происходит равномерно,
стоимость годового объема продукции
составляет 1 млн. рублей, а срок
эксплуатации машин равен 10 годам.
Определить стоимость машинного парка на
конец t-го года.
Искомую стоимость обозначим y. Задача
состоит в том, чтобы найти зависимость
y  f t 
Стоимость машинного парка в t-м году без учета
его износа составляет 1000000 t. Но
фактическая стоимость машинного парка
меньше вследствие физического износа.
В интервале (0,t) находим такие машины, которые
введены в производство в начале периода, и такие,
которые стали эксплуатировать позднее.
Следовательно, их стоимость с учетом износа
меньше. Поскольку машины передаются в
эксплуатацию ежегодно, то средний возраст
машины составляет 1/2t. Годовой износ машины
составляет:
1000000t 1
2
 t  50000  t
10
2
Таким образом, в t-м году стоимость износа
машины составляет:
y  1000000  t  50000  t  50000  t  1000000  t
2
2
Это – уравнение параболы, вершина которой не
находится в начале координат. В этом случае
A  50000, B  1000000, C  0.
y
6000000
5000000
y = -50000t 2 + 1000000t
4000000
3000000
2000000
1000000
0
-1000000
0
5
10
15
20
25
t