Задачи по теме Определение линейного пространства
реклама
Определение линейного пространства Пусть L – некоторое множество, элементы которого называются векторами, причём любой упорядоченной паре векторов x, y L сопоставлен единственный вектор z L, который называется суммой векторов x и y и обозначается x+y. Пусть также Р – некоторое поле, элементы которого называются скалярами и для любого скаляра k P и любого вектора x L определён единственный вектор d L, который называется произведением скаляра k на вектор х, или произведением вектора х на скаляр k, обозначается kx. Множество L называется линейным пространством над полем Р, если выполняются следующие аксиомы: 1). Для любых элементов x, y L имеет место равенство x+y=y+x (коммутативный закон сложения). 2). Для любых x, y, z L имеет место равенство (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативный закон сложения элементов из L). 3). В множестве L найдется такой элемент (обозначим его символом 0 и назовем нулевым элементом), что для любого элемента x L имеет место равенство x+0=x (особая роль нулевого элемента). 4). Для любого элемента x L найдется в этом множестве элемент (обозначим его символом –x и назовем его противоположным элементом x), что x+(–x)=0. 5). Для любого элемента x L и числа 1 P имеет место равенство 1∙x=x (особая роль числа 1). 6). Для любых чисел α и β P и любого элемента x L имеет место равенство (αβ)x=α(βx) (ассоциативный закон умножения элементов поля Р). 7). Для любых чисел α и β P и любого элемента x L имеет место равенство (α+β)x=αx+βx (дистрибутивный закон относительно суммы элементов поля Р). 8). Для любого числа α P и любых элементов x, y L имеет место равенство α(x+y)=αx+αy (дистрибутивный закон относительно суммы элементов из L). Чаще всего в качестве поля P рассматривают поле действительных чисел R (и тогда L называют вещественным векторным пространством, или просто векторным пространством), или поле С комплексных чисел (в этом случае L – комплексное векторное пространство). Независимо от природы линейного пространства всякий его элемент называют вектором. Приведем примеры линейных пространств. Если для множеств не указаны в тексте правила сложения элементов и умножения элементов на число, то их следует задавать так, как это было сделано в изучаемых ранее разделах курсов «Алгебра» и «Аналитическая геометрия», где эти множества были определены и изучены. Пример 1. Является ли множество L всех векторов в трёхмерном пространстве действительным линейным пространством? Решение. Если векторы x , y L , то вектор суммы x y L , определён для взятых x и y однозначно. Если – действительное число, вектор x L , то x L . Таким образом, требования замкнутости операций сложения элементов из множества L и умножения элементов из множества L на действительное число из поля Р определения линейного пространства для множества L выполняются. Выполнение всех аксиом, кроме 5, было установлено в курсе «Аналитическая геометрия». Рассмотрим вектор 1 x . Согласно определению умножения вектора на число, 1 вектор 1 x сонаправлен с вектором x . Его длина 1 x 1 x 1 x x равна длине вектора x . Следовательно, векторы 1 x и x равны, т.е. 1 x = x , следовательно, аксиома 5 имеет место для векторов множества L . Итак, для множества L и поля P действительных чисел выполняются все требования определения линейного пространства, поэтому L является действительным линейным пространством. Пример 2. Пусть An – множество всех упорядоченных систем n произвольных действительных чисел ( x1 , x2 , .., xn ) x , т.е An x х1 , х2 ,..., хn xi R, i 1, n Два элемента х ( x1 , x2 , .., xn ) , y ( y1 , y 2 , .., y n ) из An называются равными, если xi yi , i 1, n . Числа x1 , .., xn называют компонентами x . Суммой элементов х и у назовем элемент ( x1 y1 ,.., xn yn ) и обозначим x y . Произведением действительного числа на элемент x назовем элемент (x1 ,.., xn ) и обозначим его x . Покажем, что An является действительным линейным пространством относительно введённых операций. Решение. Согласно условию примера требования замкнутости операций сложения элементов множества An и умножения элементов множества An на действительное число из поля Р в определении линейного пространства для множества An выполняются. Осталось проверить выполнение 8 аксиом. y ( y1 ,.., yn ) . x ( x1 ,.., xn ) , 1. Пусть Тогда и x y = ( x1 y1 ,.., xn yn ) y x = ( y1 x1 ,.., yn xn ) . Так как сложение действительных чисел подчиняется закону 2. 3. 4. 5. 6. коммутативности поэтому xi yi yi xi , i 1, n , значит x y y x . Выполнение второй аксиомы проверяется аналогично с использованием ассоциативного закона для сложения действительных чисел. Роль нулевого элемента в An играет элемент 0=(0,..,0). Действительно, x 0 ( x1 0,.., xn 0) ( x1 ,.., xn ) x Для элемента x ( x1 ,.., xn ) противоположным элементом является x ( x1 ,.., xn ) , так как x ( x) ( x1 ( x1 ),.., x n ( x n )) (0,..,0) 0 Поскольку 1 x (1 x1 ,..,1 xn ) ( x1 ,.., xn ) x , то 1 x x . Если , – любые действительные числа, то ( ) x (( ) x1 ,.., ( ) xn ) (x1 x1 ,.., xn xn ) (x1 ,.., xn ) ( x1 ,.., xn ) ( x1 ,.., xn ) ( x1 ,.., xn ) x x 7. Пусть , – любые действительные числа, тогда ( ) x (( ) x1,.., ( ) xn ) ( (x1 ),.., (xn )) (x1,.., xn ) (x). Следовательно, ( ) x ( x) . 8. Если – любое действительное число, то ( x y ) ( x1 y1 ,.., x n y n ) ( ( x1 y1 ),.., ( x1 y1 )) (x1 y1 ,.., x n y n ) (x1 ,.., x n ) (y1 ,.., y n ) ( x1 ,.., x n ) ( y1 ,.., y n ) x y, т.е. ( x y ) x y . Таким образом, для множества An и поля P действительных чисел выполняются все требования определения, и поэтому An является линейным действительным пространством. An называют арифметическим n-мерным пространством. 2 Пример 3. Является ли действительным линейным пространством множество L всех векторов из An , компоненты которых удовлетворяют условию x1 .. xn 1 , если операции сложения векторов и умножения векторов на число определить так же, как и в примере 2? Решение. Пусть x ( x1 ,.., xn ) , y ( y1 ,.., yn ) – любые два вектора из L . Тогда x1 .. xn 1 , рассмотрим вектор Так как y1 .. yn 1 , x y = ( x1 y1 ,.., xn yn ) . ( x1 y1 ) ... ( xn y n ) ( х1 х2 хn ) ( y1 y 2 y n ) =2 1 , то вектор x y L . Таким образом, для множества L не выполняется требование замкнутости операции сложения элементов множества L в определении линейного пространства, поэтому это множество не является линейным пространством. Пример 4. Проверить, является ли линейным действительным пространством множество M всех векторов плоскости, образующих с данным ненулевым вектором a угол , 0≤ ≤ . 2 Решение. x M образует угол φ с вектором a , а вектор – x угол . Множество M не является линейным пространством, так как x M. Пример 5. В множестве R+ положительных действительных чисел определены следующие операции: а) x y xy ; б) x x . Показать, что множество R+ относительно указанных операций является действительным линейным пространством. Решение. В условии задачи определены операции сложения элементов множества R+ и умножения элементов множества R+ на число из поля Р. Проверим выполнение 8 аксиом: x y xy , y x yx . Так как xy=yx, поскольку x, y R+, то x y y x . 1. ( x y ) z ( xy) z , x ( y z ) x ( yz ) x( yz ) . Но (xy)z=x(yz), поскольку x, y, z 2. R+, поэтому ( x y ) z x ( y z ) . 3. 1 x 1 x x , т.е. нулевым элементом является число 1. x x 1 xx1 1 , поэтому число x 1 играет роль противоположного элемента для x . 4. Так как R+не содержит числа 0, то всякий элемент из R имеет противоположный ему элемент. ( x y) ( xy) ( xy) x y x y . 5. ( ) x x x x ( x) ( x) . 6. ( x) ( x ) ( x ) x ( ) x . 7. 1 x x1 x . 8. Таким образом, все требования определения линейного пространства для R+ выполнены, и поэтому R+ является действительным линейным пространством. 3 Устные задачи 1-4. Проверить, является ли следующее множество векторов плоскости действительным линейным пространством: 1. множество R всех векторов плоскости; 2. множество S всех радиус-векторов точек первой четверти прямоугольной декартовой системы координат; 3. множество T всех радиус-векторов точек плоскости, составляющих данную прямую; 4. множество всех векторов плоскости за исключением векторов, параллельных данной прямой. 5. Доказать, что множество S матриц порядка n с действительными элементами составляет действительное линейное пространство. 6. Является ли множество M n симметрических матриц порядка n c действительными элементами действительным линейным пространством? 7. Является ли множество M m n всех матриц размера m n c элементами из R относительно обычных операций сложения матриц и умножения матриц на число действительным линейным пространством? 8. Является ли множество чисел из отрезка [0;1] числовой прямой относительно обычных операций сложения и умножения чисел линейным пространством над полем R? 9. Является ли множество векторов плоскости (пространства) с рациональными координатами относительно обычных операций сложения и умножения векторов на число линейным пространством над полем R? 10. Является ли множество монотонно возрастающих на числовой оси функций относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число линейным пространством над полем R? 11. Является ли линейным пространством над полем Q рациональных чисел множество чисел вида a+b 2 , где a и b – рациональные числа? 12. Является ли линейным пространством над R множество отрицательных действительных чисел? 13. Является ли линейным пространством над R множество векторов плоскости, исходящих из начала координат с концами на прямой y=kx? 14. Является ли линейным пространством над R множество векторов плоскости, исходящих из начала координат с концами на прямой y=kx+b, где b 0? 15. Является ли линейным пространством над R множество многочленов степени ≤ n (включая нулевой многочлен) с действительными коэффициентами? 16. Является ли линейным пространством над R множество многочленов степени n с действительными коэффициентами? 4