Векторная алгебра 1) Если даны точки Ax1 , y1 , z1 и Bx2 , y2 , z2 , то AB x2 x1 ; y 2 y1 ; z 2 z1 или AB x2 x1 i y 2 y1 j z 2 z1 k . 2) Пусть a a x , a y , a z , b bx , by , bz и c с x , с y , с z , R . Тогда a b a x bx ; a y by ; a z bz , a a x ; a y ; a z . 3) Условие коллинеарности: a || b ax a y az . bx b y bz 4) Модуль (длина) вектора: a a x2 a y2 a z2 . 5) Направляющие косинусы ay a a 2 2 cos x , cos , cos z , причем cos cos a a a cos 2 1 , a0 cos ; cos ; cos - орт вектора a 6) Скалярное произведение векторов: a b a b cos или a b ax bx a y by az bz . cos a b ab ; a b a прa b ; прa b 2 a b . a 2 Скалярный квадрат: a a . 7) Условие перпендикулярности векторов: a b a b 0 . i j k 8) Векторное произведение векторов: a b a x a y a z . bx b y bz S пар a b ; S 1 ab . 2 ax a y az 9) Смешанное произведение векторов: a b c bx by bz . cx cy cz Если a, b и c компланарны, то a b c 0. 1 Vпарал лел епипеда a b c , Vпирам иды a b c . 6 10) Деление отрезка в данном отношении: Если Ax1 , y1 , z1 и Bx2 , y2 , z2 - концы отрезка, а M x; y; z - точка, делящая отрезок в z z2 x x2 y y2 , y 1 , z 1 отношении , то x 1 . 1 1 1 y y2 x x2 z z2 Если M x; y; z - точка, делящая отрезок пополам, то x 1 . , z 1 , y 1 2 2 2 1 Прямая на плоскости 1) Ax By C 0 - общее уравнение прямой; 2) A x x0 B y y0 0 - уравнение прямой, проходящей через точку M 0 x0 , y0 перпендикулярно вектору n A, B ; x x0 y y 0 3) - каноническое уравнение прямой, проходящей через точку m р M 0 x0 , y0 параллельно направляющему вектору S m, р ; 4) x mt x0 , y рt y0 -параметрические уравнения прямой; x x1 y y1 - уравнение прямой, проходящей через две точки M1 x1 , y1 и x2 x1 y 2 y1 M 2 x2 , y2 ; x y 6) 1 - уравнение прямой в отрезках, где a и b - величины отрезков, a b отсекаемых прямой на координатных осях Ox и Oy соответственно; 7) y k x b - уравнение прямой с угловым коэффициентом, где k - угловой коэффициент прямой, а b - отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy; 5) 8) y y 0 k x x 0 - уравнение прямой, проходящей через точку M 0 x0 , y0 с заданным угловым коэффициентом k . k k n n 9) Угол между двумя прямыми l1 и l 2 : tg 2 1 и cos 1 2 . 1 k1 k 2 n1 n2 10) Условие перпендикулярности: l1 l2 k1 1 или A1 A2 B1 B2 0. k2 A1 B1 . A2 B2 до прямой Ax By C 0 : 11) Условие параллельности: l1 || l2 k1 k2 или 12) Расстояние от точки M 0 x0 ; y 0 d Ax0 By 0 C A2 B 2 . Кривые второго порядка 2 2 1) Каноническое уравнение окружности: x x0 y y0 R 2 центр в точке C x 0 ; y 0 радиус равен R . x x0 y y 0 x2 y2 1. 2 1 или 2 a2 b2 a b Числа a, b называются полуосями эллипса, точки F1 (c,0), F2 (c,0) - фокусы эллипса, 2 2 2) Каноническое уравнение эллипса: c a 2 b2 . c a2 b2 называется эксцентриситетом эллипса. a a x x0 2 y y 0 2 x2 y2 1. 3) Каноническое уравнение гиперболы 2 2 1 или a2 b2 a b Числа a, b называются действительной и мнимой полуосями, точки Отношение F1 (c,0), F2 (c,0) -фокусы гиперболы, c a 2 b 2 . b b y x, y x -асимптоты гиперболы. a a 2 c a2 b2 - называется эксцентриситетом гиперболы. a a 4) Каноническое уравнения параболы: y 2 2 px, p 0 x 2 2 py или y y0 2 2 px x0 , x x0 2 2 p y y0 . p p Точка F ;0 - фокус параболы F 0; . 2 2 p p x - уравнение директрисы параболы y . 2 2 Плоскость 1) Ax x0 B y y0 C z z0 0 - уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 x0 , y0 , z0 перпендикулярно вектору n A, B, C ; 2) Ax By Cz D 0 - общее уравнение плоскости, где n A, B, C - нормаль плоскости; x x1 y y1 z z1 3) x2 x1 y2 y1 z 2 z1 0 - уравнение плоскости, проходящей через три заданные x3 x1 y3 y1 z3 z1 точки M1x1, y1, z1 , M 2 x2 , y2 , z2 и M 3 x3 , y3 , z3 ; x y z 1 - уравнение плоскости в отрезках, где a, b, c - величины отрезков, 4) a b c отсекаемых плоскостью на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно. 5) Угол между двумя плоскостями: n n A1 A2 B1 B2 C1C2 . cos 1 2 2 n1 n2 A1 B12 C12 A22 B22 C22 6) Условие параллельности двух плоскостей: A B C П1 || П 2 n1 || n2 1 1 1 . A2 B2 C 2 7) Условие перпендикулярности двух плоскостей: П1 П 2 n1 n2 n1 n2 0 A1 A2 B1 B2 C1C 2 0 . 8) Расстояние от точки M x1, y1, z1 до плоскости Ax By Cz D 0 находят по формуле Ax1 By1 Cz1 D d A2 B 2 C 2 Прямая в пространстве 1) x x0 y y 0 z z 0 m p q канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку M 0 x0 , y 0 , z0 параллельно вектору S m, p, q ; 2) x mt x0 , y pt y0 , z qt z 0 - параметрические уравнения; x x1 y y1 z z1 3) - уравнения прямой в пространстве, проходящей через две x2 x1 y 2 y1 z 2 z1 точки M1x1, y1, z1 , M 2 x2 , y2 , z2 . 3 A x B1 y C1 z D1 0, 4) 1 - общие уравнения прямой. A2 x B2 y C2 z D2 0 i Направляющий вектор этой прямой S n1 n2 A1 j B1 k C1 . A2 B2 C2 5) Угол между двумя прямыми l1 и l 2 : cos S1 S 2 S1 S 2 m1 m2 p1 p 2 q1 q 2 m12 p12 q12 m22 p 22 q 22 . 6) Условие параллельности двух прямых: m1 p q 1 1 . m2 p 2 q2 7) Условие перпендикулярности двух прямых: l1 || l 2 S1 || S 2 l1 l 2 S1 S 2 m1 m2 p1 p 2 q1 q 2 0 . 8) Угол между прямой и плоскостью: nS sin . nS 9) Условие параллельности прямой и плоскости: n S Am Bp Cq 0 . 10) Условие перпендикулярности прямой и плоскости: n || S A B C . m p q 4