Взвешенный скелет

Взвешенные скелеты для простых
многоугольников
Дипломная работа студента 544 группы
Игнатьевского Сергея Васильевича
Научный руководитель:
К.В. Вяткина
Рецензент:
Н.С. Васильева
Санкт-Петербург
2008
Введение
Ранние исследования:
 Прямолинейный скелет (straight skeleton)
(Aichholzer et al., 1995).
Крыша.
 Взвешенный скелет (weighted skeleton)
(Aurenhammer, 2007).
Исследовался подробно только для выпуклых
многоугольников.
Не было аналога крыши для многоугольника с
весами
Цели
 Определение и исследование свойств взвешенного
скелета для простых многоугольников.
 Введение понятия взвешенной крыши, исследование ее
свойств и способов построения.
 Исследование возможности адаптации известных
алгоритмов вычисления прямолинейного скелета для
случая взвешенного скелета.
 Реализация одного из алгоритмов вычисления
взвешенного скелета.
 Рассмотрение возможности применения взвешенного
скелета на практике.
Взвешенный скелет и взвешенная
крыша
 Взвешенный скелет – граф, дуги которого вычерчиваются вершинами
линейного фронта в процессе его распространения, при котором ребра
многоугольника движутся с разными скоростями (в зависимости от веса).
 Процесс распространения линейного фронта: ребра многоугольника
движутся внутрь, оставаясь параллельными самим себе
 Скелет простого многоугольника с n вершинами – дерево, имеющее n-2
внутренних узла и 2n-3 дуги, он разбивает многоугольник на n регионов.
 Взвешенная крыша – результат поднятия скелета в 3D пространство, в
соответствии с взвешенным расстоянием от узлов скелета до границы
многоугольника
 Не имеет локальных минимумов (свойство waterfall); определяется однозначно.
Алгоритмы построения
 Адаптированный алгоритм Фелкеля и Обдржалека.
 Адаптация возможна, с коррекцией шагов алгоритма.
 Реализован на платформе .Net (С#, VS 2005).
 Время: O(nm  n log n) , где n – число вершин многоугольника, среди
которых m невыпуклых.
 Первый алгоритм Эппштейна и Эриксона.
 Адаптация возможна.
 Время: O(n8 5 ) ,  - неотрицательно.
 Второй алгоритм Эппштейна и Эриксона.
 Показана невозможность адаптации.
 Вероятностный алгоритм Ченга и Виньерона.
 Показана невозможность адаптации.
Реализация модифицированного
алгоритма Фелкеля и Обдржалека

В рамках работы создано приложение реализующее
адаптированный алгоритм Фелкеля и Обдржалека.


Технологическая основа: платформа .NET 2.0, Windows Forms,
библиотека Microsoft DirectX.
Функциональность программы:





Рисование простого многоугольника на плоскости.
Назначение весов ребрам многоугольника.
Загрузка и сохранение многоугольника в файл.
Построение и отображение взвешенного скелета для созданного
многоугольника.
Построение и отображение взвешенной крыши многоугольника
в трехмерном пространстве (с использованием классов из
библиотек Microsoft.DirectX и Microsoft.DirectX.Direct3D).
Моделирование городов и
взвешенный скелет
 Полуавтоматические системы моделирования городов.
 Моделирование городов по данным аэросъемки сводится к
восстановлению зданий по их контурам.
 Применение взвешенных скелетов для построения крыши
здания.
 Сравнение со старыми методами (использующими
прямолинейный скелет).
 Применение в виртуальной архитектуре: конструирование
городов в 3D играх и симуляторах.
Заключение
 Рассмотрены понятия, свойства и алгоритмы построения
взвешенного скелета и крыши для простого многоугольника.
 Рассмотрена одна из возможностей применения взвешенного
скелета на практике.
 Реализован модифицированный алгоритм Фелкеля и Обдржалека
для вычисления взвешенного скелета.
 Дальнейшие исследования:
 Расширение понятия взвешенного скелета на случай многоугольников с
дырками и плоских прямолинейных графов.
 Разработка более эффективных алгоритмов вычисления взвешенного
скелета.
 Исследование других областей применения взвешенных скелетов и
крыш, например, для построения прямолинейного скелета
многогранников в трехмерном пространстве.