Пример задачи по физике с решением

Методические рекомендации
по решению задач первого тура
Всероссийской студенческой олимпиады «Сколтех»
Задачи по физике, предлагаемые для решения на первом, дистанционном туре,
относятся к квантовой микро- и макрофизике и включают соответствующие разделы
атомной и ядерной физики, физики равновесного теплового излучения и физики
конденсированного состояния. Эти разделы являются важными для
понимания
процессов, происходящих сегодня физике конденсированных сред, астрофизике и физике
элементарных частиц.
Для решения задач первого тура будет достаточно знания общедоступных учебных
материалов по ВУЗовской физике, представленных, для примера, в таких
распространенных учебниках, как
И.В.Савельев «Курс общей физики» т.3;
И.Е.Иродов «Квантовая физика. Основные законы»;
Д.В.Сивухин «Общий курс физики» тт.5, 6;
В.Е.Белонучкин, Д.И.Заикин, Ю.М.Ципенюк «Основы физики», т.2;
И.Е.Иродов «Задачи по квантовой физике».
Каждому участнику заочного тура будет предложено две задачи на 120 минут. Одна
задача по физике и одна задача по математике. Компьютерная программа проведения
этого дистанционного тура олимпиады автоматически совершит уникальную выборку
трех задач (после регистрации участника в личном кабинете и подтверждения о начале
работы) из утвержденного списка задач равной сложности.
Расположение задач примерно соответствует программам университетских курсов
физики (атомная физика, ядерная физика, равновесное тепловое излучение, физика
конденсированных сред) и не совпадает со сложностью задач (т.е. сложность задач не
возрастает с номером задачи!)
Так как для проверки правильности решения задач будет привлекаться компьютер
(изолированный от веб-сети), то в первую очередь будет анализироваться полученный
числовой ответ. Подробное решение задачи набивается в MS Word в окне «решение» или
загружается в виде отсканированного рукописного текста. При этом решение должно
заканчиваться формулой, приводящей к численному ответу. Отсутствие такой формулы
даже при правильном ответе может привести к потере конкурсных очков.
Числовой ответ должен быть записан либо в той системе единиц, которая требуется в
задаче, либо в системе СИ, если система единиц не оговорена в условии задачи. Этот
ответ должен содержать только 3 значащие цифры, т.е. один знак до запятой и два знака
после запятой. Например, ответ 1,23·10-5 должен быть записан как 1,23 е-5; 0,25 - как
есть, и т.п.
В качестве примера приведем решение одной из задач, аналогичной задачам Олимпиады.
Условие задачи.
При исследовании рассеяния нейтронов на ядрах свинца
208
82 Pb
было обнаружено,
что при некоторых энергиях падающих нейтронов может проявляться «волновой
резонанс», когда интерференция дебройлевских волн приводит к «прозрачности» области
ядерного потенциала (ядерный аналог эффекта Рамзауэра). Считая ядерный потенциал
одномерной прямоугольной потенциальной ямой c шириной равной диаметру ядра и
глубиной U  40 МэВ, найти минимальную энергию Е нейтронов в мегаэлектронвольтах.
Решение
В области слева от ямы волновая функция есть сумма падающей и отраженной волн
ik
x

ik
x
0
0

e
re
,
1
в области ямы – сумма падающей и отраженной волн
ikx

ikx

ae

be
,
2
а в области справа от ямы – только прошедшая волна
3 deik0x .
k0  2E/m, а в области ямы – .
Волновое число в свободном пространстве есть
Обозначим ширину барьера через l . Тогда условия непрерывности волновой функции и
ее производной в точках x  0 и x  l приводят к следующим системам уравнений:





1rab
k
1r (ab
)
k0
и
l
ikl 
ikl ik
0
 ae

be

de

l.
ikl 
ikl k ik
 ae
0

be
 de

k
0

Условие прозрачности означает отсутствие отраженной волны в области слева от ямы ( и,
следовательно, коэффициент прохождения
D d
2
1.
Поскольку прошедшая волна
всегда находится в фазе с падающей, то d  1 . Тогда из первой системы получаем
ab k0

ab k
а из второй системы (обозначая z  e ikl ) 2
az
b k0
 .
2
az b k
Эти системы будут совместны, при условии z 2  1 или klk2Rn. Отсюда
22n2U
E
2
8
mR
.
13
1/ 3
Поскольку радиус ядра определяется по формуле R r0 A , где r0 1.210 см, A -
атомная масса элемента, то энергия нейтрона есть
22
2
n
E
 2 2/3
U
.
8
mr
0A
Энергия нейтрона, отсчитываемая от «потолка потенциальной ямы» должна быть
положительной, поэтому получаем ограничение на величину
22n2
2 2/3
8
mr
0A
n
U
Подставляя числа, получим
2

27
2
8

3
,
14

(
1
,
06

10
)
2
n

40
или

24
13
2 2
/
3

6
8

1
,
67

10

(
1
,
2

10
)

208

1
,
6

10
Минимальное целое
n , удовлетворяющее этому неравенству, есть
минимальная энергия нейтрона равна E 10,22 МэВ.
1
,025
n2 40
.
n  7 . Отсюда