Второй замечательный предел

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ
1 семестр
Лекция 6
Раскрытие неопределенности для функции.
16 октября 2014 года
Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н.
Гришин Сергей Анатольевич
Первый замечательный предел
sin x
1
x 0
x
lim
cos x  1
Докажем, что lim
x 0
2
x
x
sin x  x  0  1  cos x  2 sin 2 
2 2
По теореме о двух полицейских  ( x)  1  cos x  o(1)
По теореме о связи lim cos x  1
x 0
Соотношение площадей SOAB  SOAB1  SOA1B1
SOAB1  0,5 x
SOA1B1  0,5tgx
sin x cos x  x  tgx  cos x 
x0
SOAB  0,5 sin x  cos x
sin x
1

x
cos x
Следствия
sin x
1
По теореме о двух полицейских lim
x 0
x
tgx
1 sin x
tgx
lim

lim

1
Док.
1
Следствие 1 lim
x

0
x

0
x 0 x
x
cos x x
arcsin x
 1 Док. t  arcsin x  x  sin t
x 0
x
arcsin x
t
lim
 lim
1
x 0
t

0
x
sin t
arctgx
1
Следствие 3 lim
x 0
x
Док.
Следствие 2 lim
1  cos x 1

Следствие 4 lim
2
x 0
x
2
1  cos x
2 sin 2 x / 2 1
lim
 lim

2
2
x 0
x

0
x
2
4x / 2
lim 1  x  x  e
1
x 0
Второй замечательный предел
lim 1  x   e
1
x
x 0
1
 kn  1 
Док. xn : xn  0, lim x n  0 и n kn  N  k n 
n 
xn
1
1
 xn 
kn  1
kn
и справедливо неравенство

1 

y n  1 
 kn  1
kn
 1  x n 
1
xn

1 
 1  
 kn 
k n 1
 zn
По определению числа e и теореме о двух полицейских
lim yn  lim z n  e  lim 1  x   e по Гейне, а значит и по Коши.
n 
n 
x 0
1
x
Второй замечательный предел
xn  0
Продолжение док. xn : xn  0, lim
n 
Замена: yn   xn  0
1  xn 
 1
 
 1  yn
1
xn



1
yn

yn
 1 
 1  yn



1
yn
1
1
yn
0
 1
Замена: z n 
1  yn
yn
zn
lim (1  x n )
n 
1
xn
 lim (1  z n )
1
1
zn
 lim (1  z n )(1  z n )
n 
n 
1
zn
e
Любая последовательность xn   xn  xn, где xn  0, xn  0,
Предельная точка одна
 lim 1  x   e по Гейне.
x 0
1
x
Следствия
ln( 1  x)
1
x 0
x
Следствие 1 lim
1
x
Док. lim ln( 1  x)  ln e  1
x 0
ex 1
1
Следствие 2 lim
x 0
x
e x 1
t
 lim
1
Док. Замена: t  e  1  x  ln( 1  t )  lim
x 0
t

0
x
ln 1  t 
x
a x 1
 ln a
Следствие 3 lim
x 0
x
Следствие 4


1  x 1
lim

x 0
x
a x 1
e x ln a  1
lim
 lim
ln a  ln a
x 0
x

0
x
x ln a
e ln1 x   1 ln 1  x 
lim

 
x 0  ln 1  x 
x
Сравнение функций
0
f , g : U  (a)  R
0
def f ( x)  O( g ( x))  C  0,  : 0     : x  U   f ( x)  C g ( x)
1
Пример f ( x)  x sin 3    O( x) т.к. f ( x)  x
 x
f ( x)
Достаточное условие: lim
 K  0  f ( x)  O( g ( x))
x a g ( x)
def
f ( x)  o( g ( x))  lim
x a
f ( x)
0
g ( x)
Пример  ( x)  o(1) =Б.м. функция  lim
xa
 ( x)
1
0
Алгебра o- малых
o( x)  o( x)  o( x 2 )
o( x )  o( x )  o( x )
o( f ( x))  f ( x)  o(1)
o( x)  x  o(1)
Док. lim
x 0
o( x )  o( x )
o( x )
o( x )

lim

lim
0
x 0
x x 0 x
x2
o( x )
o( x )
o( x )  o( x )
0
 lim
 lim
x

0
x

0
x 0
x
x
x
lim
o( f ( x))
o( f ( x))
 o(1)
0
x 0
f ( x)
f ( x)
lim
Таблица эквивалентных б.м.ф.
Def
Две б.м.ф. в точке x=a функции y  f (x) и y  g (x)
эквивалентны, если lim
xa
Обозначение: f (x )

f ( x)
 1.
g ( x)
g (x )
Таблица эквивалентных б.м.ф. в точке x = 0
.
sin x
tgx


1 cos x 
arcsin x
arctgx


x
x2
x
2
ex 1

a x 1
x

x ln a
ln( 1  x)

x
log a (1  x)

x
(1  x)  1
x
x
ln a

x
Теорема о замене на эквивалентную
Т.1.
Если y  f (x) и y  g (x) б.м.ф. в точке x = a
и 1) f (x )

f1 ( x), g (x )

g1 ( x )
f 1 ( x)
A
2) lim
x a g ( x )
1
Тогда lim
x a
Док.
lim
xa
f ( x)
A
g ( x)
f ( x ) f 1 ( x ) g1 ( x )
f ( x)


A
 lim
x

a
f 1 ( x ) g1 ( x ) g ( x )
g ( x)
Теорема о связи эквивалентных
б.м.ф.
Т.2.
Если y  f (x) и y  g (x) б.м.ф. в точке x = a,
эквивалентны, то они связаны соотношением:
f ( x)  g ( x)  o( g ( x)) (1)
Если б.м.ф. в точке x = a связаны соотношением (1), то
они эквивалентны.
Док. 1) f ( x)  1  o(1)  f ( x)  g ( x)  o(1)  g ( x)  g ( x)  o( g ( x))
g ( x)
2)
f ( x)
o( g ( x))
f ( x)
 1
 1  o(1)  lim
1
x

a
g ( x)
g ( x)
g ( x)
Расширенная таблица эквивалентностей
x3
x3
3
1. sin x  x  0( x)  x   o( x )
2. arcsin x  x  o( x)  x   o( x 3 )
6
6
x3
x3
3
3. tgx  x  o( x)  x   o( x )
4. arctgx  x   o( x 3 )
3
3
x2
x2
x
2
5. e  1  x  o( x)  x   o( x ) 6. ln(1  x)  x  o( x)  x   o( x 2 )
2
2
x2
x2 x4
2
7. 1  cos x   o( x )    o( x 4 )
2
2 24
 (  1) 2
8. (1  x)  1   x  o( x)   x 
x  o( x 2 )
2
Раскрытие неопределенностей
Пример 1


ln tg  ax 
4

Найти предел: lim
x 0
sin bx
 1  tgax 

2tgax 




ln 
ln 1 
ln tg  ax 
1  tgax 
1  tgax 
4




lim
 lim
 lim

x 0
x

0
x

0
sin bx
bx
bx
2tgax
2tgax
2ax 2a
1  tgax
 lim
 lim
 lim

x 0
x

0
x

0
bx
bx
bx
b
Раскрытие неопределенностей
 
 
sin x a
Пример 2 Найти предел: lim
x 1 sin x b
 
 








sin x a
sin  ( x a  1)  
sin  x a  1
xa 1
lim
 lim
 lim
 lim b
x 1 sin x b
x 1 sin  ( x b  1)  
x 1 sin  x b  1
x 1 x  1
Замена: t  x 1  x  t  1
a

t  1  1
at a
lim
 lim

t 0 t  1b  1
t 0 bt
b
Раскрытие неопределенностей

 


sin 2   2 x
Пример 3 lim
x 1 ln cos   2 x
Замена: t   2 x
Замена:
sin 2 t 
lim
t 2 ln cost 
u  t  2  x  u  2
sin 2 u  2 
sin 2 u
u2
lim
 lim
 lim

u 0 ln cosu  2 
u 0 ln 1  cos u  1
u 0 cos u  1
u2
 lim
 2.
u 0  0,5u 2
Раскрытие неопределенностей
Пример 4

Найти предел: lim x  e
x 0

1
x x
Преобразование:
lim e ln
x 0
  lim e
1
x x
xe

ln x  e x
x

x 0
 lim e

ln(1 e x 1)  x
x
x 0
e
e x 1
lim(1
)
x0
x
 e2

e
e x 1 x
lim
x0
x

Пример с о-символикой
Пример 5
x2
x2
2
1  x   o( x )  1   o( x 2 )
x
e  cos x
x  o( x )
2
2
lim
 lim
 lim
1
x 0
x

0
x

0
x
x
x
Пример 6
x3
x  x   o( x 3 )  ( x  o( x)) 2
2
2
2
x  sin x  tg x
x

2
x
 o(1)
6
lim
 lim
 lim
1
2
2
2
x 0
x

0
x

0
x
x
x
Определение порядка величины
Пример 7
Найти C и n, для которых
3

1  x  C x  1  o x  1
n
n

1
1 x
1

 x  13
Преобразование: 1  x  3
1 x 3 1 x
3
x  1  2  C
1 x
1
lim

lim

n
x 1  x  1n
x 1 3


x

1
1 x
3
1/ 3
при n 
1
3
Теоретические упражнения
1. Сформулируйте понятие: lim f ( x)  
x  
2. Сформулируйте понятие: lim f ( x)  A  0
x a 0
Вопросы к экзамену
1) Первый замечательный предел.
2) Второй замечательный предел и его следствия.
3) Понятия O ( f ( x)), o( f ( x))
4) Эквивалентные бесконечно малые функции, таблица эквивалентных
бесконечно малых функций (с доказательством).
5) Теорема о замене бесконечно малой на эквивалентную.
6) Теорема о связи эквивалентных бесконечно малых функций.
Дистанционный курс общей физики НИЯУ МИФИ
Математический анализ.
Раскрытие неопределенности для функции.
Лекция 6
Завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Непрерывные функции.
Лекция состоится в четверг 23 октября
в 10:00 по Московскому времени.