Игра по теме «Многочлены».

Игра по теме «Многочлены». 9-11 кл.
1. Определить отношение двух чисел, если отношение их среднего арифметического к среднему геометрическому равно 25 :
24. (Пусть x и y — искомые числа. По условию
:
= 25 : 24, т.е.
+
=
. Положим q =
.
Тогда q +
=
, т.е. q2 q + 1 = 0. Решая это квадратное уравнение, находим q1 = 4/3 и q2 = 3/4. Таким
образом, x : y = 16 : 9 или 9 : 16.) 76414
2. Два различных числа x и y (не обязательно целых) таковы, что x2 – 2000x = y2 – 2000y. Найдите сумму чисел x и y. 105072
3. Найдите x 3 + y3, если известно, что x + y = 5 и x + y + x2y + xy2 = 24. (68. Так как x + y + x 2 y + xy 2 = x + y + xy (x + y) = (x +
y)(xy + 1) = 24, то используя условие x + y = 5, получим, что xy = 3,8. Далее можно действовать по разному: Первый
способ. x3 + y3(x + y)3 – 3xy(x + y) = 125 – 3∙3,8∙5 = 68. Второй способ. x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = (x + y)(x + y2 – 3xy) = 5(25
– 3∙3,8) = 68.) 115962
4. Известно, что разность кубов корней квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 равна 2011. Сколько корней имеет
уравнение ax2 + 2bx + 4c = 0? (Два корня. Из условия задачи следует, что уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два корня.
Следовательно, его дискриминант D = b2 – 4ac > 0. Упрощенный дискриминант уравнения ax2 + 2bx + 4c = 0 также
равен b2 – 4ac, значит оно также имеет два корня.) 115968
5. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена (x 2-3x+1)100 после раскрытия скобок и приведения подобных членов. (1.
Заметим, что сумма коэффициентов равна значению многочлена при x=1. Подставив x=1 в многочлен (x 2-3x+1)100,
получаем (1-3∙1+1)100=1.) 34848
6. a, b, c – такие три числа, что a + b + c = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение ab + ac + bc ≤ 0. (2(ab +
ac + bc) = (a + b + c)2 – a2 – b2 – c2 = – a2 – b2 – c2 ≤ 0.) 78470
7. Можно ли найти 10 таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих
за ними 9 последовательных натуральных чисел? (Обозначим 10 последовательных чисел через n – 9, ..., n – 1, n. По
условию (n – 9)2 + ... + (n – 1)2 + n2 = (n + 1)2 + ... + (n + 9)2, n2 = (n + 9)2 – (n – 9)2 + ... + (n + 1)2 – (n – 1)2 = 2n·(18 + 16 + ...
+ 2) = 180n. Отсюда n = 180, то есть 1712 + ... + 1802 = 1812 + ... + 1892.) 98313
8. Найдите все такие функции f(x), что f(2x + 1) = 4 x2 + 14x + 7. (f(x) = x2 + 5x + 1. Пусть t = 2x + 1, тогда x = (t - 1)/2.
Следовательно, f(t) = 4(t - 1)2/4 + 14(t - 1)/2 + 7 = (t – 1)2 + 7(t – 1) + 7 = t2 + 5t + 1.) 104104
9. Дано число 100...01, число нулей в нем равно 299. Докажите, что это число составное. (Данное число можно записать в
виде 10300+1. Воспользовавшись формулой суммы кубов, получим: 10300+1=(10100)3+13= (10100+1)(10200 - 10100 +1).) 34966
10. Положительные числа a, b, c таковы, что a ≥ b ≥ c и a + b + c ≤ 1. Докажите, что a2 + 3b2 + 5c2 ≤ 1. (1 ≥ (a + b +
c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ a2 + b2 + c2 + 2b2 + 2c2 + 2c2 = a2 + 3b2 + 5c2.) 97997
11. Существуют ли три квадратных трёхчлена, такие что каждый из них имеет корень, а сумма любых двух трёхчленов не
имеет корней? (Да, существуют. Например, таковыми являются многочлены x2, (x-1)2 и (x-2)2. Сумма любых двух из них
больше нуля при любом x.) 105108
12. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных целых чисел не может быть полным квадратом. ((n – 2)2 + (n –
1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5(n2 + 2). Квадрат при делении на 5 может иметь остаток 0, 1 или 4. Поэтому n2 + 2 не
делится на 5. Значит, наша сумма делится на 5, но не делится на 25 и поэтому не может быть полным квадратом.) 60725
13. Доказать, что в произведении (1 - x + x2 - x3 + ... - x99 + x100)(1 + x + x2 + x3 + ... + x99 + x100) после раскрытия скобок и
приведения подобных членов не остаётся членов, содержащих x в нечётной степени. (Рассматриваемое произведение
является многочленом P(x), обладающим следующим свойством: P(- x) = P(x).) 76521
14. Определить коэффициенты, которые будут стоять при x17 и x18 после раскрытия скобок и приведения подобных членов в
выражении (1 + x5 + x7)20. (3420 и 0. Число 18 нельзя представить в виде суммы чисел 5 и 7, поэтому коэффициент
при x18 будет равен нулю. Число 17 представляется в виде суммы чисел 5 и 7 следующим образом: 17 = 7 + 5 + 5; с
точностью до перестановки слагаемых это представление единственно. В одном из 20 множителей 1 + x5 + x7 мы
должны выбрать x7, а в двух из 19 оставшихся x5. Поэтому коэффициент при x17 равен 20·19·18 : 2 = 3420.) 76536