Вероятностные задачи в топологии: Статистика узлов и
реклама
Графы, некоммутативность, неевклидова геометрия и укладка ДНК Сергей Нечаев LPTMS, CNRS, Université Paris-Sud, Orsay, France Вероятностные задачи в топологии: Статистика узлов и зацеплений Случайные блуждания в некоммутативных пространствах и на группах Статистика и компактных кольцевых незаузленных макромолекул Вероятностные задачи в топологии: Статистика узлов и зацеплений Случайные блуждания в некоммутативных пространствах и на группах Статистика и компактных кольцевых незаузленных макромолекул Число оборотов вокруг пальмы = 0 и траектория незацеплена Число оборотов вокруг каждой из пальм = 0 ... а траектория зацеплена!!! Контур Похгаммера Траектория зацеплена за обе точки вместе, но не зацеплена за каждую "Генераторы" поворотов + a + b a b Метрика в группе слов = a+b-a-b+b-a- = a+b-a-ab+ Удаление от корня дерева a+ a- b- b- ab+ = "сложность" зацепления Возвращение в корень = распутывание!!! коммутативная группа b a a некоммутативная ("свободная") группа a b b a Периметр ~ R a b R Периметр ~ 3 В какое пространство можно изометрически вложить однородное дерево? Плоскость (пространство) Лобачевского Попытка "втиснуть" дерево в обычное пространство Гиперболическая геометрия в живой природе коралл рельеф на основе функции Дедекинда Случайные блуждания в некоммутативных пространствах и на группах Почему важно? Где этим занимаются? 1. Зацепления: цепь в решетке препятствий Создание новых полимерных материалов с уникальной эластичностью Страсбург (Франция), Киото (Япония) 2. Косы и перемешивание Решение задач эффективного перемешивания Saint Gobain (Франция), Imperial College (Лондон) 3. Косы и игра в Тетрис 4. Нестационарный рост, электрический пробой в диэлектриках Тетрис Число кластеров c( h ) h 2 / 3 Распределение по массам P( m) m 7 / 5 Электродепозиция серебра в 2D Проблемы экстремальной статистики Франция, Германия, Канада, США Вероятностные задачи в топологии: Статистика узлов и зацеплений Случайные блуждания в некоммутативных пространствах и на группах Статистика и компактных кольцевых незаузленных макромолекул Вероятностные задачи в топологии: Статистика узлов и зацеплений Случайные блуждания в некоммутативных пространствах и на группах Статистика и компактных кольцевых незаузленных макромолекул Как плотно уложить нить в 3D так, чтобы любой ее кусок был бы незацеплен? Складчатая глобула (А.Гросберг, С.Н., Е.Шахнович) Участки проникают друг в друга и перепутываются Участки остаются неперепутанными Именно эта укладка ДНК реализуется в складчатой глобуле Статистика и компактных кольцевых незаузленных макромолекул Почему важно? Где этим занимаются? ДНК содержит ~3 миллиарда пар оснований, ее длина ~2 м, и упакована в клеточном ядре ~20 мкм При транскрипции фрагменту ДНК необходимо "выпутаться" из упакованного состояния, а затем снова "сложиться" Как это сделать быстро и обратимо??? Crumpled (fractal) globule - порядка 10 000 ссылок в интернете Россия, Франция, Германия, Англия, США Модель глобулы – плотный узел, полностью покрывающий прямоугольную решетку Lh Lw bk 1 bk 1 Каково типичное топологическое состояние "дочернего" (квази)узла при условии, что "родительский" узел тривиален? Lw Lt Lh Типичная безусловная сложность n случайного узла n N Lt Lw Типичная условная сложность n* дочернего (квази)узла n* N Lh Lw Lw Lh Lt Как далеко по дереву мы ушли за половину шагов при условии, что на последнем шаге вернулись в корень? Как на обычной плоскости без кривизны!
