Тема: Термодинамика

Тема: Термодинамика
Лекция 3
3.1. Распределение Максвелла
Молекулы газа вследствие теплового движения испытывают многочисленные соударения друг с
другом. При каждом соударении скорости молекул изменяются как по величине, так и по направлению. В
результате в сосуде, содержащем большое число молекул, устанавливается некоторое статистическое
распределение молекул по скоростям, зависящее от абсолютной
температуры Т. При этом все направления векторов скоростей молекул
оказываются равноправными (равновероятными), а величины скоростей
подчиняются определенной закономерности. Распределение молекул газа по
величине скоростей называется распределением Максвелла.
Если одновременно измерить скорости большого числа N молекул газа
и выделить некоторый малый интервал скоростей от v до v+
выделенный интервал
v попадает некоторое число
v, то в
N молекул. На
графике удобно изображать зависимость величины
от скорости v. При
достаточно большом числе N эта зависимость изображается плавной кривой,
имеющей максимум при
(наиболее вероятная скорость). Здесь m - масса молекулы,
- постоянная Больцмана.
Характерным параметром распределения Максвелла является так называемая среднеквадратичная
скорость
физике доказывается, что
означает среднее значение квадрата скорости. В молекулярной
где
- молярная масса.
Из выражения для среднеквадратичной скорости следует, что средняя кинетическая энергия
поступательного движения молекул газа есть
Характерными параметрами распределения Максвелла являются наиболее вероятная скорость υв,
соответствующая максимуму кривой распределения, и среднеквадратичная скорость
среднее значение квадрата скорости.
где
–
Формула для среднего давления газа на стенку сосуда запишется в виде
Это уравнение устанавливает связь между давлением p идеального газа, массой молекулы m0,
концентрацией молекул n, средним значением квадрата скорости и средней кинетической энергией
поступательного движения молекул. Его называют основным уравнением молекулярно-кинетической
теории газов.
Таким образом, давление газа равно двум третям средней кинетической энергии поступательного
движения молекул, содержащихся в единице объема.
1
Распределение Максвелла является одной из важнейших статистических закономерностей
молекулярной физики.
3.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
В присутствии гравитационного поля (или, в общем случае, любого потенциального поля) на
молекулы газа действует сила тяжести. В результате, концентрация молекул газа оказывается зависящей от
высоты в соответствии с законом распределения Больцмана:
n = n0exp( -mgh / kT )
где n - концентрация молекул на высоте h, n0 - концентрация молекул на начальном уровне h = 0, m масса частиц, g - ускорение свободного падения, k - постоянная Больцмана, T - температура.
Мы можем видеть, что концентрация молекул у дна сосуда оказывается выше, чем концентрация в
верхней части сосуда. Под действием теплового движения молекулы подбрасываются вверх, а затем
падают вниз за счет действия сил тяжести.
Если высота сосуда много меньше чем kT/mg, то зависимостью концентрации от высоты можно
пренебречь. С другой стороны, в атмосфере концентрация молекул быстро уменьшается с увеличением
высоты и, поэтому, величина атмосферного давления также уменьшается. Принимая во внимание, что P =
nkT, мы можем записать так называемую барометрическую формулу, описывающую изменение
атмосферного давления в зависимости от высоты:
P = P0exp( -mgh / kT )
Измеряя давление за бортом самолёта, мы можем вычислить при помощи барометрической формулы
приблизительную высоту полёта.
3.3. Баpометpическая формула. Закон Больцмана
Найдем pаспpеделение давления воздуха в атмосфере в предположении, что темпеpатуpа атмосферы
не меняется по высоте. На малом перепаде высот dh давление падает на величину веса столба воздуха с
сечением в единицу площади и высотой dh, т.е.
Согласно (6.15) уравнение (6.19) можно переписать в виде
(6.19)
(6.20)
Пpоинтегpиpуем обе части полученного уравнения, полагая, что давление на "нулевой" высоте равно
p0. Получим
(6.21)
Полученная формула называется баpометpической: давление в изотермической атмосфере падает с
высотой по показательному закону. Так как молекулярная плотность при постоянной темпеpатуpе
пpопоpциональна давлению газа, то этот же закон имеет место и для плотности газа:
(6.22)
2