Решение задач открытого банка Файл

ОГЭ - 2016
Открытый банк заданий
по математике.
Модуль «Геометрия»
Вашему вниманию представлены тридцать шесть
прототипов задач по модулю «Геометрия»
открытого банка заданий по математике. ОГЭ – 2015.
Прямоугольный треугольник.
Равносторонний треугольник.
Произвольный треугольник.
Прямоугольник.
Ромб.
Параллелограмм.
Трапеция.
Круг. Круговой сектор.
В прямоугольном треугольнике один из катетов
равен 10, а угол, лежащий напротив него,
равен 300 . Найдите площадь треугольника.
А
Подсказка (3):
300
S-?
С
10
1
S   CB  CA
2
1
ВС  АВ
2
2
2
2
АВ  АС  ВС
В
50 3
АВ
АС
В прямоугольном треугольнике один из
катетов равен 10, а острый угол,
прилежащий к нему, равен 300.
Найдите площадь треугольника.
А
Подсказка (3):
10
1
S   CB  CA
2
BC
0
cos 30 
AB
300
S-?
С
АВ  АС  ВС
2
В
2
2
50 3
2
АВ
ВС
В прямоугольном треугольнике гипотенуза
равна 10, а один из острых углов равен 300.
Найдите площадь треугольника.
А
Подсказка (3):
1
S   BС  AС
2
0
0
С  90 А  30
300
10
1
ВС  АВ
2
АС  АВ2  ВС 2
S-?
С
В
25 3
2
В прямоугольном треугольнике один из катетов
равен 10, а угол, лежащий напротив него,
равен 450 . Найдите площадь треугольника.
А
Подсказка (2):
1
S   CB  CA
2
450
С  90 В  45
0
А  В  90
0
S-?
С
10
В
СА  СВ
50
0
В прямоугольном треугольнике гипотенуза
равна 10, а один из острых углов равен 450.
Найдите площадь треугольника.
А
Подсказка (3):
1
2
S   AС
2
450
10
S-?
С  90
А  В  90
АВ  2АС
2
С
В
0
0
2
25
В  45
0
СА  СВ
АС2
В прямоугольном треугольнике один
из катетов равен 10, а угол,
лежащий напротив, равен 600.
Найдите площадь треугольника.
А
10
Подсказка (3):
1
S   BС  AС
2
AC
0
АВ
sin 60 
AB
S-?
ВС  АВ  АС
2
600
С
В
50 3
2
В прямоугольном треугольнике один
из катетов равен 10, а острый угол,
прилежащий к нему, равен 600.
Найдите площадь треугольника.
А
Подсказка (4):
1
S   BС  AС
2
0
0
А  30
В  60
1
АВ
ВС  АВ
S-?
2
АС  АВ2  ВС 2
600
С
10
В
50 3
В прямоугольном треугольнике
гипотенуза равна 10,
а один из острых углов равен 600.
Найдите площадь треугольника.
А
Подсказка (3):
1
S   BС  AС
2
AC
0
sin 60 
AB
BC
0
cos 60 
AB
10
S-?
600
С
В
25 3
2
АС
ВС
Сторона равностороннего треугольника
равна 10. Найдите его площадь.
А
Подсказка (4):
1
S   BC  AH
2
10
S-?
В
Н
АВ  ВС  АС
С
1
ВН  ВС
2
2
2
АН  АВ  ВН
25 3
Периметр равностороннего треугольника
равен 30. Найдите его площадь.
А
Подсказка (3):
1
S   BC  AH
2
АВ  ВС  АС
1
ВН  ВС
2
S-?
25 3
В
Н
РАВС  30
С
АН 
АВ 2  ВН 2
25 3
Высота равностороннего треугольника
равна 10. Найдите его площадь.
А
Подсказка (3):
1
S   BC  AH
2
АВ  ВС  АС  х
10
S-?
1
ВН  х
2
25 3
В
Н
АН  10
С
АВ2  АН 2  ВН 2
20 3
3
В равнобедренном треугольнике боковая
сторона равна 10, а угол, лежащий
напротив основания равен 1200.
Найдите площадь треугольника.
Подсказка (4):
А
1200
10
S-?
В
1
S   BC  AH
2
АВН : Н  90 , А  60 , В  30
0
0
АВ2  АН 2  ВН 2
25 3
Н
АВ  10
С
25 3
0
Периметр равнобедренного треугольника
равен 16, а боковая сторона — 5.
Найдите площадь треугольника.
Подсказка (4):
А
1
S   BC  AH
2
Р  АВ  ВС  АС
АВН :
0
5
S-?
В
ВС
Н  90 , АВ  5, ВН  3
25 3
Н
Р  16
С
АВ2  АН 2  ВН 2
12
Периметр равнобедренного треугольника
равен 16, а основание — 6.
Найдите площадь треугольника.
Подсказка (4):
А
S-?
В
1
S   BC  AH
2
Р  АВ  ВС  АС
АВН :
0
Н  90 , АВ  5, ВН  3
25 3
Н
Р  16
АВ
С
ВС  6
АВ2  АН 2  ВН 2
12
В равнобедренном треугольнике боковая
сторона равна 10, основание — 10 2  2 ,
а угол, лежащий напротив основания,
равен 1350. Найдите площадь треугольника.
Подсказка (2):
А
1350
10
1
S   АB  AС  sin A
2
0
0
0

S-?
В
ВС  10 2  2

sin 135  sin 180  45  sin 450
С
25 2
Задание 16
(№ 169854)
В треугольнике одна из сторон равна 10,
другая равна10 3 , а угол между
ними равен 600.
Найдите площадь треугольника.
В
С
S-?
10 3
10
?
600
Подсказка:
1
S   AB  AC  sin A
2
А
75
В треугольнике одна из сторон равна 10,
другая равна 12,
а косинус угла между ними равен 2 2 .
3
Найдите площадь треугольника.
Подсказка (2):
В
С
S-?
12
10
?
1
S   AB  AC  sin A
2
sin A  cos A  1
2
2
А
20
В треугольнике одна из сторон равна 10,
другая равна 12,
2
а тангенс угла между ними равен
.
4
Найдите площадь треугольника.
В
С
1
S   AB  AC  sin A
2
S-?
12
Подсказка (3):
10
?
А
1  tg A 
2
1
cos A
2
2
sin A  cos A  1
20
2
В прямоугольнике одна сторона 6,
а диагональ 10.
Найдите площадь прямоугольника.
Подсказка (3):
В
S-?
6
А
S  AB  ВC
С
АВС : В  900
АС  АВ  ВС
2
10
2
D
48
2
ВC
В прямоугольнике диагональ равна 10,
а угол между ней и одной из сторон 300.
Найдите площадь прямоугольника.
Подсказка (4):
В
S  AB0  ВC
С
АВС : В  90 , А  30
300
10
1
ВС  АС
2
S-?
D
А
ВАС  30
0
АВ  ВС  АС
2
2
0
ВC
2
25 3
АВ
В прямоугольнике диагональ равна 10,
угол между ней и одной из сторон равен 300,
длина этой стороны 5 3 .
Найдите площадь прямоугольника.
Подсказка (2):
В
С
S  2S ACD
S-? 10
S ACD
300
А
D
5 3
DAC  30
1
 AC  AD  sin А
2
0
25 3
Сторона ромба равна 5,
а диагональ равна 6.
Найдите площадь ромба.
А
Подсказка (4):
1
S   ВD  AH
2
0
АDH : Н  90
5
6
D
Н
S-?
В
AH  DН  AD
2
2
S ромба  2 S 
24
С
2
АН
Периметр ромба равен 40,
а один из углов равен 300 .
Найдите площадь ромба.
А
Подсказка (4):
S ABD
300
В
D
S-?
С
Р  40
1
 AВ  AD  sin A
2
Р  4 АВ
АВ
S ромба  2 S 
50
Периметр ромба равен 24, 2
а тангенс одного из углов равен
.
Найдите площадь ромба. 4
А
Подсказка (4):
S ромба  2 S 
S ABD
В
D
S-?
С
Р  24
1
 AВ  AD  sin A
2
1
1  tg A 
2
cos A
2
2
sin A  cos A  1
12
2
В ромбе сторона равна 10,
одна из диагоналей — 10 2  2 , а угол,
лежащий напротив этой диагонали, равен 450.
Найдите площадь ромба.
А
Подсказка (2):
S  2S ABD
450
10
В
D
S-?
С
S ABD
BD  10 2  2
1
 AВ  AD  sin A
2
50 2
В ромбе сторона равна 10,
одна из диагоналей — 5 6  2 , а угол,
из которого выходит эта диагональ, равен 1500.
Найдите площадь ромба.

А

Подсказка (3):
10
S ромба  2 S 
1500
В
D
S-?
С

1
S   АD  AВ  sin A
2
0
АDВ : А  180  2ADC
BD  5 6  2

50
Задание 16
(№ 169876)
Одна из сторон параллелограмма равна 12,
другая равна 5, а один из углов — 450.
Найдите площадь параллелограмма.
Подсказка (3):
А
5
450
D
Н
12
В
S  DC  AH
АВС :
Н  90 , D  45 , А  45
АН  DH
0
S-?
С
0
AD  2АН
2
2
30 2
0
АН
Одна из сторон параллелограмма равна 12,
1
другая равна 5, синус одного из углов равен .
3
Найдите площадь параллелограмма.
Подсказка:
А
В
5
D
S  АD  DC  sin D
S-?
12
С
20
Одна из сторон параллелограмма равна 12,
другая равна 5, косинус одного из углов 2 2 .
Найдите площадь параллелограмма. 3
Подсказка (2):
А
В
S  АD  DC  sin D
5
D
S-?
12
sin D  cos D  1 :
2
2
С
20
Основания трапеции равны 18 и 12,
одна из боковых сторон равна 4 2 , а угол
между ней и одним из оснований равен 1350.
Найдите площадь трапеции.
Подсказка (3):
В
12
С
1
S  BС  АD)  ВН
2
АВН :
1350
4 2
А
S-?
Н
18
Н  90 , В  А  45
АН  ВН
0
D
0
АВ  2ВН
2
60
2
ВН
Основания трапеции равны 18 и 12,
одна из боковых сторон равна 6, а синус
угла между ней и одним из оснований
1
равен 3 . Найдите площадь трапеции.
Подсказка (5):
В
12
S-?
6
А
С
Н
18
1
S  BС  АD)  ВН
2
1
S ABD   AB  AD  sin A
2 1
ВН
S ABD  АD  BH
2
D
30
Основания трапеции равны 18 и 12,
одна из боковых сторон равна 6, а косинус
угла между ней и одним из оснований
равен 2 2 . Найдите площадь трапеции.
Задание 16
(№ 169884)
3
Подсказка (5):
В
12
S-?
6
А
С
Н
18
1
S  BС  АD)  ВН
2
2
2
sin А  cos А  1 :
1
S ABD   AB  AD  sin A
2 1
ВН
S ABD  АD  BH
D
2
30
Радиус круга равен 1.
Найдите его площадь
Подсказка:
1
S-?
О
  3,14
S  R
2
3,14
Найдите площадь кругового сектора,
если радиус круга равен 3,
а угол сектора равен 1200.
S-?
Подсказка:
1200
3
  3,14
О
S
R
2
360

10,42
Найдите площадь кругового сектора,
если длина ограничивающей его дуги
равна 6 , а угол сектора равен 1200
S-?
Подсказка (5):
6π
R
l
1200
О
  3,14
180
S

R
R
2
360
9,68

Радиус круга равен 3, а длина
ограничивающей его окружности равна 6π.
Найдите площадь круга.
Подсказка (3):
3
S-?
О
  3,14 С  6
S  R
2
С  2R
С  6
28,26
R
При создании презентации были использованы
задачи с сайта
«Открытый банк заданий по математике»
ГИА – 2015.
http://www.mathall.ru/