ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА В НАУКЕ И ТЕХНИКЕ Выполнил студент 1 курса Группы И3-14 Ильин Андрей Владимирович Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. ВВЕДЕНИЕ 1. Вычисление пути по известным законам изменения скорости. ИНТЕГРАЛЫ В ФИЗИКЕ Тело движется прямолинейно со скоростью, которая изменяется по закону v=2t+1(м/с). Найти путь, который пройдёт тело за интервал времени от t 1 =1c, до t2 =3c. ПРИМЕР ЗАДАЧИ В ФИЗИКЕ Вычисление работы переменной силы ИНТЕГРАЛЫ В ФИЗИКЕ Вычислить работу, которую надо выполнить, чтобы откачать воду из ямы глубиной 4м, имеющей квадратное сечение со стороною 2м. Плотность воды ρ=103 кг/м3 . ПРИМЕР Общую прибыль за время t1 можно найти по формуле: ИНТЕГРАЛЫ В ЭКОНОМИКЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР И ОБЪЁМОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Сделать приблизительный график заданных функций, ограничивающих площадь плоской фигуры. Найти пределы интегрирования. Выяснить какой формулой площади плоской фигуры удобно пользоваться в данном случае. Вычислить площадь заданной фигуры. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ b S f ( x)dx a b S f ( x )dx a b S ( f ( x ) ( x )) dx a с b a с S ( ( x ) f ( x )) dx ( f ( x ) ( x )) dx c c a b c b a c S f ( x )dx ( x )dx S f ( x )dx ( x )dx Сделать приблизительный график заданных функций, ограничивающих плоскую фигуру, при вращении которой образуется тело. Найти пределы интегрирования. Выяснить какой формулой объёма тела вращения удобно пользоваться в данном случае. Вычислить объём тела вращения. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЁМОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ. y y y = f(x) d a b x c b Vx f ( x )dx 2 a x d V y g ( y )dy c Объём — количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1дм, 1м и т.д.). V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)x +S(x2)x+...+S(xn)x n x0, SkSk+1 Vц=SоснH. V = S(x)dx В ГЕОМЕТРИИ Пример 1: Найти объем трехосного эллипса x2 y2 z 2 1 a 2 b2 c2 Решение: Плоские сечения эллипсоида, параллельное плоскости xOz и отстоящее от нее на расстоянии y=h, представляет эллипс x2 z 2 h2 1 ; a2 c2 b2 с полуосями a1 x2 z 2 2 1, 2 a1 c1 и c1 a 2 b h2 b c 2 b h2 b Найдем площадь этого сечения Найдем объем эллипса: 2ac 2ac h3 b 4 V 2 (b 2 h 2 )dh 2 (b 2 h ) abc b 0 b 3 0 3 b Ответ: V 4 abc 3 ПРИМЕР S (h) a1c1 ac b2 (b 2 h 2 ) Пропорционально-интегро-дифференцирующий (ПИД) регулятор — устройство в управляющем контуре с обратной связью. Используется в системах автоматического управления для формирования управляющего сигнала с целью получения необходимых точности и качества переходного процесса. ПИД-регулятор формирует управляющий сигнал, являющийся суммой трёх слагаемых, первое из которых пропорционально разности входного сигнала и сигнала обратной связи (сигнал рассогласования), второе — интеграл сигнала рассогласования, третье — производная сигнала рассогласования. В ПИД регуляторе есть интегральная составляющая. Она позволяет регулятору со временем учесть статическую ошибку. В ТЕХНИКЕ Интеграл используется в таких науках как физика, геометрия, математика и других науках. При помощи интеграла вычисляют работу силы, находят координаты центр масс, путь пройденный материальной точкой. В геометрии используется для вычисления объема тела, нахождение длины дуги кривой и др. ЗАКЛЮЧЕНИЕ