5.Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0
(a0) можно рассматривать как абсциссы
точек пересечения окружности с центром
Q(- 2аb ; a+c
2a ),проходящей через точку A(0;1),
и оси Ох.
Решение уравнения сводится к
построению на координатной плоскости
окружности с центром Q и радиусом QA
(для этого и понадобятся инструменты) и
определению абсцисс точек пересечения
окружности с осью Ох. Возможны три
случая.
1)Если QA a+c
, то окружность пересекает
2a
ось Ох в двух точках М(х1; 0) и N(х2; 0);
уравнение имеет корни х1, х2.
y
Q
A М
0 х1
N
x2 x
2)Если QA= a+c
,
то
окружность
касается
2a
оси Ох в точке М(х1;0); уравнение имеет
корень х1.
y
Q
A
о
M
x1
x
3)Если QA< a+c
, то окружность не имеет
2a
общих точек с осью Ох; у уравнения
нет корней.
y
Q
A
0
х
Рассмотрим примеры решения квадратных
уравнений описанным способом.
Пример 1.
Решите уравнение x2-2х+1=0.
y
x2-2х+1=0.
2
a=1; b=-2; c=1;
b ; a+c).
Q (- 2a
2a
1 А
Q
Q имеет координаты(1;1).
Окружность касается оси
M
0
Ответ: 1.
1
2
x Ох в точке M с
координатами (1:0).
Пример 2.
Решите уравнение x2+4x-5=0.
x2+4x-5=0;
y
a=1; b=4; c=-5;
b ; a+c ).
Q (- 2a
2a
1 A
М
-5
N
-2
Q
Ответ: -5; 1.
0
1
-2
Q имеет координаты(-2;-2).
2 х Окружность пересекается
с осью Ox в точках M и N
с координатами(-5;0) и (1;0).
Пример 3.
Решите уравнение x2-4х+5=0.
x2-4х+5=0;
y
a=1; b=-4; c=5;
b ; a+c ).
Q(- 2a
2a
Q имеет координаты(2;3). 3
Окружность
не пересекается
с осью Ох.
1
0
Ответ: нет корней.
Q
A
1
2
x
Задание на дом.
Решите уравнения рассмотренным выше способом:
а) x2+6х+9=0; б) x2-8х=0.
x2-6х+9=0;
а=1; b=6; с=9;
Q(-
b ; a+c
2a 2a
).
y
5
1 A
0
1
Ответ:3.
Q имеет координаты(3;5).
Окружность касается
оси Ox в точке M с
координатами (3;0).
Q
M
3
x
y
x2-8х=0
a=1; b=-8; c=0;
Q(- 2аb ; a+c
2a ).
1 A
Q
Q имеет координаты(4;0,5).
0 M 1
Ответ:0 и 8.
4
N x Окружность пересекается
с осью Ox в точках M и N
с координатами (0;0) и
(8;0).