свойство (1)

Векторы
• Величины, которые полностью определяются
своим численным значением, называются
скалярными:
площадь,
длина,
объём,
температура, работа, масса.
• Другие величины, которые определяются не
только своим числовым значением, но и
направлением, называются векторными: сила,
скорость, ускорение, перемещение точки.
Векторная величина геометрически изображается с
помощью вектора.
• Вектор – направленный отрезок.
В
a
конец вектора
AB
А начало вектора
a  b
b
- одинаково направленные
a  c - противоположно направленные
c
• Нулевой вектор – вектор, начало и конец
которого совпадают.
0
• Длина вектора (длина∼модуль∼абсолютная
величина) – расстояние между началом и
концом.
обозначение:
a или AB ;
0 0
• Векторы, противоположно направленные и
имеющие одинаковые длины, называются
противоположными.
a
a
• Вектор, длина которого равна единице,
называется единичным.
обозначение: e
• Векторы называются коллинеарными, если они
лежат на одной прямой или на параллельных
прямых.
a
k
b
c
a
b
b
c
k
c
a
k
• Два вектора называются равными, если они
коллинеарны, одинаково направлены и равны
по абсолютной величине.
ab  a
b, a  b,
a  b
b
a
k
c
m
• Векторы называются компланарными, если
они лежат в одной плоскости или на
параллельных плоскостях.
Линейные операции над векторами.
• Сумма векторов.
С
ab
b
b
А
a
a
В
AB  BC  AC
правило треугольника
Чтобы сложить два вектора, надо от конца первого вектора
отложить второй вектор. Тогда вектор, начало которого
совпадает с началом первого, а конец с концом второго и
будет суммой векторов.
Аналогично
векторов.
определяется
сумма
трёх
и
более
c
b
c
a
b
m
m
a bcm
a
Каждый последующий вектор отложен из конца
предыдущего. Тогда вектор, начало которого совпадает с
началом первого, а конец с концом последнего и будет
суммой векторов. Указанный способ построения суммы
называется правилом замыкающей.
b
b
a
a
ab
правило параллелограмма
Чтобы сложить два вектора, надо оба вектора отложить из
одной
общей
точки.
Построить
на
векторах
параллелограмм.
Тогда
одна
из
диагоналей
параллелограмма, имеющая началом общую точку и будет
суммой векторов.
• Разность векторов.
 
a b  a  b
правило треугольника
b
a b
a
b
a
b
правило параллелограмма
a
b
a b
b
b
a b
a
a
b
ba
a
Чтобы вычесть один вектор из другого, надо оба вектора
отложить из одной общей точки, соединить их концы.
Результирующий вектор направлен к тому вектору, от
которого вычитают.
• Умножение вектора на число (скаляр).
Произведением вектора a на число λ называется
вектор   a , удовлетворяющий условиям:
1)
 a    a
2)  a
a
3a
a
3)  a  a,   0
 a  a,   0
 2a
• Свойства линейных операций.
a, b, c  V
, 1 , 2  R
1)
ab ba
закон коммутативности
2)
a  b c  a  b  c 
закон ассоциативности
3)  a  0 V : a  0  0  a  a
4)  a  b : a  b  b  a  0
b  a
противоположный вектор
5)
1  2  a  1  a  2  a




6)   a  b    a    b
7) 1  2  a  1  2   a
8)  a 1 a  a
закон дистрибутивности
относительно сложения
чисел
закон дистрибутивности
относительно сложения
векторов
закон
ассоциативности
относительно умножения
чисел
1. Построить векторы:
1
1
m  a  b  2c, n  2b  a  3c, k  c  3b  a
2
2
c
m
b
2c
a
b
a
1
1
m  a  b  2c, n  2b  a  3c, k  c  3b  a
2
2
c
b
a
a
2b
n
1
 a
2
 3c
k
 3b
1
c
2
2. ABCDA1B1C1D1- куб. Найти вектор, равный AB  B1C1  C1C
B1
A1
C1
D1
 DB  C1C  DB  D1 D 
B
A
AB  B1C1  C1C  AB  AD  C1C 
C
 D1 D  DB  D1 B
D
Ответ:
AB  B1C1  C1C  D1 B
3. ABCDA1B1C1D1- куб.
AA1  a,
Выразить через векторы
К- середина DD1.
B1
A1
B
c
C1 K
, если
1
C1 K  C1 D1  D1 K  b  a
2
K
C
b
A
a, b, c вектор
AD  c
C1
D1
a
AB  b,
D
Ответ:
1
C1 K  b  a
2
4. Дан параллелограмм ABCD. Точка О- точка пересечения
его диагоналей. Выразить вектор ОР через векторы a, b
если AC  a, BD  b
Р- середина ВС.
Р
B
C

О
b
A
D
Ответ:

1
1
OP  DC  OC  OD 
2
2
a
1
1
OP  a  b
4
4
11
1  1
1
  a  b  a  b
22
2  4
4
5. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. AB  a,
Выразить через векторы a, b векторы:
C
B
D
A






DA
1
1
1
1
BC  AD  a  b  a  b
2
2
2
2
1
1
1
1
CD  BE  b  a  b  a
2
2
2
2
a
b
BC , CD,
AE  b
E
DA   AD   a  b  a  b
F
Ответ:
1
1
BC  a  b
2
2
1
1
CD  b  a
2
2
DA  a  b
Проекция вектора на ось.
• Проекцией вектора AB на ось ℓ называется
число, равное длине вектора A B , т.е. A1 B1
1 1
B
A
A1
pr AB
B1
ℓ
pr AB  A1 B1 ,
A1 B1  
pr AB   A1 B1 ,
A1 B1  
Если AB  0 или AB   , то
pr AB  0
• Угол φ между вектором a и осью ℓ:
0≤φ ≤ π
a
φ
a1
ℓ
Основные свойства проекции.
1)
pr a  a  cos 
a
φ
Доказательство.
Если    a,   
ℓ
a1

2
, то
pr a   a1  a  cos
1)
pr a  a  cos 
a
(π-φ)
Если    a,    
2
, то
a1
pr a   a1   a  cos     a  cos 
Если    a,   

2
, то pr a  0  a  cos 
φ
ℓ
2)


pr a  b  pr a  pr b
a
b
ab
ℓ
pr b
pr a

pr a  b

3)
 
pr  a    pr a
При умножении вектора на число его проекция на ось
также умножается на это число.
Доказательство.
свойство (1)
Если   0 , то
 
pr  a   a  cos     a  cos     pr a
Если   0 , то
 
pr  a   a  cos    
   a   cos      a  cos     pr a