Теорема (Шарковского)

Дискретные по времени модели
динамики численности
популяции
1
Понятие дискретной по
времени модели

Под дискретными моделями
понимаются модели динамических
систем, в которых время t измеряется
дискретно, т.е. принадлежит
множеству натуральных чисел.
Тогда основные соотношения
модели представляют собой
функциональные уравнения. Шаг по
времени выбирается постоянным.
2
Дискретная модель
Уравнение, описывающее динамику численности
одновозрастной популяции с неперекрывающимися
поколениями имеет вид

n1
 F  n 
(1)
где  n численность n-го поколения.
 Функцию F естественно выбрать в виде F ( x)  axf ( x) ,
где af ( x) - скорость роста популяции. Если выбрать f ( x) таким
образом, что f max ( x)  1 , то параметр a есть репродуктивный
x 0
потенциал популяции, т.е. максимальная
приспособленность. Для многих популяций f ( x) монотонно
убывает с ростом численности и
f
max
x 0
( x)  f (0)
3
Положения равновесия
Рассмотрим положения равновесия,
т.е. Nn 1  Nn  N . Тогда уравнение (1)
примет вид N  aNf (N ) , т.е. N (1  af ( N ))  0
1
f
(
N
)

N

0
Отсюда
или
a
Учитывая, что f ( N )  1 имеем
А) при a  1 - одно положение
равновесия N  0 ;
Б) при a  1- два положения
1
f
(
N
)

равновесия N  0 и
.
a
4
Устойчивость неподвижных
точек


Положение равновесия является локально
устойчивым в том случае, когда отклонения
(возможно достаточно малые) от этого
положения со временем убывают и
неустойчивым, когда эти отклонения
возрастают.
Утверждение
Пусть функция F (x) - непрерывна, имеет
непрерывную производную.
Неподвижная N точка устойчива, если F (иN )  1
неустойчива, если
F ( N ) . 1
5
Характер динамики около
стационарных точек




Если F ( N )  1 , то  n возрастают по модулю и
сохраняют знак, поэтому отход равновесия
осуществляется монотонно.
Если 0  F ( N )  1, то  n убывают по модулю и сохраняют
знак, поэтому стремление к равновесию происходит
монотонно.
Если  1  F ( N )  0, то  n убывают по модулю и меняют
знак на каждом шаге, поэтому стремление к
равновесию происходит в виде затухающих
колебаний.
Если F ( N )  1 , то  n возрастают по модулю и меняют
знак на каждом шаге, поэтому отход равновесия
осуществляется путем расходящихся колебаний.
6
Анализ устойчивости
стационарных точек


Если a  1, то N  0- единственная неподвижная
точка. Причем, N  0 - глобально устойчивое
положение равновесия (вымирание популяции
при любых начальных значениях численности).
При a  1 нулевое положение равновесия
неустойчиво и при малом начальном значении
численность популяции монотонно возрастает.
7
Анализ устойчивости
стационарных точек
Проанализируем характер устойчивости
1
нетривиальной неподвижной точки f ( N )  a .
А) Если  1  aNf ( N )  0 ,то N - устойчива и
стремление к равновесию происходит
монотонно.
Б) Если  2  aNf ( N )  1 , то N - устойчива и переход к
равновесию происходит в виде затухающих
колебаний.
В) Если aNf ( N )  2 , то N - неустойчива и вблизи
нее поведение численности имеет вид
расходящихся колебаний.
8
Циклы и характер их
устойчивости



Говорят, что k чисел N1 , N 2 ,..., N k
образуют
периодическое решение или цикл уравнения (1),
если
N 2  F ( N1 ), N 3  F ( N 2 ),..., N k  F ( N k 1 ), N.1  F ( N k )
Если все N1 , N 2 ,..., N k элементы различны, то он
называется k - циклом или циклом длины k .
Неподвижная точка является 1- циклом.
Утверждение. Если для уравнения (1) есть k F (x ) - непрерывна, то это уравнение
цикл и
имеет неподвижную точку.
9
Теорема Шарковского


Теорема (Шарковского) Если F (x) непрерывна, то из того, что уравнение (1)
имеет цикл длины m вытекает, что оно
имеет циклы всех периодов, которые
следуют за m во множестве натуральных
чисел, упорядоченных таким образом:
3, 5, 7, 9,…, 3*2, 5*2, 7*2, 9*2,…, 3*22, 5*22,
7*22, 9*22,…, 3*23, 5*23, 7*23, 9*23,…,24, 23,
22, 2,1 - последовательность Шарковского.
Следствие Если уравнение (1) имеет цикл
длины 3, то оно имеет цикл любой длины.
10
Бифуркационная диаграмма
для модели xn1  axn (1  xn )
11