z- , ДПФ и цифровые фильтры

z- Преобразование,
ДПФ и цифровые
фильтры
Было установлено, что КИХ-цепь умножает
спектральную плотность входного сигнала на полином:
N 1

j
j
 j n 
Y (e )  X (e )   bne



 n 0

Предположим, что входная последовательность имеет
конечную длину М, тогда
M 1


j
 j n
X (e )    xne


 n 0

Выходная последовательность имеет спектральную плотность
снова в виде полинома степени M+N-2, причем
коэффициенты полинома (в количестве M+N-1) находятся как
свертка
2
Свертка последовательностей заменяется умножением
полиномов, а в случае бесконечных последовательностей рядов
Im z
X (e
j
)


x[n] e
 j n
e j
n 
Re z
Аналитическое
продолжение на
комплексную плоскость
X ( z) 


x[n] z
1
n
n 
ПФ – это сужение z-преобразования на 1-окружность
3
Для сравнения здесь показаны (модули) zпреобразования и преобразования Фурье
последовательности из трёх отсчетов
4
z-Преобразование сходится не для всех
последовательностей и не во всех точках комплексной плоскости. Совокупность точек z-плоскости, в которых
сумма ряда конечна, называется областью сходимости
z-преобразования данной последовательности.
При нахождении z преобразований некоторых
последовательностей
используется известная
формула суммирования
геометрической прогрессии

1
 a  1 a, a  1
n0
n
знак равенства нельзя понимать буквально!
5
n
Для экспоненциальной последовательности x[n]  a u[n]
z-преобразование имеет вид
X ( z) 

a
n0
n n
z

1
1 n
  (az ) 
n0
1
1
1  az
0.8
1
;
0.6
hn
0.4
0.2
3
4.74810
z
X ( z) 
, z | a |
za
0
0
5
10
15
n
15
АЧХ фильтра НЧ
6
x[n]  a nu[n]
Поведение z-образа экспоненциальной
последовательности
1
1
0.8
0.6
hn
0.4
0.2
3
4.74810
0
0
5
10
15
n
15
АЧХ фильтра НЧ
7
z-образ последовательности – суммы двух затухающих
комплексных экспонент
e
  j1n
e
  j1n
АЧХ полосового
фильтра (дискретный
аналог колебательного
контура)
8
Основная теорема алгебры:
N 1

k 0
1


 
bk z  k  b0 1  c1z 1 1  c2 z 1 ... 1  cN 1z 1
M 1

r 1


 

ar z  r  1  d1z 1 1  d2 z 1 ... 1  d M 1z 1

Поэтому передаточная функция полностью определяется набором
корней числителя (нулей ПФ) и знаменателя (полюсов ПФ)
N 1

H ( z )  b0 Mk 11
1  ck z 1

r 1


1  d r z 1

9
Например, нуль-полюсная диаграмма КИХ-цепи содержит
только нули:
N 1
H ( z )  b0  1  ck z 1
k 1


На самом деле полюсы имеются, но все
они сосредоточены в точке 0; такие
полюсы принято не обозначать на
диаграмме.
Расположение нулей говорит о
свойствах цепи даже больше:
например, эта диаграмма
соответствует КИХ-цепи с
вещественной ИХ (диаграмма
симметрична относительно
вещественной оси).
Кроме того, эта цепь имеет линейную ФЧХ (нули симметричны
относительно 1-окружности): сi  1/ c j
10
Например, нуль-полюсная диаграмма БИХ-цепи содержит
и нули, и полюсы:
На самом деле имеются еще полюсы
и нули в точках 0 и ∞, такие полюсы
принято не обозначать на диаграмме.
Эта диаграмма соответствует БИХцепи с вещественной ИХ (диаграмма
симметрична относительно
вещественной оси).
Кроме того, эта цепь устойчива, т.к. все
её полюсы (их в данном случае два)
находятся внутри 1-окружности.
Расположение нулей на устойчивость
не влияет, однако влияет на вид АЧХ и
ФЧХ.
11
Дискретное преобразование Фурье
Если последовательность и ИХ заданы в виде замкнутых
выражений и существуют их преобразования Фурье
(сходятся соответствующие ряды), то свертка может
быть найдена, как результат обратного преобразования
Фурье, примененного к произведению Фурье -образов .
Y (e
j
)  H (e
1
y[n] 
2

j
 Y (e
) X (e
j
)e
j
j n
)
d

В практике обработки сигналов этого не бывает; поэтому
встает вопрос о вычислении преобразований (z- или Фурье)
12
Очевидно, что вычислить преобразование можно только
для последовательности конечной длины и лишь в
конечном множестве точек z-плоскости (в противном
случае потребовалось бы выполнить бесконечное
количество арифметических операций).
X ( z) 
N 1

x[n] z  n
n0
Для того чтобы однозначно задать полином степени
(N-1), например, с помощью интерполяционной
формулы Лагранжа, достаточно указать значения
этого полинома в N различных точках z-плоскости.
Эти точки можно выбрать произвольно
13
Из соображений удобства вычислений наиболее
подходящим является равномерное расположение точек
на 1-окружности
2
j k
zk  e N , k  0, N  1
zk  1
N 6
 j 2 k 
X ( zk )  X  e N  





N 1

n0
2
 j kn
x[n] e N
X [k ] 
N 1

n0
2
 j kn
x[n] e N , k
 0, N  1
14
Таким образом, для последовательности длины N
вычисляется также последовательность длины N
спектральных коэффициентов. Это дискретное
преобразование Фурье (ДПФ).
N 6
Это дальнейшее сужение z-преобразования на
конечное множество точек
X [k ] 
N 1

2
 j kn
x[n] e N , k
 0, N  1
n0
2
N 1
j kn
X [k ] e N , k
1
x[n] 

N k 0
 0, N  1
15
Итак, возникает принципиальная возможность
применения спектрального метода для фильтрации
дискретных сигналов в частотной области.
В самом деле, если вычислить ДПФ для входного сигнала
и для ИХ фильтра, то их произведение должно совпадать
с ДПФ выходного сигнала. Однако это справедливо лишь
для преобразований Фурье:
Y (e
j
)  H (e
j
) X (e
j
)
Механическое применение того же принципа к ДПФ
приводит к грубейшей ошибке.
Формально выполнить умножение можно:
Y  k   H  k  X  k , k  1, N  1
16
Y  k   H  k  X  k , k  1, N  1
В действительности отсчеты ДПФ входного сигнала
(их N штук) – это форма представления спектральной
плотности, которая имеет вид полинома степени (N-1).
КЧХ фильтра - это еще один полином такого же
порядка.
Но тогда их произведение – это полином степени
(2N-2), что соответствует последовательности
длины (2N-1), и для его точного представления
необходимо по крайней мере (2N-1) точек
комплексной плоскости
Таким образом, для применения такого способа
необходимо дополнение сигнала и ИХ нулевыми
отсчетами, так, чтобы их длины и основание ДПФ
были все равны (2N-1) или больше
17
Цифровые фильтры
Назначение дискретных ЛИС-цепей заключается в
фильтрации сигналов, т.е. в избирательном
воздействии на амплитуды и начальные фазы
гармонических составляющих различных частот. Это
означает, что любая ЛИС-цепь есть фильтр.
Интерес представляет построение фильтров с
заданными свойствами. Синтезировать фильтр –
значит, найти его разностное уравнение и/или
структурную схему.
При решении задачи синтеза обычно не делают
различия между дискретными и цифровым цепями,
хотя, строго говоря, дискретная ЛИС-цепь
становится цифровой в результате квантования
коэффициентов ее разностного уравнения
18
Требования к фильтрам
19
Синтез цифровых фильтров
При синтезе фильтра требуется получить КЧХ (АЧХ и
ФЧХ) требуемого вида.
Однако КЧХ КИХ-цепи представляет собой полином, а
КЧХ БИХ-цепи – дробно-рациональную функцию.
Поэтому синтез фильтра состоит в нахождении
такой реализуемой структуры дискретной цепи,
характеристики которой были бы в каком-то смысле
наиболее близки к желаемым.
С математической точки зрения синтез фильтра –
это аппроксимация желаемой характеристики при
помощи функции из заданного класса (то есть при
помощи полинома или частного двух полиномов)
20
Особенности КИХ-фильтров
Преимущества:
1. КИХ-фильтры всегда устойчивы.
2. Только КИХ-фильтр может иметь строго линейную
фазочастотную характеристику (фильтр с линейной ФЧХ не
искажает сигнала, если его спектр лежит в полосе частот, где
АЧХ постоянна; при этом сигнал лишь задерживается на
время, пропорциональное крутизне ФЧХ).
3. Для КИХ-фильтров наиболее просто решается задача
аппроксимации КЧХ желаемого вида реализуемой функцией
(тригонометрическим полиномом).
Недостаток: для обеспечения сравнимых частотно-избирательных
свойств (крутизны АЧХ в переходной полосе частот) требуется КИХфильтр в десятки раз более высокого порядка, чем БИХ-фильтр.
21
Синтез КИХ-фильтров
1. Метод оконного взвешивания
M
H (e j ) 

n  M
bne jn
КЧХ КИХ-фильтра –
полином
Если критерий близости желаемой и реализуемой КЧХ

1
2
j
j 2
 
H (e )  H ж (e ) d

2 
наилучшая аппроксимация - когда коэффициентами
полинома являются коэффициенты разложения
желаемой КЧХ в ряд Фурье
1
bn 
2



H ж (e j )e j n d , n   M , M
22
Полученные коэффициенты – это отсчеты ИХ
(некаузальной); для каузальности нужен сдвиг
1
bn 
2


H ж (e j )e j n d , n   M , M

h[n]  bn  M , n  0, N  1
где
N  2M  1
1.5
1.5
1
H.æ(  )
0.5
0
2

0
2
0.3

0.232
0.2
hn
 0.05
0.1
 40
 20
0
20
40
 0.1
 30
n
30 23
Однако если желаемая КЧХ разрывна (например,
прямоугольной формы), получаемая КЧХ, как
сумма усеченного ряда Фурье , содержит
гиббсовские осцилляции.
1.5
1
H.æ(  )
0.5
H(  )
2
0
2
 0.083
 0.5



причина явления Гиббса заключается в слишком
медленном убывании коэффициентов Фурье-разложения
разрывной функции
24
Окна
Хэмминга
1
1
0.8
0.6
wn
0.4
0.2
0.08
2 n
wхм [n]  0.54  0.46 cos
N 1
 20
0
 30
20
n
30
1
1
Хэнна (фон Ганна)
1
2 n 
wх [n]   1  cos

2
N 1
0.8
0.6
wn
0.4
0.2
0
 20
0
 30
20
n
30
Кайзера
1
1

2
2
N

1
N

1




wn
I 0  a 
n 



2  
 2 

3
5.931
10
wк [n]  
N  1

I 0  a
2 

0.8
0.6
0.4
0.2
 20
 30
0
20
n
30
25
Результат применения окна Хэмминга
1.5
1
H.æ(  )
H(  )
0.5
H.w(  )
2
0
2
 0.083
 0.5
10
1.5


2
0

2
0.1
H(  )
0.01
H.w(  )
3
110
4
110
5
110
6
1.13610
6
110



26
Результат применения окон Хэмминга и
Блэкмана
1.5
1
H(  )
H.w(  )
0.5
H.w1(  )
2
0
2
10
1.5
 0.083
2

 0.5 0
0.1
2

0.01
H(  )
3
H.w(  )
110
H.w1(  )
110
4
5
110
6
110
7
110
8
7.59710
8
110



27
2. Метод частотной выборки
основан на задании значений желаемой КЧХ в точках,
расположенных равномерно на 1-окружности и
соответствующих точкам частотной оси (отсюда
название метода) и аппроксимации КЧХ
интерполяционным полиномом Лагранжа
H ( z) 
N 1
 (1  z
n0
1
zn ) 
N 1

m0
Am
(1  z 1zm )
28
Метод приводит к построению структуры, содержащей
трансверсальную и рекурсивную части, которой, тем
не менее, соответствует конечная импульсная
характеристика.
Благодаря наличию рекурсии такие фильтры при
реализации требуют меньшего числа операций по
сравнению с рассмотренными выше КИХ-фильтрами
на основе оконного взвешивания и оказываются
предпочтительными.
Пример. Фильтр скользящего среднего может быть
реализован как КИХ-фильтр с ИХ
h[n]  1, n  0, 2 N  1
Свертка требует 2N сложений
29
передаточную функцию можно записать в виде
2 N 1
Y ( z)
1
2 N 1  z
H ( z) 
 1  z  ...  z

1
X ( z)
1 z
один простой полюс в точкеz  1
и 2N  1 нулей, равномерно размещённых на
единичной окружности. При этом РУ
y[n]  y[n  1]  x[n]  x[n  2 N  1]
требует выполнения двух операций
сложения/вычитания независимо от величины N
30
Структура КИХ- фильтра на основе метода
частотной выборки
WN  e
j
 j 2 m 
1  N 
Am  H e

N 


31
2
N
Быстрое преобразование Фурье
Это базовая операция
БПФ («бабочка»)
здесь использовано
общепринятое
обозначение
WN
Требуется
N
log 2 N
2
комплексных умножений вместо
2
j
e N
N2
32
3. Метод быстрой свёртки
основан на применении БПФ, при этом сумма длины
сигнала (M) и длины ИХ (L) должна удовлетворять
условию (L+M-2<N), где N – основание БПФ.
Если сигнал длинный, то может оказаться
неприемлемым слишком большое основание БПФ и
задержка. Тогда применяют секционирование –
сигнал разбивают на секции небольшой длины
x[n] 


k 
xk [n]
kL  n  (k  1) L
 x[n],
xk [n]  
 0, в противном случае.
33
К каждой секции применяют БПФ, умножение на КЧХ
и обратное БПФ, а результаты складывают
 

x[n]  h[n]    xk [n]   h[n] 


 k 




  xk [n]  h[n]  
k 
k 
yk [n]
метод перекрытия с
суммированием
(overlap-add method )
34