L

14. Частица в потенциальном ящике
Рассмотрим частицу в одномерном ящике с
бесконечно высокими стенками, расстояние между
которыми равно L .
Потенциальная энергия частицы вне и внутри
потенциального ящика имеет следующее значения:
U=0
( 0< x < L)
U=∞ (L ≤ x ≤ 0)
Разрешенные состояния квантовой частицы в
таком ящике находятся из решения одномерного
уравнения Шредингера:
d  2m
 2 (U  E )
2
dx
2
Частица зеркально отражается от стенок ящика
Вне ящика (в барьерах) решением уравнения
Шредингера является
ψ=0
Бесконечные барьеры непрозрачны для частицы,
вероятность ее обнаружения в барьерах равна нулю.
Это имеет место вплоть до границ ящика x = 0, х = L.
Внутри ящика, где U = 0, решением уравнения
Шредингера является функция
( x )  A sin kx
где
k  2mE /
2
- волновое число.
Поскольку волновая функция всюду должна быть
непрерывна, то на границах с барьерами она должна
обращаться в нуль (так как в барьерах ψ = 0 ).
На границе х = 0 , это условие выполняется
автоматически. На границе х = L получаем
0  sin(kL)  (kL)
Это выполняется при
kL = n
где n – любое целое число.
Таким образом, разрешены только дискретные
значения волнового числа kn:
kn  n / L
Это значит, что на ширине ящика должно
укладываться целое число полуволн, что совпадает с
условием возникновения стоячей волны:
L = n(/2)
Волновые функции стационарных состояний
n(х) = A sin(nx/L)
для n = 1, 2, 3,…
Коэффициент А определяется из нормировочного

условия
| 
( x ) | dx  1
2
n
0
A
2
L
Окончательное выражение волновой функции
n ( x) 
2
n
sin(
x)
L
L
Разрешенные значения импульса:
pn  kn
или
pn  n( / L)
Разрешенные значения энергии частицы в ящике
p
2 
En 
n
2
2m
2mL
2
n
2
2
Волновые
функции
нижних
состояний частицы в потенциальной
яме.
На нижнем рисунке – плотность
вероятности состояния с n = 4.
Наименьшую энергию имеет основное
состояние с n = 1

E1 
2
2mL
2
2
Волновая функция основного состояния
1(х) = A sin(x/L)
имеет вид половины синусоиды.
В квантовой механике частица в ящике не
может иметь энергию меньше энергии основного
состояния Е1 ( в ящике не должна быть нулевой
функцией).
В классической физике частица может
иметь нулевую энергию.
Запишем
стационарное
уравнение
Шредингера
Ĥ n(х) = En n(х)
Значения En называются собственными
значениями гамильтониана Ĥ.
Соответствующие им волновые функции
n(х)
называются
гамильтониана Ĥ.
собственными
функциями
15. Атом водорода
Определим квантовые состояния электрона в атоме
водорода.
Потенциал
кулоновского
притяжения
электрона к протону зависит только от модуля
расстояния
U = –k e2/r , k =1/(4πε0)
Этот потенциал обладает сферической симметрией.
Уравнение Шредингера с таким потенциалом удобнее
решать в сферических координатах (r, θ, φ), связанных
с декартовыми координатами (x,y,z) соотношениями:
х = r sin  cos  ; y = r sin  sin  ; z = r cos 
Уравнение Шредингера в сферической системе
координат имеет вид:
1 ∂  2 ∂ψ 
1
∂ 
∂ψ 
1
∂ 2ψ
2m
= - 2 E - U ψ
r
+ 2
 sinθ
+ 2
2
2
2
r ∂r 
∂r  r sinθ ∂θ 
∂θ  r sin θ ∂ 
Его решением являются волновые функции
 nlm (r, , ) = Rnl (r)Ylm (  , )
Rnl (r)
радиальная функция
Ylm (  , ) = C lm Pl|m| (cos )e im
шаровая функция
(2l  1)(l  | m |)!
C lm 
нормировочный коэффициент
4 (l  | m |)!
Радиальная функция равна
Rnl (r) =
(n - l - 1)!
3
3
( na ) 2n[( n  l )!]
l
 r 
  e
 na 

r
na
2 l 1
n l
L
r
( )
na
d Lm ( )
присоединенный полином Лаггера
L ( ) 
k
d
m
m 
 d ( e )
полином Лаггера
Lm ( )  e
m
d
|m|
|m|
|m|
2 2 d Pl ( )
присоединенный полином
Pl (  ) = (1 - ξ )
|m|
d
Лежандра
l
2
l
1 d [(  1) ]
полином Лежандра
Pl (  ) = l
l
2 l!
d
k
k
m
n = 1,2,3,…. – главное квантовое число
l = 0,1,2,…,(n-1) – орбитальное квантовое число
m = 0, ±1, ±2,…, ±l
– магнитное квантовое число
Пример: возможные комбинации l и m для n = 2
n
l
m
2
2
2
2
0
1
1
1
0
-1
0
1
Из решения уравнения Шредингера для атома
водорода получаются такие же энергии стационарных
состояний, как и в теории Бора

me 4
En   
2 2
 32  0
 1
2  2
n
В кулоновском потенциале все квантовые состояния с
одним и тем же числом n имеют одинаковую энергию.
Количество таких состояний (кратность вырождения
уровня En) равно
n-1
l
n-1
 1= (2l + 1)= n
l=0 m=-l
l=0
2
Буквенные обозначения для оболочек и подоболочек
Номер
1
2
3
4
5
6
оболочки, n
Буквенное
обозначение
K
L
M
N
O
P
Номер
0
1
2
3
4
5
подоболочки, l
Буквенное
s
p
d
f
g
h
обозначение
s - "резкая" (sharp) линия
p - "главная" (principal) линия
d - "диффузная, размытая" (diffuse) линия
f - "фундаментальная" (fundamental) линия
Орбитальное число l характеризует форму орбитали
|  nlm (r, , ) |
2
s- орбиталь имеет вид шара
p- орбиталь - форма гантели
d- орбиталь - две перпендикулярных гантели
Основному состоянию
волновая функция
атома
1
Ψ 100 (r) =  3/2 e
 a
2
a=
kme
0
2
 0.52917 A
водорода
-
отвечает
r
a
радиус первой боровской орбиты.
Энергия основного состояния атома водорода равна
2
E1 = -
2ma
2
  13.6 eV   1 Ry
минимальная энергия, необходимая
удаления электрона из атома водорода.
E1
-
для
Она называется энергией связи или первым
потенциалом ионизации атома водорода.
Волновые функции некоторых возбужденных
s - состояний имеют вид
при n = 2, l = 0, m = 0
1 2
 200 ( r, , ) 
 
8  a
3/ 2
r   r / 2a

1 
e
2a 

при n = 3, l = 0, m = 0

2r
2 r   r / 3a
 300 ( r, , ) ~ 1 

e
2 
3a 27a 

2
Наиболее вероятные расстояния электрона от ядра
приходятся на соответствующие боровские орбиты
16. Орбитальный момент импульса и
проекция момента импульса
Покажем, что квантовые числа m и l характеризуют
момент импульса электрона.
Пусть волновой пакет (электрон) с волновым числом
k движется по окружности с радиусом R.
z
Такой
пакет
имеет
относительно оси вращения z
момент
импульса
Lz = Rp = R(ħk)
Волна де-Бройля пакета на дуге s = R равна
 ~ ei(ks t) = ei(kR t)
Функции ( = 0) и ( = 2) отвечают одной и
той же точке пространства, поэтому их значения
должны совпадать eikR·0 = 1= eikR·2
Отсюда следует
kR = m , где m – целое число
Умножив обе части последнего равенства на ħ,
получаем
ħkR = mħ
или
Lz = mħ
Следовательно, проекция момента импульса
атома водорода квантуется и кратна ħ
Lz = 0, ± ħ, ±2 ħ, ± 3 ħ, …
Кинетическая энергия вращательного движения
твердого тела равна Т = L2/(2·I), где I  момент
инерции, L – момент импульса.
Согласно квантовой теории
l  l  1
T
2I
2
Сравнивая два выражения, находим:
L
L 
2
2
l  l  1
l  l  1
- квадрат момента импульса
Вектор момента импульса электрона L
ориентируется в пространстве под влиянием
внешнего магнитного поля. Он поворачивается так,
что его проекция на направление внешнего
магнитного поля равна
Lz = mħ
Поэтому
магнитное
квантовое
число
определяет пространственную ориентацию момента
импульса.
17. Излучение фотонов
А. Спонтанное излучение
Электрон, находящийся на энергетическом
уровне выше основного, может испустить фотон и
перейти на более низкий энергетический уровень.
Такой
процесс
излучением.
называется
спонтанным
Типичное время, необходимое для процесса
испускания фотона, составляет ~ 108 с.
Фотоны
представляют
собой
элементарные
частицы со спином 1 и моментом импульса L = ħ .
При испускании фотона орбитальное квантовое
число атома l изменяется на единицу.
Обозначим через N1 - число атомов находящихся
в основном состоянии с энергией Е1, а через N2 
число возбужденных атомов с энергией Е2, тогда
N = N1 + N2  общее число атомов.
Величины N1 и N2 называют заселенностью
энергетических уровней.
В состоянии термодинамического равновесия
распределение Больцмана дает соотношение между
числами N1 и N2 при заданной температуре T
N2
e
N1
E2  E1

kT
Поскольку Е2  Е1 , то при любой температуре
для равновесной системы N1  N2 .
Спонтанное излучение атомов не коррелированно, не
поляризовано и не когерентно.
Такое излучение испускают обычные источники
света  лампы накаливания, люминесцентные лампы,
нагретые тела, Солнце и др.
Б. Вынужденное излучение
В 1916 г. Эйнштейн показал, что существует
еще один вид излучения  вынужденное или
стимулированное излучение.
Оно вызвано излучением, падающим извне на
возбужденный атом. С вероятностью В12 оно
вынуждает атом излучать. Скорость процесса
вынужденного излучения равна
Z21 = B21N2U,T
где U,T – объемная плотность энергии излучения.
Происходящий процесс изображен на рис.17.1.
Рис.17.1
Падающее
излучение
вынуждает
возбужденный атом излучать. Кванты вынужденного
излучения неотличимы от первичных стимулирующих
квантов.
Отметим свойства вынужденного излучения,
отличающие его от спонтанного излучения:
1. Вынужденное излучение распространяется в том
же направлении, что и вызвавшее его излучение.
2. Фаза волны вынужденного излучения точно
совпадает с фазой падающей волны.
3. Вынужденное излучение линейно поляризовано в
той же плоскости поляризации, что и падающее
излучение.
4. Кванты вынужденного излучения неотличимы
от первичных квантов.
Среды с инверсной заселенностью уровней
При распространении излучения в веществе его
энергия уменьшается, а интенсивность убывает по
экспоненциальному закону (закон Бугера):
I(z) = I0 exp(z)
где I0, I(z)  интенсивности излучения на входе и
выходе слоя вещества;  - коэффициент поглощения
вещества.
Для поглощающих излучение сред коэффициент
поглощения положителен  > 0.
Но существуют среды, при распространении в
которых излучение усиливается, а не ослабляется.
Это среды с отрицательным коэффициентом
поглощения (рис.17.2).
Впервые
эта
идея
В.А.Фабрикантом в 1939 г.
была
высказана
Такая активная среда должна иметь N2 > N1 инверсную заселенность энергетических уровней, при
которой число атомов в возбужденном состоянии
превышает число атомов в основном состоянии.
Рис.17.2 Изменение интенсивности излучения в среде с
обычной (  0) и инверсной ( < 0) заселенностью.
Механизм усиления вынужденного излучения
при распространении его в активной среде состоит в
следующем.
Пусть пучок вынужденного излучения встречает
на своем пути атом вещества.
Если этот атом находится в основном состоянии, то
он может поглотить квант энергии излучения.
Если же атом находится в возбужденном
состоянии, то под действием падающего излучения
он может вынужденно испустить еще один квант
излучения, увеличивая энергию излучения в
веществе на ħ.
18. Лазеры
Квантовые усилители и генераторы
Идея усиления и генерации вынужденного
излучения активной средой была реализована в
1955 г. Басовым и Прохоровым в СССР и в США
Таунсом и Вебером.
В 1960 г. был создан оптический квантовый
генератор (Мейман, США) - лазер (Light Amplification
by Stimulated Emission of Radiation  усиление света с
помощью вынужденного излучения).
Первый твердотельный лазер был создан на
основе монокристалла рубина (корунд Al2O3 с
примесями ионов хрома Cr3+).
Для создания инверсии заселенностей уровней
использовалась трехуровневая схема.
Энергетический спектр атомов содержит три
уровня с энергиями Е1, Е2 и Е3 (рис.18.1).
Рис.18.1 Трехуровневая схема генерации вынужденного
излучения в рубиновом лазере (Al2O3 - Cr3+)
Главная особенность трехуровневой системы
состоит в том, что средний уровень 2 метастабильный,
но время жизни атома в нем (~ 103 с) в сотни тысяч раз
превышает время жизни в обычном возбужденном
состоянии (~ 108 с).
Это позволяет накапливать возбужденные атомы
на втором уровне с энергией Е2.
Процесс перевода атомов
состояние называют накачкой.
в
возбужденное
В рубиновом лазере используется импульсная
оптическая накачка.
Кристалл рубина Р освещают ксеноновой
лампой Л, работающей в импульсном режиме,
длительность вспышки ~ 103 с (рис.18.2).
Рис.18.2 Схема рубинового лазера
Поглощая это излучение, атомы хрома переходят
в возбужденное состояние с энергией Е3, время
жизни которых < 107 с.
За это время атомы хрома переходят на более
низкий метастабильный энергетический уровень с
Е2 .
Переход 3  2 является безызлучательным (без
испускания фотона), энергия передается от атома
хрома к кристаллической решетке рубина.
Метастабильность
уровня
2
обеспечивает
инверсную заселенность уровней 1 и 2.
Рубиновый стержень превращается в активную
среду, способную усиливать вынужденное излучение
с λ = 594,3 нм (переход 2  1).
Если в результате спонтанного перехода
рождается фотон с такой длиной волны, то он
индуцирует новые фотоны, точно копирующие
первоначальный.
Рождение
вынужденных
лавинообразный характер.
фотонов
носит
Чтобы оптический усилитель превратить в
оптический генератор когерентного лазерного
излучения, необходимо обеспечить положительную
обратную связь.
Для этого усиленный пучок излучения надо
снова направить в активную среду.
Обратную связь обеспечивает оптический
резонатор, состоящий из двух параллельных
плоских зеркал (ЗI и ЗII на рис.18.2), расположенных
вблизи торцов рубинового стержня. Одно из зеркал
делается полупрозрачным.
После многократного отражения от зеркал и
усиления лазерный пучок становится интенсивным
и выходит через полупрозрачное зеркало.
Затем следует новая вспышка лампы накачки и
процесс повторяется.