Демонстративно – методическое пособие по решению типовых задач из курса Автор В. В. Потников Оглавление 1.1 ТОЧКА Проецирование точки на плоскости проекций Точка на комплексном чертеже 1.2 ПРЯМАЯ Следы прямой Определение истинной величины отрезка прямой и углов наклона прямой к плоскостям проекций 1.3 ПЛОСКОСТЬ Следы плоскости Пересечение двух плоскостей Плоскости общего положения Геометрические фигуры Точка встречи прямой с плоскостью общего положения , определение видимости прямой относительно плоскости 2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА Пересечение прямой с геометрическими телами 3 ЗАДАЧИ Точка на плоскости Построить проекции точек с координатами: A (x; y; z) z=0 x ax A2 z az o A3 ay y A1 ay y Построить проекции точек с координатами: A (x; y; z) z=0 x ax A2 z az o A3 ay y A1 ay y Построить проекции точек с координатами: A (x; y; z) y=0 A2 z az A3 x o ax A1 ay ay y y Построить проекции точек с координатами: A (x; y; z) y=0 A2 z az A3 x o ax A1 ay ay y y Построить проекции точек с координатами: A(x; y; z) x=0 z az A3 A2 x ax o ay y A1 ay y Построить проекции точек с координатами: A (x; y; z) x=0 z az A3 A2 x ax o ay y A1 ay y назад назад далее Точка на комплексном Точка на комплексном чертеже чертеже Построить проекции точек с координатами: A(x; y; z) z A2 x az A3 o ax ay y A1 ay y Построить проекции точек с координатами: A(x; y;z) z A2 x az A3 o ax ay y A1 ay y Построить проекции точек с координатами: B(x; -y;z) z -y B2 B3 bz by B1 x -y o bx -x y by -z y Построить проекции точек с координатами: B(x; -y;z) z -y B2 B3 bz by B1 x -y o bx -x y by -z y Построить проекции точек с координатами: C(x; -y;-z) z -y C1 cy x -y o cx cy C2 C3 -x y cz -z y Построить проекции точек с координатами: C(x; -y;-z) z -y C1 cy x -y o cx cy C2 C3 -x y cz -z y Построить проекции точек с координатами: D(x; y;-z) x z -y dx o dy -x y -y dy D1 dz D3 D2 -z y Построить проекции точек с координатами: D(x; y;-z) x z -y dx o dy -x y -y dy D1 dz D3 D2 -z y Построить проекции точек с координатами: E(-x; y;z) z -y E3 E2 ez x o ey ex -x y -y ey E1 -z y Построить проекции точек с координатами: E(-x; y;z) z -y E3 E2 ez x o ey ex -x y -y ey E1 -z y Построить проекции точек с координатами: F(-x;- y; z) F3 fz z -y fy x -y F2 F1 o fx -x y fy -z y Построить проекции точек с координатами: F(-x;- y;z) F3 fz z -y fy x -y F2 F1 o fx -x y fy -z y Построить проекции точек с координатами: G(-x;- y;-z) z -y gy x -y G1 o gx -x y gy G3 -z gz y G2 Построить проекции точек с координатами: G(-x;- y;-z) z -y gy x -y G1 o fx -x y gy G3 -z gz y G2 Построить проекции точек с координатами: S(-x;y;-z) z -y x o sy sx -x y -y sy S1 sz -z S3 y S2 Построить проекции точек с координатами: S(-x;y;-z) z -y x o sy sx y -y sy S1 sz -z назад -x назад S3 S2 y далее Следы прямой Точка на комплексном чертеже ЗАДАЧА Построить следы прямой АВ, покапать видимость прямой, дать характеристики положения прямой в пространстве относительно плоскостей проекций. В2 о х А2 В1 А1 2. Соединить одноименные проекции точек и определить горизонтальный след прямой - точку Н (Н2 H1) В2 х Н2 о А2 В1 А1 Н1 2. Определить фронтальный след прямой АВ - точку F (F2,F1) F2 В2 х Н2 F1 А2 В1 А1 Н1 о з. Определить характеристики положения прямой в пространстве относительно плоскостей проекций (точка С - произвольная). Показать видимость прямой F2 В2 х Н2 F1 А2 В1 А1 Н1 о з. Определить характеристики положения прямой в пространстве относительно плоскостей проекций (точка С - произвольная). Показать видимость прямой. С2 F2 В2 х Н2 С1 F1 А2 В1 А1 Н1 ≥ назад назад Ι ΙΙ далее о Определение истинной величины отрезка Точка на комплексном чертеже наклона прямой и углов прямой к плоскостям проекций ЗАДАЧА По двум заданным проекциям отрезка найти его истинную величину и углы наклона его к плоскостям проекций. z А2 х О y В2 А1 В1 у 1. Построить профильную проекцию заданного отрезка А В z А2 А3 х О y В2 А1 В3 В1 у 2. Определить следы отрезка и показать видимость его. z А2 А3 Н2 х О Н3 y В2 В1 А1 В3 Н1 Н3 у 3. Определить графи чески алгебраическую разность координат концов заданного отрезка: х = хв - хА У = Ув - УА Z = ZA - Zв z А2 Н2 х А3 Δх Δ z О Н3 y А1 В2 В3 Н1 В1 Δу Н3 у 4. Найти истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций А´ z Δу А2 О β Н3 γ А1 В ´Ξ В2 А´ А3 Н2 х Δх y В3 Ξ В ´ Н1 В ´Ξ В1 Н3 α - к плоскости П1 α β - к плоскости П2 ΙАВΙ= ΙАВΙ1+ΙАВΙ2+ΙАВΙ3 3 назад назад А´ у γ - к плоскости П3 далее Следы плоскости Точка на комплексном чертеже ЗАДАЧА Через три заданные точки nоcmроuть плоскость, показать видимость отрезков и следов плоскости. В заданной плоскости провести горизонталь с отметкой z = 5 ед.и фронталь с отметкой У=4 ед. А2 С2 х В2 С1 О В1 А1 1. Соединить любую пару заданных точек (например, А и С), найти следы и показать видимость полученной прямой,F(F2F1)=AC ∩ П2 H(H2H1)=AC ∩ П1 А2 Н1 F2 С2 В2 С1 х Н2 О F1 В1 А1 1. Соединить любую пару заданных точек (например, А и С), найти следы и показать видимость полученной прямой,F(F2F1)=AC ∩ П2 H(H2H1)=AC ∩ П1 А2 Н1 F2 С2 В2 С1 х Н2 О F1 В1 А1 2. Соединить другую пару заданных точек (например, А и В), найти также следы и показamь видимость этой прямой F1(F21,F11)=АB ∩ П2 H1(H21,H11)=АВ ∩ П1 Н1 А2 F2 С2 В2 С1 х Н2 Н11 F1 В1 А1 Н21 F11 F21 О 2. Соединить другую пару заданных точек (например, А и В), найти также следы и показamь видимость этой прямой F1(F21,F11)=АB ∩ П2 H1(H21,H11)=АВ ∩ П1 Н1 А2 F2 С2 В2 С1 х Н2 Н11 F1 В1 А1 Н21 F11 F21 О 3. Через следы прямых провести соответствующие следы плоскости FF1= f o а Н Hi = hoа Следы плоскостей должны пересекаться на оси 0х ; Х а = hо а ∩ fо а ; Ха Є Ох Н1 А2 fо а F2 С2 В2 С1 х Н2 Н11 F11 Ха F1 В1 А1 Н21 F21 hо а О 4 Показать видимость следов плоскости foa - всегда видны выше оси Ох h0а - всегда видны ниже оси Ох Н1 А2 fо а F2 С2 В2 С1 х Н2 Н11 F11 Ха F1 В1 А1 Н21 F21 hо а О 5. Пpoвecmu горизонталь плоскости 1 2 (1222,1121) с отметкой z=5 1222|| Ох 1121|| h0a Н1 А2 22 F2 С2 В2 С1 х Н2 z=5 12 fо а Н11 F11 Ха 11 F1 В1 Н21 F21 А1 hо а 21 О 6. Провесmи фронталь плоскости 34(3242;3141) С отметкой у=4 3141 || 0х 3242 || foа 42 Н1 А2 12 fо а F2 22 К2 С2 В2 С1 у=4 х Н2 11 41 Н11 F11 32 Ха F1 В1 Н21 F21 31 А1 К1 Проверка: горизонталь и фронталь должны пересечься в одной точке К (К2 К1) К (К2К1) = 12 ∩ 34 назад назад hо а 21 далее О Пересечение двух Точка на комплексном чертеже плоскостей (плоскости общего положения) Задача Построить линию пересечения 2-х плоскостей заданных следами, когда следы плоскостей пересекаются в пределах чертежа, Дать характеристику положения линии пересечения в пространстве относительно плоскостей проекций. Показать видимость следов плоскостей и линии пересечения foa foв х о hoв hoa 1.Пpoвecmu вспомогательную секущую плоскость γ II П1 (произвольно) foα foβ foγ х о hoβ hoα 2. Определить линию пересечения плоскости α со вспомогamельной плоскостью γ (это будет горизонталь плоскости α) α ∩ γ=MN foα foβ foγ M2 N2 х о N1 hoβ hoα M1 3. Определить линию пересечения плоскости β со вспомoгательной плоскостью γ (это будет горизонталь плоскости γ), β ∩ γ =12 foα foβ 22 foγ M2 12 N2 х о 11 N1 hoβ hoα 21 M1 4. Определить точку К(К2, К1) принадлежащую линии пересечения плоскостей α и β NM ∩ 12=K foα foβ 22 K2 foγ M2 12 N2 11 х о N1 hoβ K1 hoα 21 M1 5, Onределить точку L(L2,L1) -точку пересечения горизонтальных следов hoα и hoβ hoα ∩ hoβ = L foα foβ 22 K2 foγ M2 12 L2 11 N2 х о N1 L1 hoβ K1 hoα 21 M1 6. Определить линию КL (К2L2, К1L1)-пересечения плоскостей α и β α ∩ β =KL foα foβ 22 K2 foγ M2 12 N2 х L2 о 11 N1 L1 K1 hoβ hoα 21 M1 7, Определить характеристику линии пересечения относительна плоскостей проекций(П1П2). foα foβ 22 K2 foγ M2 12 N2 х L2 о 11 N1 L1 п. п. н.п KL- I -Пл.П1 – IV - Пл.П2 - III K1 hoβ hoα 21 назад назад M1 далее Пересечение двух Точка на комплексном чертеже плоскостей (Заданных геометрическими фигурами ) Задача: Построить линию пересечения двух плоскостей, заданных плоскими фигурами:Δ АВС и Δ ДКЕ показать видимость. B2 D2 A2 E2 C2 o x K2 C1 D1 E1 A1 B1 K1 1. Воспользуемся вспомогательной секущей плоскостью βΙΙ П2 проходящей через(·) А Δ АВС эта плоскость пересечет Δ АВС по фронтали А1(А212) Δ АВС ∩β=А1 плоскость β пересекает Δ ДКЕ по фронтали2;3 Δ ДКЕ ∩β= 23 Точка пересечения фронталей А1 и 23 даёт искомую (·) F = А1 ∩ 23 B2 D2 12 F2 A2 E2 22 C2 32 o x K2 C1 D1 E1 21 A1 11 F1 K1 31 B1 2. Для получения второй точки линии пересечения Δ АВС и Δ ДКЕ воспользуемся плоскостью γ П1 и проходящей через сторону КЕ Δ ДКЕ Δ ДКЕ ∩ γ =КЕ Δ АВС ∩ γ=45 КЕ ∩ 45= (·)R(R2R1) f Т B2 41 D2 12 51 F2 R2 E2 A2 22 C2 32 xo x K2 C1 R1 E1 D1 21 A1 11 51 F1 41 h K1 31 B1 3. Соединив одноименные проекции точек F u R, получим проекции линии пересечения плоскостей Δ АВС ∩ Δ ДКЕ =FR f B2 41 D2 12 51 F2 R2 E2 A2 22 C2 32 xαo x K2 C1 R1 E1 D1 21 A1 11 51 F1 41 hα K1 31 B1 4. Пользуясь методом конкурирующих точек, определяем видимость заданных плоскостей относительно друг друга f B2 41 D2 12 51 F2 R2 E2 A2 22 C2 32 xαo x K2 C1 R1 E1 D1 21 A1 11 51 F1 41 hα K1 31 B1 5. Даем характеристику найденной линии пересечения относительно плоскостей проекций. fα B2 41 D2 12 51 F2 R2 E2 A2 22 C2 32 xαo x K2 C1 D1 R1 E1 21 A1 назад назад 11 51 31 B1 41 .(FR) – I – пл.П2 – II – пл.П1 - III F1 hα K1 далее Точка встречи прямой с плоскостью общего положения , определение Точка на комплексном чертеже видимости прямой относительно плоскости Задача: определить точку пересечения прямой EF с плоскостью , заданной плоскостью фигуры - треугольником АВС показать видимость E2 B2 А2 F2 х C2 о F1 B1 A1 E1 C1 1. Через EF провести плоскость α П1, hоa совпадает с Е1 F1 fоa Ox. Т Т fα E2 B2 А2 xα х F2 C2 о F1 B1 A1 E1 C1 hα 2. Найти ДК(Д2К2, Д1К1)линию пересечения вспомогательной пл. α, (f оα hoa) с заданной плоскостью Δ АВС(А2В2С2;А1В1С1) KD= Δ АВС ∩ α fα E2 D2 А2 K2 xα х B2 F2 C2 о F1 B1 A1 D1 K 1 E1 C1 hα 3 Найти (•)М(M2M1) -(•) пересечения линии ДК (Д2К2)(Д1К1) и прямой EF(E2F2; E1F1) (•) M=DК∩EF . fα E2 D2 M2 K2 А2 xα х B2 F2 C1 о F1 B1 A1 D1 K1 M1 E1 C2 hα 4. Используя конкурирующие точки 1(1211) 2(2221) Определить видимость.ΔАВС представляет собой плоскость односторонней видимости, поэтому один и тот же участок заданной прямой будет виден сверху(М1Е1)и спереди (M2Е2) . fα E2 D2 M2 K2 А2 xα х B2 F2 C1 о F1 B1 A1 D1 K1 M1 E1 C2 hα 5. Показываем видимость fα E2 D2 M2 K2 А2 xα х B2 F2 C1 о F1 B1 A1 D1 K1 M1 E1 назад назад C2 hα далее Пересечение прямой с Точка на комплексном чертеже геометрическими телами Задача : Построить точку пересечения прямой линии TF с поверхностью многогранника. Показать видимость ребер многогранника секущей прямой линии. S2 T2 F2 X A2 C2 B2 T1 O S1 A1 B1 C1 F1 1. Определяем видимость ребер многогранника, используя правило видимости и метод конкурирующих точек 1(1211)2(2221). S2 T2 F2 X A2 C2 B2 T1 O S1 A1 B1 C1 F1 2. Через прямую ТF проводим вспомогательную плоскосmь α , перпендикулярную фронтальной плоскости проекций П2: след f0 α совпадает с Т2 F2 hOα оcu Ox. Т fOα S2 T2 F2 X A2 C2 B2 T1 Xα S1 A1 B1 F1 hOα C1 O 3. Строим линию пересечения вспомогательной плоскости α (fOα hOα) с поверхностью заданного многогранника фронтальная проекция сечения плоскости α с поверхностью пирамиды (122232) совпала с фронтальным следом fOα плоскости α . гopuзонтальная проекция сечения 1121З1 определилась по точкам 1121З1 лежащим на соответствующих ребрах пирамиды ('построение показано стрелками), fOα S2 T2 12 22 32 F2 X A2 C2 B2 T1 Xα S1 31 11 A1 21 B1 F1 hOα C1 O 4. Найдем точки пересечения заданной пряной ТF с контуром сечения 123 - точки К (К2 К1) и R(R2R1) По линиям связи отмечаем точки К2 и R2 на фронтальной проекции прямой Т2F2. Это и будут искомые точки (вxoдa и выxoдa) пересечения прямой с поверхностью многогранника (пирамиды). fOα S2 T2 12 22 32 K1 X A2 R1 B2 C2 T1 F2 Xα S1 11 A1 K1 21 31 R1 B1 F1 hOα C1 O 5. Определяем видимость прямой TF относительно многогранника , используя метод конкурирующих точек 4(4241), 5(5251). Участок прямой KR(К2R2,K1R1) внутри многогранHUKА Всегда невuдuм. Показываем видимость сечения fOα S2 T2 12 22 32 K1 X A2 R1 B2 C2 T1 Xα O S1 11 A1 K1 21 31 R1 B1 назад назад F2 F1 hOα C1 далее Задача: Определить точки пересечения прямой AВ с поверхностью конуса. Показать видимость прямой. S2 A2 B2 B1 S1 A1 1 Через прямую АВ проводим вспомогательную плоскость. в качестве вспомогательной плоскости принимаем плоскость, проходящую через вepшину конуса S, и две точки 1и 2, произвольно взятые на прямой AВ. Определяем горизонтальные следы Н, (Н21,Н11) и Н2(Н22Н21) пересекающихся прямых S1и S2. Точки 1и2 следует выбрать с таким расчетом, чтобы горизонтальные следы Н1 и H2 получились в пределах чертежа. S2 A2 12 22 B2 H22 H12 S1 11 A1 H12 B1 21 H21 2. Через гориз. следы прямых (н1 и нг) проводим горизонтальный след ho α плоскости α Так как конус своим основанием расположен на плоскости, определяем точки 3 и 4 пересечения основания со следом S2 A2 12 22 B2 H22 H12 32 42 S1 11 H12 A1 ho α 31 21 41 B1 H22 S3 и S4 - образующие. S2 A2 12 22 B2 H22 H12 32 41 S1 11 H12 A1 ho α 31 B1 21 H22 41 3. Определяем линию пересечения вспомогательной плоскости α с конусом - это образующие S3 и S4. S2 A2 12 K2 L2 22 B2 H22 H12 32 41 21 S1 L1 11 H12 A1 K1 ho α 31 41 B1 H22 В пересечении образующих S3 И S4 с заданной прямой определяем искомые Точки.AВ ∩ S3 = К AВ ∩ S4 = L . Определяем видимость прямой линии AВ. S2 A2 12 K2 L2 22 B2 H22 H12 32 41 21 S1 L1 B1 H22 41 11 назад назад H12 A1 K1 ho α 31 далее Задача : 0пределить moчки пересечения прямой AВ с поверхностью сферы, показать видимость прямой. A2 B2 C2 Х П2 О П1 C1 A1 B1 ∩ 1.Через прямую AВ проводим пл. α П1(след hoα сoвnадает с горизонтальной проекцией прямой А1В1). (α ┴П1,) ∩ ( A1В1 h0α). A2 B2 C2 Х П2 О П1 C1 О1 B1 A1 ho α Х1 П1 C4 П4 A4 B4 Любая плоскость пересекающая поверхность сферы, пересекает, по окружности, проекции которой при донном расположении прямой проецируются на пл. П2 в виде эллипса. Чтобы избежать построения эллипса. применим метод перемены пл. проекций, заменив пл. Пг пл.П4 // А1 В1 Тогда ось О1,Х1 будет // А1В1 2. Проецируем на пл. П4 заданную прямую AВ и cфepy. Тогда сечение сферы пл. α на пл. П4 изобразится в виде окружности радиуса R. 3. В пересечении полученного сечения с пряной AВ и определятся искомые точки KuL (К4,L4) которые обратным проецированием определяем в заданной системе, K2 A2 L2 B2 C2 Х П2 О П1 C1 K4 A1 ho α L4 О1 B1 R Х1 П1 C4 B1 R П4 L4 A4 K4 3. Определяем видимость прямой K2 A2 L2 B2 C2 Х П2 О П1 C1 L1 K1 A1 ho α Х1 П1 О1 B1 B1 C4 П4 назад назад L4 A4 K4 далее ЗАДАЧИ Точка на комплексном чертеже Задача По заданным координатам точек А; В; С; D; E; F;G; К построить их горизонтальные, фронтальные и профильные проекции. Определить, в каких октантах расположены точки; координаты X Y z A -40 35 50 B 25 -20 30 C -30 -10 -35 D 50 20 40 E 70 15 -15 F 85 -30 -10 G -10 60 -70 K -50 -15 20 назад назад далее Задача Построить проекции отрезка прямой А В по заданным координатам его концов. Найти следы прямой. точка назад назад координаты X Y Z A 70 -20 30 B 10 -50 40 далее Задача . Определить натуральную длину отрезка прямой АВ и углы наклона этой прямой к плоскостям проекций π1 и π2 z A2 0 x B1 A1 B2 y назад назад далее Задача Определить точку пересечения прямой АВ с плоскостью а . Через точку А провести прямую АС, параллельную плоскости а. Решить вопрос видимости прямой АВ. А2 fα z B2 x xα 0 B1 hα назад назад y A1 далее Задача Построить следы плоскости а, заданной тремя точками А,В,С.В плоскости а построить горизонталь, отстоящую на расстоянии двух единиц от горизонтальной плоскости π1 и фронталь отстоящую на расстоянии трех единиц от фронтальной плоскости проекций π2. z C1 A2 B1 C2 A1 x 0 B2 назад назад y далее Задача По заданным координатам вершин построить проекции треугольников ABC и DEF. Определить линию их пересечения. Решить вопрос видимости объектов. Точки Координаты X Y Z A 160 85 20 B 75 95 95 C 25 5 10 D 145 5 70 E 25 65 80 F 40 90 5 назад назад далее Задача . Определить точки пересечения прямой, заданной отрезком АВ, с поверхностью. Решить вопрос видимости прямой S2 T2 F2 X A2 C2 B2 B1 A1 назад назад O F1 S1 далее T1 C1