Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной

Консультационный центр
по подготовке
выпускников к
Государственной
(итоговой) аттестации
Консультационный центр по подготовке выпускников к
Государственной (итоговой) аттестации
С2
МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования»
Консультационный центр по подготовке выпускников к
Государственной (итоговой) аттестации
С2
Решение задач ЕГЭ. Часть С2
Задача 1: Нахождение расстояния от точки до плоскости
( в треугольной призме);
Задача 2: Нахождение расстояния от точки до плоскости (в кубе);
Задача 3: Нахождение угла между прямой и плоскостью
( в прямоугольном параллелепипеде) ;
Задача 4: Нахождение тангенса угла между прямой и плоскостью
( в прямоугольном параллелепипеде);
Задача 5: Нахождение угла между прямой и плоскостью
( в правильной треугольной призме);
Задача 6: Нахождение тангенса угла между прямой и плоскостью
( в кубе);
Задача 7: Нахождение синуса угла между прямой и плоскостью
( в тетраэдре).
МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования»
С2 Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный
треугольник ABC, AB = АC = 5, BC = 6. Высота призмы равна 3. Найдите
расстояние от середины ребра B1C1 до плоскости BCA1.
N
NK – искомое расстояние
С1
А1
4
3
4
N
3
В1
K
С
5
А
3
5
D
В
6
А1
K
5
D
1
S AND   4  3  6
2
6
1 5
S AND   AD  NK
2
1
6   5  NK * 2
2
NK  2,4
12  5NK : 5
Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Найдите расстояние от точки
А до плоскости A1 BТ, где Т - середина отрезка AD.
Опустить перпендикуляр из точки на плоскость не всегда просто.
Применим другой способ для вычисления расстояния от точки А до
плоскости A1 BТ. Найдем AO, выразив два раза объем пирамиды
ABTA1 с основанием АВТ.
2
TB  AT  AB ; BA1  AB  AA1 ;
2
В1
А1
1
O
1
2
А
T
Из  ABA1 :
С1 Из  ATB :
D1
2
D
1
2
1
В
2
1
TB 2     12 ;
2
1
2
TB  1 ;
4
С TB   5 ;
4
5
TB 
.
2
2
2
BA1  12  12 ;
2
BA1  2;
2
BA1   2 ;
BA1  2 .
2
T
2
2
B
1
2
А
TA1  HT 2  HA1 ;
2
В1
А1
O
T
2
С1 Из  HTA1 :
D1
1
A1
H
2
D
1
2
1
В
2
2
 5
 2

  HT 2  

 2 
 2  ;




1
3
2
STBA1  A1 B  TH ;
HT  ;
2
4
1
3
С
3
STBA1   2 
;
HT   ;
2
2
4
6
3
S

.
TBA1
HT 
.
4
2
1
VABTA1  STBA  AА1 ;
3
1 1 1
VABTA1   1   1;
3 2 2
1
VABTA1 
6
12
STBA 
.
Найдем AO, выразив два раза объем
пирамиды ABTA1 с основанием АВТ.
Vпир.
1
 S осн.  H ;
3
S пр. тр. 
С1
D1
VABTA1 
В1
А1
1
a b;
2
1
12
1
4
1
STBA1  AO;
3
1 1 6
 
 AO;  12
12 3 4
1
O
1
2
А
T
1  6  AO;
D
С
1
2
1
В
AO 
1  6
6 6
AO 
6
6
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол
между прямой A1B и плоскостью AA1C, если AA1 = 6, AB = 8, BC = 8.
Угол между наклонной и
плоскостью – это угол между
наклонной и её проекцией на эту
плоскость.
C1
B1
D1
2
BA1  6 2  82 ;
2
BA1  100;
2
A1
BA1  10.
Из  ABD :
10
BD 2  AB 2  DA 2 ;
BD 2  82  82 ;
C
B
8
O
D
BA1  B1 B 2  B1 A1 ;
BA1  10;
a
6
Из  B1 BA1 :
8
A
BD 2  2  82 ;
BD  8 2 ;
BD  8 2 .
Тогда BO  4 2 .
2
Из  BОО1 :
ВО
sin a 
;
BА1
4 2
sin a 
;
10
2 2
sin a 
5
a  arcsin
2 2
.
5
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AB
= 4, BC = 6, CC1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостью ABC и
прямой EF, проходящей через середины ребер AA1 и C1D1.
D1 2
1. Угол между прямой EF и
С1 плоскостью АВС равен углу между
F
a
А1
EF иНаходим
плоскостью
А1Вугла
1С1, т.к.
тангенс
EFAэти
1. Это
плоскости
параллельны.
отношение
противолежащего
катета
к прилежащему
катету, т.е.
2. Угол
между
прямой и плоскостью
EA к FA1.
данной прямой и
4 равен 1углу между
её проекцией на плоскость.
В1
2
Из  FEA1
Из  D1 FA1 :
Е
С FA1  FD1  D1 A1 ;
2
D
6
А
В
4
F
F,
E
А,1
EF
3. Искомый угол EFA1.
А1F
2
FA1  2 2  6 2 ;
2
FA1  40;
2
FA1   40 ;
FA1  2 10 .
2
EA1
tga 
FA1
2  10
tga 
2 10  10
10
tg a 
10
Точка М – середина стороны ВС основания АСВ правильной
призмы АВСА1В1С1. Боковое ребро призмы равно 39 , а сторона
основания равна 12. Найти синус угла между прямой В1М и плоскостью
боковой грани ABB1A1.
Из  MBH :
Из  MBB1 :
C1
B1
MB1  MB 2  BB1 ;
2
2
MB1  6 
2
A1
2
 39  ;
MB1  75;
2
39 MB1   25  3;
B
M
C
12
M
A
B1
B1,
M
6
6
600
MB1  5 3.
2
MH
sin 60 
;
MB
3 MH

;
2
6
6 3
MH 
;
2
MH  3 3.
0
B
MH
;
600 Из  MB1H : sin a 
MB1
H
H
?12
3 3
sin a 
;
5 3
H, MB1 B1H
3
sin a 
5
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой АА1 и
плоскостью ВС1D.
Заменим заданную прямую АА1 на параллельную прямую СС1. Угол
между АА1 и плоскостью ВС1D равен углу между параллельной
прямой СС1 и плоскостью ВС1D.
Прямая СС1 является наклонной к плоскости ВС1D. Найдем проекцию
С1, С K, СC1 C1K,
СС1 на плоскость ВС1D. С1
С1 Для нахождения tga более
удобен  ОСС1, а не  KCС1 .
D1
А1
В1
наклонная
2
2
2
AC

AB

BC
;
1
Из  OCC1 :
AC 2  12  12 ;
K
AC 2  2;
D
А
2
2
О
1
Из  ABC :
В
1
С AC   2 ;
AC  2 .
OC
tga 
;
CC1
2
tga 
;
2
Если в кубе не дано ребро, то можно обозначить его буквой или взять за «1»
В тетраэдре AВСT ребра AC и TB равны 12, а остальные ребра
AC перпендикулярна
к двум
равны 10. Найдите синус угла,
который составляет
прямая АТ с
пересекающимся
прямым, лежащим
плоскостью АМС, где М – середина
ребра ТВ.
в плоскости
BTE,
значит,
ACнаклонной и ее
Угол между наклонной и плоскостью
равен
углу
между
BTE. 
АCM проходитплоскости
через
T Плоскость
? перпендикулярна
проекцией. A A
перпендикуляр AC к плоскости ВTE.
Докажем, что плоскости ACM и BET перпендикулярны.
Значит, плоскости перпендикулярны
ВE, плоскостей 
ЕМ – линия AC
пересечения
T
 AC BTE,
AC TE
12
6
АCM  ВTE , Строим ТN  ЕМ
M
10
Из  EMC :
8
A
MC 2  EC 2  EM 2 ;
a
T
AT
N
AN
B 82  6 2  EM 2 ;
EM 2  64  36;
10
12
6E
C
EM   28 ;
EM  2 7
Найдем TN из  MET, через площадь.
1
TN  AMC  TM

AN
S   ab
к плоскости
2 AMC,
 перпендикуляр
Найдем TN изTM
MET
значит, TM будет перпендикулярен
к
1
через площадь.
S MTE  в MT
 TE
любой прямой, лежащей
этой
2
плоскости.

2 7
1
S MTE   EM  TN
2
1
противолежащий катет треугольника
24

 2 7  TN
S

24
MTE
2
АМТ,
значит, вычислим отношение
M синус.
24  7 TN
24  7
TN
6
TN

sin a 
7 7
TAT
6
24 7
7
8
A
24
1
S MTE   8  6
Мы знаем2гипотенузу и
T
10
1
S   aha
2
a
8
24 6 7
B sin
a
: 10 TN  24 7
E
7
6
10
E
6
C
N24 7M
sin 2a 7
7 10
12 7
sin a 
35
7
Консультационный центр по подготовке выпускников к
Государственной (итоговой) аттестации
С2
Используемые ресурсы:
•Смирнов В.А., Семенов А.А., Ященко И.В. ЕГЭ-2013.
Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия.
Рабочая тетрадь. Издательство МЦНИО. 2013г.;
•Тексты задач Стат Град и ЕГЭ- сайт Александра Ларина.
http://alexlarin/net/ege11.html
•Сайт ЕГЭ-тренер, видеоуроки Ольги Себедаш.
http://www.egetrener.ru/view zadachi=C2
МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования»