Решение задач С2 методом координат

Решение задач С2
методом
координат
Единичный куб
z
A (1; 0; 0)
A1 (1; 0; 1)
B (1; 1; 0)
B1 (1; 1; 1)
C (0; 1; 0)
C1 (0; 1; 1)
D (0; 0; 0)
D1 (0; 0; 1)
y
Правильная треугольная призма
z
С1

3a 
B  0;
; 0 
2

В1 
 a

C   ;0;0 
 2

А1
a
2
А
х
a

A  ;0;0 
2

С
O
c
3a
2
a
В
у
a

A1  ;0; c 
2


3a 
B1  0;
; c 
2


 a

C1   ;0; c 
 2

Прямоугольный параллелепипед
z
A (a; 0; 0)
A1 (a; 0; c)
B (a; b; 0)
B1 (a; b; c)
b
a
C (0; b; 0)
с
C1 (0; b; c)
D (0; 0; 0)
D1 (0; 0; c)
y
Прямоугольная шестиугольная
призма
z
E
D
a
a
F
1
a
2
3 a
a
C
2
A
b
B
C(a; 0;0)
y
 a
 a
3a 
3a 
E   ; 
; 0  E1   ; 
; c 
2
2
2
2




C1 (a; 0;c)
 a 3a  A   a ; 3a ; c 

A   ;
; 0  1  2 2


 2 2

a
 B  a ; 3a ; c 
3a
1
B

 2 ; 2 ;0

2 2



a

3
a
a
3a  D1  ; 
;
c

2
D  ; 
; 0 
2


2
2

F (- a; 0;0) F1 (- a; 0;c)
Правильная четырёхугольная
пирамида
z
a a 
A  ;  ;0  B  a ; a ;0 


2 2 
2 2 
 a a  S  0;0; h 
C   ; ;0 
 2 2 
 a a 
D   ;  ;0 
 2 2 
h
y
a
a
2
Правильная шестиугольная пирамида
z
 a
3a 
A   ;
; 0 
2
2


a
B
 2;


3a
;0

2

C (a; 0;0)
a
3a 
D  ; 
; 0 
2
2

h
y
a
a
2
 a
3a 
E   ; 
; 0 
2
 2

S  0;0; h 
Правильная треугольная призма
z
А0;0;0 
А1 0;0;1
С1
В 1;0;0 ,
В1 1;0;1
В1
А1
с
С
3a
2
у
H
a
2
В
А
х
1
С  ;
2
1
С1  ;
2
3 
;0 
2 
3 
;1
2 
Правильная треугольная пирамида
a

B  ;0;0 
2

z
 a

A   ;0;0 
 2

h
3a
6
O
y
H
3a
2
a
2
х

3a 
C  0;
;0 
2



3a 
S  0;
; h 
6


Угол между прямой и плоскостью
Прямая а образует

с плоскостью  угол    90 . Плоскость  задана
уравнением: ах+ву+сz+d=0 и nа; в; с - вектор нормали,
Синус угла определяется по формуле:

sin  

xа  а  у а  в  z а  с
ха  у а  z а  а 2  в 2  с 2
2
2
2
Угол между прямыми


Вектор а ха ; уа ; z а лежит на прямой а, Вектор
прямой в.
Косинус угла между прямыми а и в:
cos  
вхв ; ув ; z в  лежит на
x а  xв  у а  у в  z а  z в
х а  у а  z а  хв  у в  z в
2
2
2
2
2
2
Угол между плоскостями
1.3. Угол между двумя плоскостями. Плоскость  задана
уравнением: а1 х  в1 у  с1 z  d  0 и ее вектор нормали n  а1 ; в1 ; с1 
плоскость  задана уравнением а2 х  в2 у  с2 z  d  0 и ее вектор
нормали n  а 2 ; в 2 ; с 2  . Косинус угла  между плоскостями:
cos  
а1  а2  в1  в 2  с1  с2
а1  в1  с1  а2  в 2  с2
2
2
2
2
2
2
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние h от точки М xМ ; у М ; z М  до плоскости  , заданной
уравнением ах+ву+сz+d=0 определяется по формуле:
h
а  хМ  в  у М  с  z М  d
а в с
2
2
2
Примеры решения задач
z
АВ1 ВС1
1. В единичном кубе найти угол между прямыми
и
Введем систему координат и найдем координаты
точек А, В, В1 , С1
A (0; 0; 0), B (1; 0; 0) , B1 (1; 0; 1) , C1 (1; 1; 1)
Находим координаты направляющих векторов
прямых АВ1 и ВС1 по формуле 1.
y
АВ1 1;0;1, ВС1 0;1;0
х
Косинус угла  между прямыми АВ1 и ВС 1 определяется по формуле 1.1:
cos  
1 0  0 1  11
12  12  12  12
Ответ : 60

1
,   60
2
2.В правильной шестиугольной призме А...F1, все ребра которой
равны 1, найти угол между прямой AF и плоскостью ВСС1
Введем систему координат и находим координаты
нужных точек.
 1
 2
z
Найдем координаты вектора AF- ;
3 
;0
2 
Плоскость ВСС1 совпадает с плоскостью грани
ВВ1С1С ; зададим ее с помощью точек 
y
3 3 

В1;0;0 , В1 1;0;1, С  ;
;0 
2 2

Пусть ax+by+cz+d=0 – уравнение плоскости ВСС1
В 1;0;0   ВСС1   а  d  0
d  -a
х
c0
B 1;0;1  ВСС1   a  с  d  0
1

a
3 3 
3
3
b

С ; ;0   ВСС1   а   b 
d 0
3
2
2
2 2 
Уравнение плоскости ВСС1 примет вид aх - а у  а  0или 3х  у  3  0
3
Вектор нормали : n 3;1;0
Синус искомого угла:
sin  
3
 1
3       1 
 00
2
 2
 3
2
2
2
 1   3 
  1  0      
0

2
2

 

2

3
; Ответ :   60 
2
3.В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой
равны 1, найти синус угла между прямой ВЕ и плоскостью SAD,
где Е- середина ребра SC
Координаты точки Е определим по формуле 3:
z
3 3 2 
 1 3 2
 и ВЕ ; ;
Е ; ;


4
4
4
4
4
4




Пусть уравнение плоскости ADS ax+by+cz+d=0
y


Из того, что А 0;0;0 , D0;1;0  S 1 ; 1 ; 2   ADS
2 2 2 
 2
х
1
1
d 0
следует, что d=0, b+d=0 и : а   b   c 
2
2
2
Отсюда получим, что а   2с, b  0, d  0 и уравнение плоскости ADS примет вид:


 2сх  сz  0, или 2 х  z  0 . Вектор нормали n 2 ;0;1
Синус угла между прямой ВЕ плоскостью ADS определим по формуле 1.2
sin  
3
2
 1
2   -   0    1 
4
4
 4
2
2
2
 2
 1
3
 
       

 4
4
 4 
 2
2
 0 2  12

2
3
Ответ :
2
3
4.В единичном кубе А… D1 ,найти расстояние от точки А до
ВD1
прямой
Находим координаты точек А0;0;0  В1;0;0  D1 0;1;1 , вектора ВD 1  1;1;1
Искомое расстояние есть длина перпендикуляра АК.
Если отрезок ВD разделен точкой K(x;y;z) в отношении λ ,
то координаты точки К определяются по формуле 1.5:
z
y
К
х
х
1 0
0
0    1 0 0   0   
 1 0 0   0   
;у 
;z 
K
;
;
;
;
 АК 

1 
1 
1   1  1  1  
1  1  1  
т.к. АК  ВD1  AK  BD1  0

1


1
 2 1 1
2 1 1


 0    K  ; ; , AK  ; ; 
1  1  1 
2
 3 3 3
 3 3 3
AK 
4 1 1
  
9 9 9
6
6

9
3
Ответ :
6
3
5.В правильной шестиугольной призме А...F1 , все ребра которой
равны 1, найти расстояние от точки А до плоскости BFE1
z


 1 3 
Координаты точек А 0;0;0  В1;0;0  и Е1 0; 3;1 , F - ;
;0 
 2 2 
Подставив координаты точек B, F и E в общее уравнение
1
плоскости получим систему уравнений:
3
 1
В  ВFE1   a      b 
d 0
2
2


 1 3 
3
 1
F   ; ;0   ВFE1   a      b 
d 0
2
 2
 2 2 
х
E 0; 3;1  BFE1   b  3  c  1  d  0
1
Откуда d  -a, c  -2a, b  a 3
y


Уравнение плоскости примет вид: ax  3ay  2az  a  0, или x  3 y  2 z  1  0
Вектор нормали: n 1; 3;2


Вычислим расстояние h от точки А до плоскости BFE по формуле 1.4:
h
1  0  3  0   2   0  1
12 
 3
2
  2
2
1

2
4
Ответ :
2
4

1
8
6.В единичном кубе А...D , найти расстояние между
1
прямыми АВ1 и ВС1
При параллельном переносе на вектор ВА прямая ВС
1
отображается на прямую АD . Таким образом, плос1
кость AB D содержит прямую АВ и параллельна
1 1
1
прямой ВС . Расстояние между прямыми АВ1 и ВС1
1
находим как расстояние от точки В до плоскости AB1D1
z
y
х
Пусть ax+by+cz+d=0 – уравнение плоскости AB D .
1 1
Так как А0;0;0   АВ1D1   d  0
B 1;0;1  AB1D1   a  c
1
D 0;1;1  A1B1D1   b  c
1
Уравнение плоскости запишется как –сx-сy+cz=0, или х+у+z=0..
Вектор нормали n1;1;1
Расстояние h от точки B1;0;0  до плоскости AB D находим по формуле
1 1
1  1  1  0   1  0
1
3
h


2
3
3
12  12   1
Ответ :
3
3
Литература:
1.Каталог задач: www.problems.ru
2.Образовательный портал»Физ/мат класс»: www.fmclass.ru
3.Открытый банк задач: www.mathege.ru
4.Федеральный институт педагогических измерений: www.fipi.ru