Лекция 6. Расчет потенциалов простейших электростатических полей 6.1. Уравнения Лапласа и Пуассона 6.2. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности 6.3. Расчет потенциалов простейших электростатических полей 6.1. Уравнения Лапласа и Часто предпочтительнымПуассона методом нахождения Е является сведение задачи к решению дифференциального уравнения для потенциала. Теорема Гаусса: E ρ ε 0 и E - следовательно 2 - ρ ε 0 2 - оператор Лапласа (лапласиан) div grad 2 2x 2y 2z 2 x 2 2 y 2 2 z 2 2 ρ ε 0 - уравнение Пуассона В области пространства, где заряды отсутствуют =0 0 2 - уравнение Лапласа Рассмотрим несколько примеров вычисления разности потенциалов между точками поля, созданного некоторыми заряженными телами 6.2. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности Направление силовой линии (линии напряженности) в каждой точке совпадает с направлением . E Отсюда следует, что напряженность равна разности потенциалов U на единицу длины силовой линии. Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала. Поэтому всегда можно определить между двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки. В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Поэтому здесь определить E наиболее просто: (5.6.1) φ U E l Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Уравнение этой поверхности (6.6.2) φ φ( x, y, z ) const. Линии напряженности и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны Формула E grad φ выражает связь потенциала с напряженностью и позволяет по известным значениям φ найти напряженность поля в каждой точке. Можно решить и обратную задачу, т.е. по известным значениям E в каждой точке поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля. φ1 φ 2 (E, d l ). 2 1 φ1 φ 2 (E, d l ). 2 1 Интеграл можно брать по любой линии, соединяющие точку 1 и точку 2, ибо работа сил поля не зависит от пути. Для обхода по замкнутому контуру φ1 φ 2получим: т.е. пришли к известной нам теореме о циркуляции вектора напряженности: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. ( E , d l ) 0 , Поле, обладающее этим свойством, называется потенциальным. • Из обращения в нуль циркуляции вектора следует, что линии электростатического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются на положительных зарядах (истоки) и на отрицательных зарядах заканчиваются (стоки) или уходят в бесконечность 6.3. Расчет потенциалов простейших электростатических полей 6.3.1.Разность потенциалов между точками поля, образованного двумя бесконечными заряженными плоскостями Рис. 6.1,а Мы показали, что напряженность связана с потенциалом dφ d φ Ed l тогда E , (6.1.1) dl σ E где ε0 – напряженность электростатического поля между заряженными плоскостями σ = q/S – поверхностная плотность заряда. Чтобы получить выражение для потенциала между плоскостями, проинтегрируем выражение dφ Edl 2 x2 σ dφ ε 0 dx; 1 x1 При x1 = 0 σ φ 2 φ1 x2 x1 ε0 σd и x2 = d φ 2 φ1 ε0 (6.1.2) На рисунке 6.1,б изображена зависимость напряженности E и потенциала φ от расстояния между плоскостями. σd φ 2 φ1 ε0 Рис. 6.1,б 6. 3.2. Разность потенциалов между точками поля, образованного бесконечно длинной цилиндрической поверхностью С помощью теоремы Остроградского-Гаусса мы показали, что 0 внутри цилиндра, т.к. там нет зарядов λ q E или на поверхности цилиндра 2πε0 Rl 2πε0 R λ q или вне цилиндра. 2πε0 rl 2πε0 r Тогда, т.к. dφ Edr; 2 λ dφ 2 πε 0 1 r2 r1 dr r отсюда следует, что разность потенциалов в произвольных точках 1 и 2 будет равна: r2 q r2 2 1 ln ln . 20 r1 20l r1 1 2 ln R const внутри и на поверхности 0 цилиндра r ln вне цилиндра. 20 R 1 2 ln R const внутри и на 0 поверхности цилиндра r ln вне цилиндра. 20 R Рис. 6.2 6.3.3. Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора Рис. 6.3 0 внутри меньшего и вне большего цилиндров зарядов нет E 2 r между цилиндрами , 0 когда R1 r R2 . Т.к. dφ Edr , то λ r2 φ 2 φ1 ln 2πε0 r1 R2 2 ln R const внутри меньшего 0 1 цилиндра ( r R1 ) ln r между цилиндрами ( R r R ) 1 2 20 R1 0 вне цилиндров. Таким образом, внутри меньшего цилиндра имеем, Е = 0, φ = const; между обкладками потенциал уменьшается по логарифмическому закону, вторая обкладка (вне цилиндров) экранирует электрическое поле и φ и Е равны нулю. Рис. 6.4 6. 3.4. Разность потенциалов между точками поля, образованного заряженной сферой (пустотелой) Напряженность поля сферы определяется формулой q E (r ) 2 4 πε 0 r Рис. 6.5 dφ Edr • А т.к. , то q dr q 1 r2 q 1 1 1 2 , 2 40 r 40 r r1 40 r1 r2 r1 r2 q т.е. . 40 r Рис. 6.6 • Из полученных соотношений можно сделать следующие выводы: • С помощью теоремы Гаусса сравнительно просто можно рассчитать Е и φ от различных заряженных поверхностей. • Напряженность поля в вакууме изменяется скачком при переходе через заряженную поверхность. • Потенциал поля – всегда непрерывная функция координат. Лекция 7 Тема: ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ Сегодня: понедельник, 9 мая 2016 г. 7.1. Поляризация диэлектриков; 7.2. Различные виды диэлектриков: 7.2.1. Сегнетоэлектрики; 7.2.2. Пьезоэлектрики; 7.2.3. Пироэлектрики; 7.3. Вектор электрического смещения D . 7.4. Поток вектора электрического смещения. Теорема Гаусса для вектора D . 7.5. Изменение E и D на границе раздела двух диэлектриков. До сих пор мы рассматривали электростатические поля и взаимодействие зарядов в вакууме. Как ведут себя заряды в среде? Что происходит с веществом в электростатическом поле? Электрический диполь. р = ql - электрический дипольный момент. 2q1r1 sin p E 2 E1 sin 3 3 40 r 40 r1 E p 40 r 3 25 Диполь во внешнем поле F qE и F- qE M qE l sin pE sin M pE Электрическое поле стремится повернуть ось диполя так, чтобы его электрический момент р установился по направлению поля. Положение равновесия, когда векторы p и E параллельны, устойчиво. Энергия диполя во W q q q внешнем поле l E l W pE l; El l l 2 6 4.1. Поляризация диэлектриков • Все известные в природе вещества, в соответствии с их способностью проводить электрический ток, делятся на три основных класса: • диэлектрики • полупроводники • проводники ρд ρп/п ρпр . 6 8 ρ пр 10 10 Ом/м • В идеальном диэлектрике свободных зарядов, то есть способных перемещаться на значительные расстояния (превосходящие расстояния между атомами), нет. • Но это не значит, что диэлектрик, помещенный в электростатическое поле, не реагирует на него, что в нем ничего не происходит. • Смещение электрических зарядов вещества под действием электрического поля называется поляризацией. • Способность к поляризации является основным свойством диэлектриков. Поляризуемость диэлектрика включает составляющие – электронную, ионную и ориентационную (дипольную). • Главное в поляризации – смещение зарядов в электростатическом поле. В результате, каждая молекула или атом образует электрический момент Р • Внутри диэлектрика электрические заряды диполей компенсируют друг друга. Но на внешних поверхностях диэлектрика, прилегающих к электродам, появляются заряды противоположного знака (поверхностно связанные заряды). • Обозначим E'– электростатическое поле связанных зарядов. Оно направлено всегда против внешнего поля E 0 • Следовательно, результирующее электростатическое поле внутри диэлектрика E E E '. 0 • Поместим диэлектрик в виде параллелепипеда в электростатическое поле E 0 • Электрический момент тела, можно найти по формуле: • • – поверхностная плотность связанных зарядов. σ' P q l σ' S l , или P σ' Slcosφ, • Введем новое понятие – вектор поляризации – электрический момент единичного объема. n • (4.1.4) P P1k nP1 , k • где n – концентрация молекул в единице объема, • P – электрический момент одной 1 молекулы. • С учетом этого обстоятельства, • P PV PSl cos φ (4.1.5) • (т.к. V Sl cosφ – объем параллелепипеда). • Приравняем (4.1.3.) и (4.1.5) и учтем, что – проекция P на направление n – вектора нормали, • тогда P cos φ Pn σ' P n σ' P n • Поверхностная плотность поляризационных зарядов равна нормальной составляющей вектора поляризации в данной точке поверхности. • Отсюда следует, что индуцированное в диэлектрике электростатическое поле E' будет влиять только на нормальную составляющую вектора напряженности электростатического поля E . • Вектор поляризации можно представить так: • P nP nαε E χε E, (4.1.7) 1 α 0 0 • где – поляризуемость молекул, χ nα – диэлектрическая • восприимчивость – макроскопическая безразмерная величина, характеризующая поляризацию единицы объема. Следовательно, и у результирующего поля E изменяется, по сравнению с E 0 ,только • • • • нормальная составляющая. Тангенциальная составляющая поля остается без изменения. В векторной форме результирующее поле можно представить так: (4.1.8) E E0 E'. Результирующая электростатического поля в диэлектрике равно внешнему полю, деленному на диэлектрическую E0 проницаемость среды ε: E . ε (4.1.9) • Величина ε 1 χ характеризует электрические свойства диэлектрика. • Физический смысл диэлектрической проницаемости среды ε – величина, показывающая во сколько раз электростатическое поле внутри диэлектрика меньше, чем в вакууме: E0 • (4.1.10) ε E . • График зависимости напряженности электростатического поля шара от радиуса, с учетом диэлектрической проницаемости двух сред ( ε1 и ε 2 ), показан на рисунке • Как видно из рисунка, напряженность поля изменяется скачком при переходе из одной среды в другую . 4.2. Различные виды диэлектриков • В 1920 г. была открыта спонтанная (самопроизвольная) поляризация. • Всю группу веществ, назвали сегнетоэлектрики (или ферроэлектрики). • Все сегнетоэлектрики обнаруживают резкую анизотропию свойств (сегнетоэлектрические свойства могут наблюдаться только вдоль одной из осей кристалла). У изотропных диэлектриков поляризация всех молекул одинакова, у анизотропных – поляризация, и следовательно, вектор поляризации в разных направлениях разные. • Рассмотрим основные свойства сегнетоэлектриков: • 1. Диэлектрическая проницаемость ε в некотором температурном интервале велика( ε ~ 103 10 4 ). • 2. Значение ε зависит не только от внешнего поля E0, но и от предыстории образца. • 3. Диэлектрическая проницаемость ε (а следовательно, и Р ) – нелинейно зависит от напряженности внешнего электростатического поля (нелинейные диэлектрики). • Это свойство называется диэлектрическим гистерезисом • Здесь точка а – состояние насыщения. • 4. Наличие точки Кюри – температуры, при которой (и выше) сегнетоэлектрические свойства пропадают. При этой температуре происходит фазовый переход 2-го рода. Например, • титанат бария: 133º С; • сегнетова соль: – 18 + 24º С; • ниобат лития 1210º С. • Стремление к минимальной потенциальной энергии и наличие дефектов структуры приводит к тому, что сегнетоэлектрик разбит на домены • Среди диэлектриков есть вещества, называемые электреты – диэлектрики, длительно сохраняющие поляризованное состояние после снятия внешнего электростатического поля (аналоги постоянных магнитов). Пьезоэлектрики Некоторые диэлектрики поляризуются не только под действием электрического поля, но и под действием механической деформации. Это явление называется пьезоэлектрическим эффектом. • Явление открыто братьями Пьером и Жаком Кюри в 1880 году. • Если на грани кристалла наложить металлические электроды (обкладки) то при деформации кристалла на обкладках возникнет разность потенциалов. • Если замкнуть обкладки, то потечет ток. Рис. 4.7 Возможен и обратный пьезоэлектрический эффект: • Возникновение поляризации сопровождается механическими деформациями. • Если на пьезоэлектрический кристалл подать напряжение, то возникнут механические деформации кристалла, причем, деформации будут пропорциональны приложенному электрическому полю Е . •Сейчас известно более 1800 пьезокристаллов. •Все сегнетоэлектрики обладают пьезоэлектрическими свойствами • Используются в пьезоэлектрических адаптерах и других устройствах). 4.2.3. Пироэлектрики Пироэлектричество – появление электрических зарядов на поверхности некоторых кристаллов при их нагревании или охлаждении. • При нагревании один конец диэлектрика заряжается положительно, а при охлаждении он же – отрицательно. • Появление зарядов связано с изменением существующей поляризации при изменении температуры кристаллов. Все пироэлектрики являются пьезоэлектриками, но не наоборот. Некоторые пироэлектрики обладают сегнетоэлектрическими свойствами. В качестве примеров использования различных диэлектриков можно привести: сегнетоэлектрики – электрические конденсаторы, ограничители предельно допустимого тока, позисторы, запоминающие устройства; пьезоэлектрики – генераторы ВЧ и пошаговые моторы, микрофоны, наушники, датчики давления, частотные фильтры, пьезоэлектрические адаптеры; пироэлектрики – позисторы, детекторы ИКизлучения, болометры (датчики инфракрасного излучения), электрооптические модуляторы. 4.3. Вектор электрического смещения D Имеем границу раздела двух сред с ε1 и ε2, так что, ε1 < ε2 (рис. 4.8). E1 ε 2 E2 ε1 или ε2 E1 E2 ε1 Напряженность электрического поля E изменяется скачком при переходе из одной среды в другую. Рис. 4.8 • Главная задача электростатики – расчет электрических полей, то есть E в различных электрических аппаратах, кабелях, конденсаторах,…. • Эти расчеты сами по себе не просты да еще наличие разного сорта диэлектриков и проводников еще более усложняют задачу. • Для упрощения расчетов была введена новая векторная величина – вектор электрического смещения (электрическая индукция). D ε0 εE (4.3.1) • Из предыдущих рассуждений E1ε1 = ε2E2 тогда ε0ε1E1 = ε0ε2E2 отсюда и Dn1 = Dn2. Dn1 = Dn2. Таким образом, вектор D остается неизменным при переходе из одной среды в другую и это облегчает расчет D . Зная D и ε, легко рассчитывать D E . ε 0ε D εε 0 E (1 χ )ε 0 E ε 0 E χε 0 E отсюда можно записать: где χ P D ε 0E P, – (4.3.3) вектор поляризации, – диэлектрическая восприимчивость среды, характеризующая поляризацию единичного объема среды. • Для точечного заряда в вакууме D q D . 2 4 πr • Для имеет место принцип суперпозиции, как и для E , т.е. n D Dk . k 1 4.4. Поток вектора электрического смещения. Теорема Остроградского-Гаусса для вектора D Пусть произвольную площадку S пересекают линии вектора электрического смещения D под углом α к нормали: В однородном электростатическом поле поток вектора D равен: ФD DS cos α Dn S . Теорему Остроградского-Гаусса для вектора D получим из теоремы Остроградского-Гаусса для вектора E : • ФE S qk E dS n ε 0ε qk 1 Dn dS ε 0ε s ε 0ε Dn En ε 0ε D • Теорема Остроградского-Гаусса для (4.4.1) ФD Dn dS S qk . D • Поток вектора через любую замкнутую поверхность определяется только свободными зарядами, а не всеми зарядами внутри объема, ограниченного данной поверхностью. • Это позволяет не рассматривать связанные (поляризованные) заряды, влияющие на E и упрощает решение многих задач. • В этом смысл введения вектора D . 4.5. Изменение E и D на границе раздела двух диэлектриков • Рассмотрим простой случай (рисунок 4.12): два бесконечно протяженных диэлектрика с ε1 и ε2, имеющих общую границу раздела, пронизывает внешнее электростатическое поле . • Пусть ε 2 ε1. • Из п. 4.3 мы знаем, что E1τ E2 τ E1n ε 2 E2 n ε1 и • Образовавшиеся поверхностные заряды изменяют только нормальную составляющую а тангенциальная составляющая остается постоянной, в результате направление вектора изменяется: E E • То есть направление вектора E изменяется: tg α E E E 1 tg α 2 2 τ 1n E2 n E1τ 1n E2 n ε2 , ε1 tg α1 ε 2 , tg α 2 ε1 • Это закон преломления вектора напряженности электростатического поля. • Рассмотрим изменение вектора D и его проекций Dn и Dτ • Т.к. D ε 0 εE , то имеем: • D1n ε1ε 0 E1n D2 n ε 2ε 0 E2 n • D1n ε1ε 0 E1n ε 0 ε1ε 2 1 D2 n ε 2 ε 0 E2 n ε 0 ε 2 ε1 • т.е. D1n D2 n – нормальная составляющая вектора не изменяется. D1τ ε1ε 0 E1τ ε1 • ; D2 τ ε 2 ε 0 E2 τ ε2 D2 τ D1τ ε2 ε1 • т.е. тангенциальная составляющая вектора увеличивается в ε 2 раз ε tg α1 D2 τ D 1n D2 τ ε 2 tg α 2 D2n D1τ D1τ ε1 tg α1 ε 2 tg α 2 ε1 • закон преломления вектора D . • Объединим рисунки 4.12 и 4.13 и проиллюстрируем закон преломления для векторов E и D : tg α1 ε 2 tg α 2 ε1 • Как видно из рисунка, при переходе из одной диэлектрической среды в другую вектор D – преломляется на тот же угол, что и E D εε 0 E • Входя в диэлектрик с большей диэлектрической проницаемостью, линии D и E удаляются от нормали. Сегодня: понедельник, 9 мая 2016 г. Лекция окончена. До свидания! УРА! УРА! УРА! Сегодня: понедельник, 9 мая 2016 г. Лекция окончена. До свидания!