

1.19. Условия для электрических полей на границе
раздела двух диэлектриков
Рассмотрим
систему
из
2-х
диэлектриков,
разделенных
плоской
границей,
и
имеющих
диэлектрические проницаемости 1 и  2 . Ось x направим
вдоль границы.
E1
Выберем прямоугольный
контур L длиной а и шириной b,

который частично проходит в
a
L
первом диэлектрике и частично
b
- во втором.
х
Направление обхода контура
показано на рисунке стрелками.
E2



Пусть в первом диэлектрике создано поле E1 , а во
втором - E2 . Так как контур L замкнутый, то циркуляция
вектора напряженности по нему равна нулю. Циркуляция –
это криволинейный интеграл, распишем его в виде суммы
вкладов от 4-х сторон контура с учетом взаимной
ориентации полей и направления обхода контура
Edl
=
-E
a
+
E
a
E
b
+
E
b
=
0
1x
2x
Л
П

L
(E1x - E 2x )a = (E П - E Л )b
откуда
Это
равенство
должно
выполняться
для
произвольного контура L. Сделаем контур бесконечно
тонким, устремляя ширину
b
к нулю, тогда получим
E1x = E 2x
(1.19.1)
Значения проекций E1x и E2x берутся вблизи
границы. Равенство (1.19.1) должно выполняться при
произвольной ориентации оси x в плоскости границы.
Выберем ось x так, чтобы обратились в ноль
проекции обоих векторов
E1x = E2x  0
Это значит, что вблизи
границы векторы E1 и E2
лежат в одной плоскости
с нормалью к поверхности.
Представим их в виде
E1  E1n  E1t
E2  E2n  E2t
E1
E 1n
E 1t
E 2t
х
E 2n
E2
n
E1
где E1t и E 2t - тангенциальные проекции векторов
и E2 на границу.
Согласно (1.19.1) должно выполняться
E1t  E 2t
(1.19.2)
Следовательно,
на
границе
раздела
двух
диэлектриков тангенциальная составляющая вектора
напряженности электрического поля непрерывна.
Используем связь напряженности поля со смещением
(1.16.4), тогда формулу (1.19.2) можно переписать в виде
D1t
1

D2t
2
(1.19.3)
Выберем теперь вблизи границы цилиндр c высотой
h и основанием S. Пусть h настолько мала, что в пределах
цилиндра электрическое поле можно считать однородным.

n1
S1

S2
h
n2
S1 = S2 = S
Применим к поверхности цилиндра теорему Гаусса
для вектора смещения (1.16.6). Если сторонних зарядов нет,
то
ФD =  ρdV  0
V
С другой стороны, поток смещения через поверхность
цилиндра можно представить как сумму потоков
ФD =
DdS
=D
S
+
D
S
+

D

S
=
0
1n
2n
n
бок

S
где
Sбок.
значение
 D-nусредненное

Устремим
h0,
тогда
на боковой
Dn поверхности
Sбок  0
и получим
D1n = -D2n
(1.19.4)
Знак минус связан с тем, что вектора D и D
1
2
спроецированы
на
противоположно
направленные
нормали n1 , n2 . Их можно спроецировать на одну и ту же
нормаль, например n1 , тогда
(1.19.5)
D1n = D2n
Следовательно,
на
границе
раздела
двух
диэлектриков
нормальная
составляющая
вектора
смещения
непрерывна.
Это справедливо не только для электростатических полей,
но и для электрических полей, зависящих от времени.
Выражая смещение через напряженность, формулу
(1.19.5) перепишем в виде
D
 1 E1n =  2 E 2n
(1.19.6)
Если на границе раздела двух сред находится
поверхностный сторонний заряд с плотностью σ , то из
теоремы Гаусса получаем
ФD =  ρdV  
V
Поэтому
на
границе
раздела
нормальная
составляющая вектора D терпит скачок, равный σ
D2n - D1n  
Циркуляция же напряженности электрического поля
Е по любому замкнутому контуру равна нулю и в этом
случае, поэтому тангенциальная составляющая
прежнему непрерывна
E1t = E 2t
Е
по-
1.20. Закон преломления для линий смещения
На границе диэлектриков линии электрического
смещения терпят излом, преломляются. Найдем связь
между углами падения и преломления. Из рисунка следует
D1t
tgα1 =
;
D1n
D2t
tgα2 =
D2n
D1t
D1n 

используя (1.19.5) и (1.16.4)
D1t
D2t

tgα1 tgα2
;
 1 E1t
tgα1

 2 E2t
tgα2
а также (1.19.2), получим
 1 tgα1

 2 tgα2
D1
 D
2n
D2
D2t
(1.20.1)
Закон преломления
для линий смещения
n
Теперь
рассмотрим
преломление
линий
напряженности
электрического
поля.
Построим
аналогичный рисунок для векторов Е1 и Е2 в средах.
E1t
tgα1 =
;
E1n
E2t
tgα2 =
E2n
D
E1t1t
учитывая
1 E1n   2 E2 n
E1t  E2t
получаем закон преломления
для напряженности
электрического поля
 1 tgα1

 2 tgα2
D1n 
E

D
E11
ED22
 D
E 2n
2n
n
D
E2t2t
Как видно, он такой же как и для смещения.
1.21 Диполь в электрическом поле
Рассмотрим диполь с плечом l и зарядами ±q во
внешнем однородном и неоднородном электрическом поле.
1) Пусть внешнее поле однородно и направлено вдоль оси x
На заряды -q и +q действуют силы
F1 = -qE ; F2 = qE
.
+q
которые
создают момент М
относительно центра диполя.
Найдем его.

x
1
F1
.




x 2
P
M
-q lcos
F2
x
E
l
l
M = [  F1 ] +[(- )  F2 ] =
2
2
l
l
= [  qE ] +[(- )  (  qE )] = [ p  E ]
2
2
p = ql
- электрический момент диполя.
Модуль момента сил равен
M = qElsin  pEsin
Момент сил стремится повернуть диполь так, чтобы
его дипольный момент
установился
по направлению
p
внешнего поля
.
E
Найдем энергию диполя в электрическом поле.
Согласно (1.9.5) заряд q, находящийся в точке поля с
электрическим потенциалом  , имеет потенциальную
энергию
U  q
Поэтому потенциальная энергия диполя равна
U Дип  q  q  q(   )
Найдем разность потенциалов. Напряженность и
потенциал поля связаны формулой (1.10.2), имеющей в
одномерном случае вид

E = Ex = -
x
В однородном поле напряженность везде одинаковая,
интегрируя находим
x2
+ -  - = -  Edx = -E(x2 - x1 ) = -Elcos
x1
Подставляя в
U Дип получаем
U Дип  q(     )  qEl cos  ( pE )
Итак, в однородном электрическом поле
имеет потенциальную энергию
U Дип = -(pE)
E
диполь
(1.21.1)
В
этой
энергии
не
учитывается
энергия
взаимодействия зарядов, образующих диполь.
2)
Рассмотрим
теперь
случай
неоднородного
электрического поля. Пусть это поле неоднородно только
вдоль оси x. Тогда силы, действующие на заряды ±q в
направлении данной оси, будут отличаться по величине.
Обозначим через x координату центра диполя вдоль
его оси, тогда координаты зарядов -q и +q можно записать
x1 = x - Δx
x2 = x + Δx
Δx = l/2cos(α)
Проекции сил F1 и F2, действующих на заряды -q и
+q, равны
F1x ( x - x ) = -qE x ( x - x )
F2x ( x + x ) = qE x ( x + x )
Пусть плечо диполя l невелико, тогда напряженности
полей Е1 и Е2 можно представить в виде
E1 x
E1 x ( x  x )  E1 x ( x ) 
x
x
E2 x
E2 x ( x  x )  E2 x ( x ) 
x
x
Складывая, получим силу, приложенную к центру
диполя
Fc  F1x ( x  x)  F2 x ( x  x) 
E
E
  qE ( x)  q
x  qE ( x)  q
x 
x
x
E
E
E
 2q
x  q l cos( )  p
cos( )
x
x
x
Таким образом, в неоднородном электрическом поле на
диполь действует сила, сообщающая ему поступательное
движение вдоль линии поля
E
Fc = p
cos(α)
x
(1.21.2)
Из формулы (1.21.2) следует, что
1) на диполь, момент которого направлен в сторону
внешнего поля ( α < π/2 ), действует сила, втягивающая
его в область более сильного поля.
2) если диполь, ориентирован против поля ( α > π/2 ), то он
выталкивается из поля.
Расчеты показывают, что потенциальная энергия
диполя U
в неоднородном электрическом поле
Дип
имеет такой же вид, как и в однородном поле (1.21.1).
1.22. Силы, действующие на заряд в диэлектрике
Заряженное тело, помещенное в диэлектрик,
вытесняет диэлектрик из занимаемого им объема.
Электрическое поле внутри этой полости Eпол
отлично от поля в сплошном диэлектрике E .
Кроме того, на границе с телом в диэлектрике
возникают механические напряжения и связанные с ними
механические силы Fмех
.
Если диэлектрик является жидкостью или газом, то
результирующая сила, действующая на заряженное тело с
зарядом q равна сумме механической и электрической сил
F = qEпол + Fмех
(1.22.1)
Как показывают расчеты, эта сила в точности
совпадает с силой
F = qE
где
E - напряженность электрического поля в диэлектрике.
В частности, если поле создано точечным зарядом, то
q
E=k 2
r
(1.22.2)
q1q2
F =k 2
r
(1.22.3)
Поэтому сила взаимодействия двух точечных зарядов,
погруженных в жидкий или газообразный диэлектрик,
равна
где

- диэлектрическая проницаемость среды.