свойства комплексных чисел - Иркутский государственный

Министерство образования РФ
Иркутский Государственный Университет
Лицей ИГУ
КУРСОВАЯ РАБОТА
«Комплексные числа»
Содержание
СОДЕРЖАНИЕ ................................................................................ 2
ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................... 3
НЕПРИВОДИМЫЙ СЛУЧАЙ КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ........ 4
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ + МНИМОЕ = КОМПЛЕКСНОЕ ................... 5
СВОЙСТВА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ........................................... 7
СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ ................................. 8
КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЁННЫЕ ЧИСЛА ................................... 9
ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ........................................... 10
ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ....................................... 10
ДBE ОСИ И КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ................................ 11
КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО КАК ВЕКТОР....................................... 12
АРГУМЕНТ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА ....................................... 13
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНЫХ
ЧИСЕЛ ............................................................................................ 14
ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ
ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.......................................................... 16
РЕШЕНИЕ ПРИМЕРОВ .............................................................. 21
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................... 28
2
ВВЕДЕНИЕ
Когда мы слышим слово «число», то на ум прежде всего приходят натуральные числа: 1, 2, 3,... Их мы используем для пересчёта разнообразных предметов. Если натуральных чисел оказывается недостаточно, прибегаем к дробям, а точнее — к рациональным числам. И то, как правило, не ко всем, а лишь к тем, которые выражаются конечными десятичными дробями. Уж их-то
вполне хватает для повседневных нужд. Конечные десятичные
дроби позволяют фиксировать результаты всевозможных измерений с произвольной точностью. Чего же ещё ждать от чисел?
Но вот нам говорят, что существуют несоизмеримые величины. Например, диагональ квадрата несоизмерима с его стороной,
т. е. отношение их длин — 2 — не является рациональным числом, хотя и может с любой наперёд заданной точностью быть приближено рациональными числами. И тогда становится понятно,
что проще признать эти новые, иррациональные числа, чем каждый раз вместо «решим уравнение х2 = 2» говорить «найдём такое
х, чтобы х2 отличалось от 2 не более, чем на такую-то величину».
Построенное таким образом сообщество — множество действительных чисел — уже не только удовлетворяет нашим практическим потребностям, но и обладает определённой теоретической
полнотой. Оно позволяет формулировать разнообразные задачи,
сводить их к уравнениям и решать, не боясь впасть в противоречие. Конечно, и здесь есть свои правила и ограничения.
Нельзя, например, делить на нуль, нельзя извлечь корень чётной
степени из отрицательного числа и т. д. Однако правила эти несложные, и если им строго следовать, то всё будет в порядке...
Всё ли? Рассмотрим такой пример:
и 1, и -1, а определить
6
6
1 можно считать равным
 1 невозможно. С другой стороны, что та-
кое 1/6? Это то же самое, что 2/12. Однако
6
1
 1  (1) 6 ,
2
(1) 12  12 (1) 2  12 1, а последний корень можно извлечь!
Вот ещё один пример:
4
1


2
(1)  (1)  (1) 2   (  1) 4 .


4
2
Но если квадратного корня из -1 не существует, то и его четвёртой степени не существует. Значит, -1 нельзя возвести даже в
квадрат?
3
Кому-то покажется, что всё это не настоящие противоречия.
Можно наложить дополнительные запреты на действия с числами,
и подобные ситуации больше не возникнут. Но всегда ли разумны
запреты? Представьте себе, что некоторые задачи весьма успешно решаются только с нарушением определённого запрета, и никак
не удаётся найти «законного» способа их решения. Не стоит ли в
таком случае отказаться от ограничения, ставшего слишком обременительным? Именно это произошло в своё время с запретом извлекать квадратный корень из отрицательных величин при решении так называемого неприводимого случая кубического уравнения.
НЕПРИВОДИМЫЙ СЛУЧАЙ КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Подобно тому как для решения квадратного уравнения существует общая формула, выражающая корни уравнения через его
коэффициенты, аналогичная формула есть и для кубического
уравнения вида x  px  q  0.
3
2
3
2
3
q
q
q  p
q  p
х  3       3       .
2
2
2  3 
2  3 
Она называется формулой Кардано — по имени математика,
впервые её опубликовавшего.
Пример. Для уравнения
х3 = 30х + 36
формула Кардано даёт
х  3 18   676  3 18   676 .
Под квадратным корнем здесь оказалось отрицательное число. В то же время уравнение имеет решение х = 6 — это легко
проверить.
Однако предположим на секунду, что корни из отрицательных
чисел существуют. Тогда, если научиться извлекать кубические
корни из выражений вида А   В , можно будет вычислить
х  3 18   676 и х  3 18   676 . Мы получим 3   1 и
3   1. В самом деле, возведём в куб выражение 3   1 ,
воспользовавшись формулой (а + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3:
4
(3   1) 3  27  3  9   1  3  3  (  1) 2  (  1) 3 
 27  9  (27  1)  1  18  26  1  18   676 .
Аналогично, (3 
 1)3  18   676 . Поэтому
x  3 18   676  3 18   676  (3   1)  (3   1)  6.
Как видно, «странные» корни успешно сокращаются. То есть
решали обычное уравнение и нашли корень — обычное действительное (и даже натуральное) число. Но для этого в промежуточных выкладках пришлось оперировать «необычными» числами. И
самое главное – никаким другим способом, за исключением разве
что угадывания, это решение получить не удаётся!
Теперь есть три пути:
— безоговорочно следовать установленным запретам и отказаться от новых приобретений, т. е. считать, что никакого метода
решения неприводимого случая кубического уравнения у нас нет;
— «спрятать голову в песок», т.е. каждый раз, решая уравнения, при переходе к действию с выражениями вида  А говорить
«извините!», и делать вид, что ничего не произошло;
— заняться их изучением: дать определение, исследовать
свойства, научиться выполнять арифметические операции.
Хотя и не сразу, но в конечном итоге математики выбрали третий путь. И были вознаграждены: «странные» корни нашли широкое применение в электротехнике, аэродинамике и других областях знаний.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ + МНИМОЕ = КОМПЛЕКСНОЕ
Итак, кроме привычных действительных (буквально — «реально существующих») чисел нам приходится рассматривать ещё
числа вида  А , где А — положительное действительное число.
Что это за числа, как их «потрогать руками» — всё это вопросы, не
имеющие ответа. Мы просто договорились считать, что они есть. И
вполне естественно, что такие числа были названы мнимыми, т. е.
«нереальными».
Но кое-что о мнимых числах мы всё же знаем. Например, что
при возведении в квадрат они дают отрицательные числа. Далее,
поскольку
 А  А  (1), то
А
5
А  1, а
А
— это
обычное действительное число. Значит, любое мнимое число
можно получить исходя из единственного мнимого числа
 1, если умножить его на подходящее действительное число.
Таким образом, вместо безбрежного океана таинственных объектов мы имеем один - единственный непривычный объект, все же
остальные строятся с помощью операции умножения. Согласитесь,
с такой ситуацией примириться уже гораздо легче.
Число  1, играющее роль «строительного блока» в мире
мнимых чисел, называют мнимой единицей и по предложению
Леонарда Эйлера обозначают буквой i (от лат. imaginarius —
«мнимый»). Основное свойство мнимой единицы выражается простым равенством:
i 2  1.
Однако, как подсказывает опыт решения кубических уравнений, кроме действительных и мнимых чисел нам приходится рассматривать также числа вида A   B , которые представляют
собой сумму действительного и мнимого. Такие числа именуются
комплексными, т. е. составными.
А теперь, суммируя всё сказанное, сформулируем наконец
определение комплексного числа: комплексным числом называется выражение вида a  bi , где a и b — действительные числа,
а i — мнимая единица.
Пример решения квадратного уравнения
Выражение «Квадратное уравнение, дискриминант которого
меньше нуля, не имеет решения», верно при условии «не имеет в
действительных числах, в комплексных же имеет целых два». Рассмотрим такое уравнение:
х2 - 2х + 5 = 0.
(*)
По общей формуле находим
х1, 2  1  12  5  1   4.
Здесь дискриминант D = - 4 отрицателен. Однако знакомство с
комплексными числами избавит от лишних сомнений:
х1, 2  1   4  1  2  1  1  2i.
Таким образом, уравнение (*) имеет два комплексных корня:
х1  1  2i, x2  1  2i.
6
СВОЙСТВА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
В комплексном числе вида
z  a  bi,
(*)
где a и b — действительные числа, а i   1 — мнимая единица, слагаемое a называется действительной частью, а слагаемое b — мнимой частью. Действительную часть a и коэффициент b принято обозначать так:
a  Re z , b  Im z.
Получается, что любое действительное число — это такое
комплексное число, мнимая часть которого равна нулю, например:
0  0  0i, 1  1  0i
и т. п.
Мнимое же число — это такое комплексное число, у которого
нулю равна действительная часть, а мнимая часть отлична от нуля, в частности:
i  0  1i.
Комплексные числа можно складывать и перемножать точно
так же, как это делают с алгебраическими выражениями. При этом
привычные законы сложения и умножения — сочетательный (ассоциативный), переместительный (коммутативный), распределительный (дистрибутивный) — остаются в силе:
( z1  z 2 )  z 3  z1  ( z 2  z 3 ), ( z1 z 2 ) z 3  z1 ( z 2 z 3 );
z1  z 2  z 2  z1 , z1 z 2  z 2 z1 ;
z1 ( z 2  z 3 )  z1 z 2  z1 z 3 , ( z1  z 2 ) z 3  z1 z 3  z 2 z 3 .
Особое значение нуля и единицы также сохраняется:
z  0  z , z  0  0, z  1  z.
Роль же мнимой единицы i совершенно особая и не имеет
аналогов в «обычной» арифметике:
i 2  (i) 2  1.
Понятия «больше» и «меньше» в области комплексных чисел
7
теряют всякий смысл. Например, нельзя сказать, что больше:
5  6i или 6  5i . Можно лишь сравнивать по отдельности действительную и мнимую части.
СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ
Производя арифметические операции с действительными
числами, мы не сомневаемся, что в итоге тоже получится действительное число (исключение составляет деление на нуль). Переходя к комплексным числам, нужно убедиться в том, что арифметические операции над ними порождают только комплексные числа.
Это значит, что результат любой арифметической операции должен быть представлен в стандартной форме (*).
Начнём со сложения.
Пусть
z1  a  bi и z 2  c  di . Тогда
z1  z 2  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i.
То есть сумма двух комплексных чисел есть комплексное число, действительная часть которого равна сумме действительных
частей этих чисел, а мнимая часть — сумме их мнимых частей.
Аналогично можно найти разность двух комплексных чисел:
z1  z 2  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i.
Перейдём к умножению. Это тоже нетрудно, если механически
раскрыть скобки и вовремя вспомнить, что i  1 :
2
z1  z 2  (a  bi )  (c  di)  ac  bci  adi  bdi 2 
 ac  bci  adi  bd  (ac  bd )  (bc  ad )i.
Таким образом, сумму, разность и произведение любых двух
комплексных чисел нам удалось представить в форме (*). Несколько сложнее с операцией деления. Камень преткновения —
комплексный знаменатель дроби:
z1 a  bi

.
z 2 c  di
Для того чтобы обратить его в действительный, придётся
предпринять дополнительное исследование.
8
КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЁННЫЕ ЧИСЛА
Обычно мнимую единицу i определяют как квадратный корень из числа -1. Но какой из двух? Сказать «положительный»
нельзя, ведь понятия «положительный» и «отрицательный» для
мнимых чисел не определены... Это напоминает казусные рассуждения Марка Твена: один из двух близнецов утонул, а второй так и
не понял, кто же утонул — он сам или его брат.
К счастью, выясняется, что беспокоиться не о чем. Роль i и
 i в сообществе комплексных чисел абсолютно симметрична: i и
 i — два равноправных корня из -1. Эта симметрия приводит к
тому, что у каждого комплексного z  a  bi числа имеется «близнец» z  a  bi . Такие «близнецы» называются комплексно - сопряжёнными или просто сопряжёнными числами. (В том случае,
когда b  0 , т. е. z — действительное число, оно является сопряжённым самому себе: z  z . )
Комплексно-сопряжённые числа обладают интересными свойствами. Прежде всего, их сумма и произведение являются действительными числами. В самом деле,
z  z  (a  bi)  (a  bi)  2a,
z  z  (a  bi)  (a  bi )  a 2  b 2 i 2  a 2  b 2 .
Выражение a  b немецкий учёный Карл Фридрих Гаусс
назвал нормой комплексного числа a  bi, а квадратный корень из
нормы (точнее, его положительное значение) по предложению
французского математика Огюстена Коши стали именовать модулем комплексного числа. Обозначают его чаще всего буквой r или
2
2
знаком абсолютной величины: r  z  a  bi  a  b . Отсюда легко получить следующее свойство сопряжённых чисел: их
нормы и модули всегда равны между собой. А проанализировав
формулы суммы, разности и произведения, можно доказать и другие свойства:
2
z1  z 2  z1  z 2 ,
z1  z 2  z1  z 2 ,
z1  z 2  z1  z 2 .
9
2
ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Теперь несложно справиться и с делением комплексных чисел. Чтобы привести частное
z1 a  bi

z 2 c  di
к стандартному виду (*), нужно избавиться от мнимой единицы в
знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на
число, сопряжённое знаменателю, с  di (ведь произведение комплексно-сопряжённых чисел — число действительное). В результате получим
z1 a  bi (a  bi )(c  di ) (ac  bd )  (bc  ad )i




2
2
z 2 c  di (c  di )(c  di )
c d

(ac  bd ) (bc  ad )
 2
i,
c2  d 2
c d2
Чтобы рассмотренные понятия стали вполне наглядными,
имеет смысл познакомиться с геометрической интерпретацией
комплексных чисел.
ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Наглядно представить мнимые числа впервые попытался ещё
в XVII в. английский учёный Джон Валлис. Он предлагал различные варианты, и один из них выглядел так: мнимое число
 1  1  (1) представляет собой среднее геометрическое
между 1 и -1. Следовательно,  1 есть сторона квадрата, равновеликого прямоугольнику со сторонами 1 и -1. Серьёзного отклика
у современников идеи Валлиса не вызвали.
В 1799 г. датский математик Каспар Вессель предложил простую геометрическую интерпретацию комплексных чисел, однако
его работа осталась незамеченной. Лишь через три десятка лет
Карл Фридрих Гаусс выпустил в свет труд «Теория биквадратных
вычетов», в котором дал такое же геометрическое представление
комплексных чисел, как и Вессель.
Идея Весселя и Гаусса настолько прозрачна, что остаётся
10
только удивляться, почему никто из учёных не додумался до неё
раньше. А состоит она в следующем.
ДBE ОСИ И КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ
Действительные числа удобно представлять в виде точек на
числовой оси. Надо лишь выбрать начало координат (нулевую точку), положительное направление и единицу измерения, и тогда
любому действительному числу будет соответствовать единственная точка числовой оси, и наоборот: каждой точке — действительное число.
Точно так же, точками на числовой оси, можно изобразить и
чисто мнимые числа bi : точке с координатой b будет отвечать
число bi , а умножить b на i легко и в уме. Так что числовая ось
вполне пригодна для представления и действительных, и мнимых
чисел. Но только не одновременно! Значит, чтобы одновременно
изображать действительные и мнимые числа, нужно взять сразу
две оси. Назовём их соответственно действительной осью и
мнимой осью и расположим перпендикулярно друг другу — так,
чтобы они пересеклись в нулевой точке. В этом и состояла основная идея Весселя и Гаусса. Для определённости выберем положительное направление действительной оси вправо, а мнимой оси —
вверх. Единица же измерения (масштаб) по обеим осям пусть будет одна и та же.
Итак, в нашей геометрической интерпретации мнимые числа
«расположены перпендикулярно» действительным. Ну а комплексные? Они «размещаются» по всей плоскости, в которой лежат числовые оси. Выберем на плоскости произвольную точку и спроектируем её на эти оси. Допустим, проекция точки на действительную
ось имеет координату а , на мнимую ось — координату b (рис. 1).
Будем считать эту точку изображением комплексного числа
a  bi . Теперь можно смело утверждать, что каждой точке плоскости соответствует одно вполне
определённое комплексное число.
Верно и обратное: каждому комплексному числу a  bi соответствует одна точка плоскости. Таким образом, между точками плоскости и комплексными числами
существует взаимно однозначное
соответствие.
Рис.1
11
КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО КАК ВЕКТОР
Соединим начало координат и точку, изображающую комплексное число a  bi , направленным отрезком — вектором, как
показано на рис. 1. Что это даёт?
Прежде всего, теперь можно наглядно представить операции
сложения и вычитания комплексных чисел. Изобразим комплексные числа z1 и z 2 в виде двух векторов. Затем построим на них параллелограмм. Вектор, соединяющий
начало координат с четвёртой вершиной параллелограмма, в точности
соответствует комплексному числу,
равному сумме z1  z 2 , (рис.2). А
чтобы представить разность двух
комплексных чисел, достаточно заменить второй вектор противоположно направленным. Или иначе: вектор, идущий от z 2 к z1 , надо перенести в начало координат (рис.3).
Рис. 2
Далее, число 0 — это нуль-вектор, а
комплексно-сопряжённые числа - векторы, симметричные относительно действительной оси.
Наконец, можно вычислить
длину вектора, соответствующего комплексному числу
z  a  bi.
Воспользуемся для этого теоремой Пифагора. Из рис.1 понятно, что длина вектора есть
длина
гипотенузы
прямоугольного треугольника с катетами a и b, поэтому она
равна a  b , а это модуль
комплексного числа z.
2
2
Рис. 3
Таким образом, длина вектора, соответствующего комплексному числу z, равна его модулю | z |.
12
Применим этот результат к геометрической интерпретации
сложения комплексных чисел. Поскольку любая сторона треугольника не превосходит суммы двух других, следовательно,
| z1  z 2 |  | z1 |  | z 2 |,
т.е. модуль суммы
чисел не превосходит суммы их модулей.
комплексных
АРГУМЕНТ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Как известно, вектор определяется не только длиной, но и
направлением. Чтобы его задать, можно использовать угол между
положительным направлением действительной оси и направлением вектора. Но этого недостаточно. Возьмём два сопряжённых комплексных числа z  a  bi и z  a  bi. На плоскости
они изображаются векторами, симметричными относительно действительной оси (рис. 4), причём углы между ними и действительной осью равны. Получается, что, зная величину угла, мы всё ещё
не в состоянии выбрать одно из двух подходящих направлений.
Во избежание этой неопределённости
вводят
понятие
направления измерения угла и
как следствие — отрицательные
углы. Если при измерении угла
мы движемся от положительного
направления числовой оси против часовой стрелки, значение
угла
будем
считать
положительным, а если по часовой
стрелке — то отрицательным. В
таком случае для числа z на рис.
4 угол положителен, а для z —
Рис. 4.
отрицателен. Этот угол называют аргументом комплексного числа и обозначают так:
  arg z. Обычно он измеряется не в градусах, а в радианах.
Итак, мы научились однозначно задавать направление вектора. Но осталась другая неоднозначность: одному и тому же
направлению вектора соответствует вовсе не единственный аргумент.
Предположим, при отсчёте угла против часовой стрелки аргумент равен  / 4. Но ничто не мешает отсчитывать угол и по часовой стрелке. Тогда, совершив почти полный оборот ( 2 ), получим
 (2   / 4)  7 / 4. Можно развить эту идею и к величине уг13
ла добавить (или отнять) какое угодно целое число оборотов, что
вернёт вектор в то же положение. Поскольку один оборот — это
2 , то целое число оборотов — это 2k , где k — произвольное
целое число. Выходит, если  — аргумент комплексного числа z,
то с равным правом можно считать аргументом и любое из бесконечного количества значений, определяемых по формуле
  2k (k  0,1,2,...).
Как быть с этой многозначностью? Не установить ли границы
для аргумента, считая допустимыми лишь такие его значения, которые лежат, скажем, в пределах от   до  или от 0 до 2 ? Но,
оказывается, это неудобно по другим соображениям. Приходится
смириться с тем, что каждому комплексному числу соответствует
единственный модуль, но бесконечное количество аргументов. А
для нуля аргументом является вообще произвольное число.
Теперь комплексное число можно определять не только парой
координат, но и по-другому: парой модуль — аргумент. И встаёт
новый вопрос: как от одного способа перейти к другому и наоборот? Здесь нам на помощь приходит тригонометрия.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНЫХ
ЧИСЕЛ
Возьмём произвольное комплексное число
z  a  bi и изоб-
разим его в виде вектора OM на комплексной плоскости (рис. 5).
Пусть N — проекция точки М на действительную ось. В прямоугольном треугольнике OMN длины катетов ON и NM равны соответственно a и b , а
длина гипотенузы ОМ
z  a b .
равна
Из тригонометрии известно, что отношение
длины катета к длине
гипотенузы равняется
косинусу прилежащего
угла и синусу противолежащего.
2
Рис. 5.
14
2
Следовательно,
a  Re z  z  cos  ,
b  Im z  z  sin  ,
где
 — аргумент комплексного числа z. Таким образом,
z  z  (cos   i sin  ).
Конечно, тригонометрическая форма записи комплексного
числа выглядит громоздко по сравнению с привычной. Попробуем
перемножить два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме:
z1  z1  (cos 1  i sin 1 ) и
z 2  z 2  (cos  2  i sin  2 ).
Всё сводится к элементарному раскрытию скобок с последующей
заменой i
2
на -1.
z1  z 2  z1 z 2 (cos 1  i sin 1 ) (cos  2  i sin  2 )  z1 z 2 
 (cos 1 cos  2  sin 1 sin  2 )  i  (sin 1 cos  2  sin  2 cos 1 ).
В круглых скобках нетрудно узнать выражения для косинуса и синуса суммы двух углов. Поэтому
z1  z 2  z1 z 2 cos(1   )  i sin( 1   2 .
Неожиданный и красивый результат:
при умножении комплексных чисел, их модули необходимо
перемножить, а аргументы — сложить.
Нетрудно доказать, что при делении необходимо произвести обратные операции: поделить модули и вычесть аргументы.
Отсюда вытекает геометрический смысл операций умножения и
деления комплексных чисел:
— при умножении на комплексное
число z  z  (cos   i sin  ) вектор, соответствующий множимому,
нужно растянуть в z раз и повернуть на угол  (рис. 6);
Рис. 6.
15
— при делении вектор, соответствующий делимому, надо
сжать в z раз и повернуть на угол   .
Как мы убедились, тригонометрическая форма записи комплексного числа не менее полезна, чем обычная. Вопрос лишь в
том, когда какую из них удобнее применять. При сложении и вычитании легче оперировать комплексным числом в виде суммы действительной и мнимой частей. Но если речь идёт об умножении и
делении, преимущества тригонометрического представления неоспоримы.
ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ
ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел удобна
при возведении в степень и извлечении корней. Попробуем возвести в натуральную степень n комплексное число
z  r  (cos   i sin  ).
Здесь r — модуль комплексного числа z, а  — его аргумент. Возведение в натуральную степень n можно заменить многократным (точнее, n-кратным) перемножением одинаковых чисел.
При перемножении, как нам известно, модули умножаются, а аргументы складываются, поэтому модуль полученного в итоге числа
будет равен r , а аргумент n . .
Можно было бы взять в качестве аргумента числа z не  , а какое-то другое значение, отличающееся от  на «целое число обоn
  2 . В этом случае аргумент числа z n равнялся бы n  2n. По сути дела это ничего не меняет, ведь
sin x и cos x — 2 -периодические функции. Итак,
ротов», например
r (cos   i sin  )n  r n (cos n  i sin n ).
Это выражение называется формулой Муавра — в честь английского математика Абрахама де Муавра, открывшего её в 1701
г.
При умножении и делении аргумент комплексного числа ведёт
себя точно так же, как и показатель степени. Действительно, при
умножении аргументы складываются, при делении вычитаются.
Почему бы в таком случае не предположить, что
16
cos   i sin   A ,
где A — некоторое число, причём одно и то же для всех значений
 . Леонард Эйлер показал в 1743 г., что таким числом является
A  e i . Здесь е = 2,71828... — знаменитое число Эйлера, а i —
мнимая единица. Так что справедлива формула Эйлера:
e i  cos   i sin  .
 
Подставив в неё
и учитывая, что
cos   1, a
sin   0, получим удивительное соотношение между пятью самыми популярными в математике константами: нулём, единицей,
мнимой единицей, а также замечательными числами е и  :
e i  1  0.
Это равенство во все времена вызывало восторженные отклики. По словам известного кораблестроителя и математика академика Алексея Николаевича Крылова, в нём таинственным образом
воссоединились числа, символизирующие арифметику (0 и 1), алгебру ( i ), анализ ( е ) и геометрию (  ).
С помощью формулы Эйлера получаем ещё одно, очень компактное представление комплексного числа:
z  re i .
Оно называется экспоненциальной формой представления.
u
Если же подобрать такое действительное u , что r  e (и должно
быть равно натуральному логарифму числа r : u  ln r ), то получим
z  e u  i .
Теперь можно извлечь из числа z корень n-й степени (n —
натуральное):
n
re
i
i
1
n
1
n
 (re )  r e
i
n



 n r  cos  i sin .
n
n

Таким образом, при извлечении корня натуральной степени n
из модуля надо извлечь этот корень обычным способом, получив
положительное число, а аргумент поделить на n. Но, поскольку аргумент комплексного числа определён с точностью до 2k , наряду
с
 мы должны рассмотреть также все аргументы вида   2nk ,
17
где k — целое. Так и поступим:
n
   2k 
  2k 
re i (  2k )  n r cos 
  i sin  
.
n
n
n
n



 
Видно, что различным k  0,1,..., n  1 соответствуют различные не
кратные 2 аргументы. Значит,
при извлечении корня натуральной n-й степени имеется n значений корня и разность между
«соседними» значениями аргумента равна
2
n
(на рис. 7 дан
пример для n = 6).
Итак, любое комплексное (в
том числе действительное) число имеет ровно n комплексных
корней n-й степени. Рассмотрим,
например, z = 1. Начнём с квадратного корня (n = 2):
Рис.7
1  cos
2k
2k
 i sin
 cos k  i sin k ,
2
2
где k  0 или 1. Получаем два корня:
1) cos 0  i sin 0  1  i  0  1,
2) cos   i sin   1  i  0  1.
Оба они действительные, причём именно те, которых и следовало
ожидать.
Случай n = 3 интереснее:
3
1  cos
2k
2k
 i sin
.
3
3
При k  0, 1 и 2 имеем три корня:
1) cos 0  i sin 0  1  i  0  1,
2) cos
18
2
2
1
3
 i sin
  i
,
3
3
2
2
Рис.8.
3) cos
4
4
1
3
 i sin
  i
.
3
3
2
2
Первый из них — обычный действительный кубический корень
из 1. Другие же два не столь очевидны (рис. 8). Для проверки возведём хотя бы один из них в куб, например второй:
3


 1
3
1
1
  i
   (1) 3  3i 3  9  i  3 3  (9  1)  1.
 2
2 
8
8

При извлечении корня 4-й степени получаем 1,  1, i,  i т. д.
Для полноты следует рассмотреть ещё случай комплексного
числа с ненулевым аргументом. Извлечём, к примеру, квадратный
корень из -1. Здесь модуль равен 1, а аргумент  . По формуле




 1  cos  k   i sin   k ,
2

2

k  0 и 1, получается два корня: i и  i .
ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА
Известно, что функции
степенными рядами:
sin x, cos x и e x можно представить
x3 x5 x7
sin x  x     ...,
3! 5! 7!
x2 x4 x6
cos x  x  
  ...,
2! 4! 6!
x 2 x3 x 4
e  1 x 
 
 ...
2! 3! 4!
В последнюю формулу вместо x подставим ix :
x
x2
x3 x4 x5 x6
e  1  ix 
i 

 ...
2!
3! 4! 5! 6!
ix
19
Сравнивая по отдельности действительную и мнимую части
этой формулы с рядами для косинуса и синуса, получаем что
e ix  cos x  i sin x.
Используя формулу Эйлера, можно предложить новые определения для функций sin x и cos x (в том числе действительного
аргумента):
e ix  e  ix
sin x 
,
2i
e ix  e ix
cos x 
.
2
Из данных формул можно вывести все обычные свойства этих тригонометрических функций.
ФОРМУЛА МУАВРА И ТРИГОНОМЕТРИЯ
Формула Муавра оказывается удобным средством для преобразования некоторых выражений, содержащих тригонометрические функции. С ее помощью можно быстро вывести тригонометрические формулы синуса и косинуса кратных углов (двойного,
тройного и т. д.). К примеру, пусть
n = 2:
(cos   i sin  )2  cos 2  i sin 2 .
Раскрыв скобки в левой части, после приведения подобных членов
имеем
(cos 2   sin 2  )  i  2 sin  cos   cos 2  i sin 2 .
Приравнивая по отдельности действительные и мнимые части, получаем сразу две формулы - для косинуса и синуса двойного угла:
cos 2  cos 2   sin 2  ,
sin 2  2 sin  cos  .
n = 3:
20
(cos   i sin  ) 3  cos 3  i sin 3 
 cos 3   3i cos 2  sin   3i 2 cos  sin 2   i 3 sin 3  
 cos 3   3 cos  sin 2   i(3 cos 2  sin   sin 3  ).
Приравнивая по отдельности действительные и мнимые части,
находим:
cos 3  cos 3   3 sin 2  cos  ,
sin 3  3 cos 2  sin   sin 3  .
n = 5:
(cos   i sin  ) 5  cos 5  i sin 5  cos 5   5i cos 4  sin  
 10 cos 3  sin 2   10i cos 2  sin 3   5 cos  sin 4   i sin 5  ,
пользуемся тем, что i  1, i  i, i  1, i  i. Приравнивая
компоненты получим
2
3
4
5
cos 5  cos 5   10 cos 3  sin 2   5 cos  sin 4  ,
sin 5  5 cos 4  sin   10 cos 2  sin 3   sin 5  .
Неудивительно, что комплексные числа нашли широкое применение при описании периодических процессов, например в цепях переменного тока.
РЕШЕНИЕ ПРИМЕРОВ
Пример 1. Запишите z в алгебраической форме, если
(1  i )( 2i  1)  4i  1
z

.
а)
(2i  1)(3  2i )  (1  i ) 2
(1  i )( 2i  1)  4i  1
2  1  2i  i  4i  1
2  7i
z



(2i  1)(3  2i )  (1  i ) 2 4  3  2i  6i  1  1  2i 1  10i
(2  7i )(1  10i) 70  2  20i  7i 72  13i 72 13





i
(1  10i)(1  10i )
1  100
101
101 101 .
21
3  4i 3  4i
z


б)
3  4i 3  4i .
3  4i 3  4i 9  24i  16  (9  24i  16)
z



3  4i 3  4i
9  16
9  24i  16  9  24i  16
48

  i.
25
25
Пример 2. Запишите решения системы
 z1  3z 2  i,
а) 2 z  z  1;
2
 1
 z1  2 z 2  1  i,
б) 3z  iz  2  3i
2
 1
в алгебраической форме.
Решение:

 z1  3z 2  i,
а) 

2 z1  z 2  1;
 z  3 z 2  i,
 1
6 z1  3 z 2  3;
7 z1  3  i;
z1 
3 1
 i;
7 7

2 z1  6 z2  2i,


2 z1  z2  1;
 7 z2  1  2i;
z2 
1 2
 i.
7 7

 z1  2 z2  1  i,
б) 

3z1  iz 2  2  3i
3 z1  6 z2  3  3i,

3 z1  iz 2  2  3i;
(6  i ) z2  1  6i;
22
z2 
(1  6i )(6  i ) 6  36i  i  6 37


i  i;
(6  i )(6  i )
36  1
37
z1  1  i  2 z 2  1  i  2i  1  i.
z1  1  i, z 2  i.
Пример 3. Запишите в тригонометрической форме:




 i sin , б) z  1  i 4 1  3i ,
а) z   cos
12
12
в)

z

6
3 i
i  14 .
Решение:
а)
z   cos

12
 i sin

 
 
 

 1  cos     i sin      
12
12 
12  

 
  11 
 11
 1  cos
  i sin 
 12
  12 
б) так как cos arg 1  i  
1  i 4 
   11 

  11
   1  cos
  i sin 

 12
  12 

 .


1
, то arg 1  i     2k , откуда
4
2
2 cos   8k   i sin    8k  
4
.
 4cos    i sin     4.

1
arg
1

3
i

 2n , откуда
cos
arg
1

3
i

Так как
6
2 , то




1  3i   2 cos   i sin    64,
z  1  i  1  3i   4 * 64  256  256cos   i sin  .
1





cos
arg
3

i


arg
1

i


 2k , откуда
в) Так как
, то
2
6
6
4
6
6
23


z
3 i

6
 2 6 cos   8k   i sin    8k  

 64cos    i sin     64
.
6
3 i
 64

 16.
4

4
i  1
z 2  2i  3z  5  i  0;
2
б) iz  1  i z  4i  7  0.
Пример 4. Решить уравнение: а)
Решение:
а) Данное уравнение является квадратным.
По формуле корней квадратного уравнения имеем:
z
 2i  3 
2i  32  45  i 
3  2i   15  8i
.
2
 15  8i положим
2
Для определения всех значений

 15  8i  x  iy.
Тогда
 15  8i  x 2  y 2  2ixy
и, следовательно, x и y удовлетворяют системе
 x 2  y 2  15,

2 xy  8;
причём x и y действительные числа. Решим систему:
Заметим, что x=0 решением системы не является.
При x  0 получим:
4

y

,

x

 x 2  16  15;

x2
(*)
Решим уравнение (*):
x4+15x2-16=0 – квадратное уравнение относительно x2, откуда
24
 x 2  1,
 x  1. Вернёмся к системе:
 2
 x  16;


 x  1,
 x  1,




y


4
,

 y  4.
Поэтому
3  2i  1  4i  4  6i

 2  3i,
2
2
3  2i   1  4i  2  2i
z2 

 1  i.
2
2
z1 
б) Данное уравнение является квадратным.
По формуле корней квадратного уравнения имеем:
1  i   1  i 2  4i4i  7 
3  2i  16  30i
.
2i
2i
Для определения всех значений 16  30i положим
16  30i  x  iy.
z

Тогда
16  30i  x 2  y 2  2ixy
и, следовательно, x и y удовлетворяют системе
 x 2  y 2  16,

2 xy  30;
причём x и y действительные числа. Решим систему:
Заметим, что x=0 решением системы не является.
При x  0 получим:
15

y

,

x

 x 2  225  16;

x2
(*)
Решим уравнение (*):
x4-16x2-225=0 – квадратное уравнение относительно x2, откуда
25
 x 2  25,
 x  5. Вернёмся к системе:
 2
 x  9;

 x  5,


 y  3,

 x  5,


 y  3.
Поэтому
1  i  3i  5 4i  6

 2  3i,
2i
2i
1  i  3i  5  2i  4
z2 

 1  2i.
2i
2i
z1 
Пример 5. Решить уравнение: а)
z 6  z 3  2  0;
8
4
б) z  2 z  1  0.
Решение:
а) Пусть z   , тогда уравнение примет вид:     2  0 ,
откуда по теореме, обратной теореме Виета получим
3
2
  1,
  2;

Возвращаясь к z, получим
 z  3  1,

 z  3 2 ;
3
1) z   1 . Заметим, что  1  cos   i sin  .
Используя вторую формулу Муавра, получим:
  2 
  2 
z k  cos 
k   i sin  
k , k  0,1, 2.
3
3
3
3




Следовательно,


1
3

i,
3
3 2 2
z1  cos   i sin   1,
z 0  cos
 i sin

5
5
1
3
 i sin
 
i.
3
3
2 2
3
2) z  2 . Заметим, что 2  2cos 2  i sin 2  .
z 2  cos
Используя вторую формулу Муавра, получим:
26
  2 
 2  
z k  3 2  cos
n   i sin 
n  , n  0,1, 2.
3
3



 
Следовательно,
2
2  3

z 0  3 2  cos
 i sin

3
3 

 1
3 
2   
i ,
 2 2 
z1  3 2 cos 0  i sin 0  3 2 ,
4
4  3

z 2  2  cos
 i sin

3
3 

3
 1
3 

2  
i.
 2 2 
б) Преобразуем уравнение:
z

2
 1  0;
z 4  1  0;
z 4  1;
4
z  4  1;
Заметим, что  1  cos   i sin  .
Используя вторую формулу Муавра, получим:
  
  
z k  cos  k   i sin   k , k  0,1, 2, 3.
4 2 
4 2 


1
1
z 0  cos  i sin 

i,
4
4
2
2
3
3
1
1
z1  cos
 i sin


i,
4
4
2
2
5
5
1
1
z 2  cos
 i sin


i,
4
4
2
2
7
7
1
1
z 3  cos
 i sin


i.
4
4
2
2
Пример 6. Решить уравнение: z  z z  z  0.
Решение:
Решим уравнение как квадратное относительно z2:
2
z  4 z  3 z 2 .
2
D=
2
2
27
z
 z  z 3
2
;
Пусть z  a  ib , тогда
z  a 2  b 2 , а уравнение имеет вид
1 i  3
;
2
a
b
1
3
i

i
;
2
2
2
2
2
2
a b
a b
Пусть   3  3cos  2n  i sin   2n ,
a  ib  a 2  b 2
тогда
 



  3 cos  n   i sin   n   ,
2
2





3


3

3
cos
 i sin


2


откуда 
3

 i sin
  3  3  cos
2


a
cos


, sin  
Пусть
2
2
a b

3 
  i 3 ,
2 
3 
  i 3,
2 
b
a2  b2
, тогда
  arg( z ) ,
а значит, получим, что
  2 
 2
z  r  cos 
  i sin  
 3
  3 
 1
3

.
   r    i

2
2



Список литературы
1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. –
М., - 1972. – с. 174 – 207.
2. Гладкий А.В. Числа: натуральные, рациональные, действительные, комплексные: Учебное пособие для общеобразовательной школы. – М.: Вербум-М, 2000. – с. 117 – 139.
3. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П.
Савин. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Педагогика-Пресс, 1997.
с. 121, 144-148, 244, 245, 262, 271, 342.
4. Математика. Энциклопедия для детей. – М.: Аванта+, 1998.
28
– с.202-214.
5. Куринной Г.Ч. Математика: Справочник. – Харьков: Фолио;
Ростов н/Д: Феникс, 1997. – 156-163.
6. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И.
Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. – М.:
Наука, 1987. – 341 – 372.
7. Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Элементы
высшей математики для школьников. – М.: Наука, 1987. –
с.276-293.
29