Как научиться решать задачу № 18 ЕГЭ по математике

Ярмарка инноваций – 2014
Подготовка
к решению задачи №16
ЕГЭ по математике
Разработала:
Яковлева Светлана Юрьевна,
МКОУ «Лодейнопольская средняя общеобразовательная школа №2
с углубленным изучением отдельных предметов»,
учитель математики
г. Лодейное Поле
2014 год
Как научиться решать задачи №16 (С2) ЕГЭ по математике? Этот
вопрос в преддверии экзамена возникает у будущих выпускников все чаще.
Задание №16 Единого государственного экзамена по математике с 2010
года представляет стереометрическую задачу на определение расстояний или
углов в пространстве между объектами, связанными с некоторым
многогранником.
Основные проблемы: неумение строить линейные углы и проекции,
ошибки в определении вида треугольника, непонимание нахождения угла
между прямой и плоскостью, недостаточное представление о расположении
перпендикуляра при нахождении расстояния от точки до прямой. Все
отмеченное указывает на то, что учащиеся испытывают большие трудности
при решении стереометрических задач.
Существует
стереометрии.
несколько
основных
способов
решения
задач
по
Первый – классический («метод построений») - требует отличного
знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и
свести задачу к решению планиметрической задачи. Однако, он не всегда
целесообразен с точки зрения временных и вычислительных затрат. Чтобы
решать задачи этим методом необходимым (но, конечно, не достаточным)
условием является безупречное знание и понимание основных теорем
стереометрии, связанных с взаимным расположением прямых и плоскостей в
пространстве, которые непременно сопровождают решение практически
любой задачи C2, без которых часть баллов за это задание на экзамене может
быть потеряна.
Второй – применение векторов и координат. Это простые формулы,
правила и алгоритмы. Векторно-координатный метод позволяют избежать
такого рода трудностей. От учащегося требуются знания нескольких формул
и навыки в решении простейших задач, основная нагрузка при решении
задачи приходится на вычислительную часть.
Векторно-координатные приемы изучаются в школе в весьма
ограниченном количестве. В учебник «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасяна,
базовый и профильный уровни, М., «Просвещение» 2013, включен целый
параграф «скалярное произведение векторов», отдельно рассматривается
нахождение углов между объектами, и в отличие от ранее изданных
учебников включен пункт 53 «Уравнение плоскости» с рассматриваемой
задачей расстояние от точки до плоскости. Однако набор задач очень мал.
Преимущество
методов
аналитической
геометрии
перед
альтернативным решением средствами дополнительных построений состоит
в том, что удается полностью отстраниться от чертежа и заниматься
исключительно числами (координатами).
Приведем в справочном виде основные из этих теорем.
1. Признак параллельности прямой и плоскости
Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой,
лежащей в данной плоскости, то она параллельна этой плоскости.
2. Признак параллельности плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно
параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости
параллельны.
3. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим
в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
4. Теорема о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной
перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой
наклонной.
Обратная. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной
перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции.
5. Признак перпендикулярности плоскостей
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную
к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
6. Признак скрещивающихся прямых
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая
пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти
прямые скрещиваются.
7. Свойство параллельных плоскостей
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их
пересечения параллельны.
Кроме знания этих теорем вам потребуется умение строить в задачах углы и
расстояния, которые необходимо найти.
1. Задачи на нахождение расстояния от точки до прямой.
Определение. Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой
называется расстоянием от этой точки до прямой.
Для нахождения расстояния от точки до прямой удобно применять
следующее правило.
Правило 1. Чтобы найти расстояние от точки до прямой, достаточно найти
расстояние от прямой, параллельной данной прямой и содержащей данную
точку, до данной прямой.
2. Задачи на нахождение расстояния от точки до плоскости.
В школьном курсе геометрии расстоянием от точки до плоскости называется
длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к плоскости.
При нахождении расстояния от данной точки до плоскости удобно
пользоваться следующими правилами.
Правило 2. Чтобы найти расстояние от данной точки до плоскости,
достаточно найти расстояние от произвольной точки одной из параллельных
плоскостей, содержащей данную точку, до другой плоскости.
Правило 3. Чтобы найти расстояние от данной точки до данной плоскости,
достаточно найти расстояние от произвольной точки прямой, содержащей
данную точку, до параллельной ей данной плоскости.
3. Задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.
Из школьного курса геометрии углом между скрещивающимися прямыми
называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным
скрещивающимся прямым.
Так же можно воспользоваться следующим правилом.
Правило 4. Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми,
достаточно найти угол между пересекающимися прямыми, одна из которых
данная прямая, другая параллельна второй данной прямой.
4. Задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью.
Из школьного курса геометрии углом между прямой и плоскостью,
пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол
между прямой и ее проекцией на плоскость.
В некоторых случаях, чтобы найти угол между прямой и плоскостью, удобно
пользоваться следующими правилами.
Правило 5. Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, достаточно
найти угол между прямой, параллельной данной прямой, и данной
плоскостью.
Правило 6. Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, достаточно
найти угол между прямой и плоскостью, параллельной данной плоскости.
Правило 7. Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, достаточно
найти угол между прямой и плоскостью, параллельным данным прямой и
плоскости.
5. Задачи на нахождение угла между двумя плоскостями.
При решении задач на нахождение угла между двумя плоскостями пользуюсь
следующими правилами.
Правило 8. Чтобы найти угол между двумя плоскостями, достаточно найти
угол между одной из плоскостей и плоскостью, параллельной другой
плоскости.
Правило 9. Чтобы найти угол между двумя данными плоскостями,
достаточно найти угол между плоскостями, параллельными данным
плоскостям.
6. Задачи
прямыми.
на
нахождение
расстояния
между
скрещивающимися
Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью,
проходящей через другую прямую параллельно первой, называется
расстоянием между скрещивающимися прямыми.
При решении некоторых задач на нахождение расстояния между
скрещивающимися прямыми удобно применять следующие эвристические
правила.
Правило 10. Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми,
достаточно найти расстояние между параллельными плоскостями,
содержащими эти скрещивающиеся прямые.
Правило 11. Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми,
достаточно найти длину отрезка прямой, перпендикулярной каждой из
скрещивающихся прямых, с концами отрезка на данных скрещивающихся
прямых.
Система координат в пространстве
Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с
общим началом О и одинаковой масштабной единицей образуют декартову
прямоугольную (кратко - прямоугольную) систему координат в
пространстве. Оси упорядочены, т.е. указано, какая из осей считается первой
(она называется осью абсцисс и обозначается Ох), какая - второй (ось
ординат Оу) и какая - третьей (ось аппликат Oz).
Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную
длину, т.е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих
его точек принимается за начало, а вторая - за конец. Если А - начало вектора

АВ . Вектор можно
и В - его конец, то вектор обозначается символом

обозначать и одной малой латинской буквой с чертой над ней (например, а ).
Изображается вектор отрезком со стрелкой на конце.

Длина вектора АВ называется его модулем и обозначается символом

АВ .




Модуль вектора a обозначается a . Вектор a , для которого a =1 ,
называется единичным.

В пространстве помимо координат точки вводятся координаты вектора. аx; y; z.
Координаты суммы (разности) двух векторов равны суммам (разностям)
соответствующих координат этих векторов


ax1 ; y1 ; z1 ; b x2 ; y2 ; z 2 ;
 
a  b x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z 2 
Как найти координаты вектора? Как и на плоскости: из координаты конца
вычитаем координату начала.
В
А

ABx B  x A ; y B  y A ; z B  z A 
Длина вектора AB в пространстве –– это расстояние между точками A и B.

а  x2  y 2  z 2 
xB  xA 2   yB  y A 2  zB  z A 2
М2(x1;y1;z1)
М1(x1;y1;z1)
М(x;y;z)
Пусть точка М лежит на отрезке М1М2
и делит его в отношении а.
М 1М
а
ММ 2
Координаты точки М определяются формулами:
x  ax2
x 1
1 a
y  ay2
y 1
1 a
z
z1  az 2
1 a
Если точка М является серединой отрезка, то ее координаты равны
полусуммам соответствующих координат концов отрезка.
х
х1  х2
y  y2
z z
; y 1
; z 1 2
2
2
2
Скалярным произведением двух векторов называется
произведение 
длин этих векторов
на косинус угла между ними.
 


a  b  a  b  Cos ab
 
Скалярное произведение двух векторов выражается формулой:
 
a  b  x1  x2  y1  y2  z1  z 2
Угол между векторами можно найти, используя формулу скалярного
произведения векторов:
Cos 
x1  х2  у1  у2  z1  z 2
x12  y12  z12  x22  y22  z 22
Плоскость в пространстве задается уравнением Ax + By + Cz + D = 0.
Числа А, В, С – координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его
называют нормалью к плоскости.
Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки,
принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не
лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение
плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их
по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.
Занятие 1. Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, опущенного из
точки на эту прямую.
В практических задачах мы сначала будем искать плоскость, которую
определяют прямая и точка.
Затем, в определенной плоскости строить перпендикуляр из точки на
заданную прямую.
А
Н
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки В до
прямой А1С.
1 способ
Из  ABA1 :
Из  KBA1 :
А1
С1
2
2
2
2
2
BA1  AB  AA1 ; BA1  KB  KA1 ;
BA1  12  12 ;
2
В1
1
1 BA12  2;
2
7
2
BA1   2 ;
N
BA1 
2
2.
С
А
1
K
1
В
Чтобы найти высоту BN, выразим
два раза площадь равнобедренного
треугольника BCA1.
 2
1
2
    KA1 ;
2
 
1
2
KA1  2  ;
4
3
KA1   1 ;
4
2
KA1 
1
BC  A1 K
2
1
 A1C  BN
2
S BCA1 
S BCA1
2
2
7
.
2
Чтобы найти высоту BN, выразим два
раза площадь треугольника BCA1.
А1
С1
S BCA1
В1
1
1
2
2
7
2
S BCA1
N
С
А
1
K
1
В
1
1
BC  A1 K ; S BCA1  A1C  BN
2
2
7
1
1
7
  2  BN ;
  1
;
4
2
2
2
7
2
7

 BN ;

.
4
2
4
7
2
BN 
:
;
4
2
7 2
BN 

;
4
2
7 2 .
BN 
2 2 2
S BCA1 
BN 
2 способ
А1С  А1 В 
ВС  1
А1
Найдем косинус острого угла С
равнобедренного треугольника
BCA1 по теореме косинусов:
2
С1
А1 В 2  А1С 2  ВС 2  2  А1С  ВС  CosC
2  2  1  2  2  1  CosC
В1
1
CosC 
1
2
N
2
С
А
Sin 2 C  Cos 2 C  1
2
В
Используя определение синуса острого
угла прямоугольного треугольника,
найдем BN из треугольника BNC:
BN
;
BC
14
BN

;
4
1
1
2
; CosC 
4
2 2
Используя основное тригонометрическое
тождество, найдем синус острого угла С
равнобедренного треугольника BCA1:
1
SinC 
14
4
BN 
14
4
 1 
Sin 2 C  
 1
2 2 
7
Sin 2 C 
8
14
Sin C 
4
Занятия 2 -3. Расстояние от точки до плоскости.
На первом занятии рассматриваются задачи, решаемые с помощью
«метода построений». На втором - с помощью метода координат.
Решение данной задачи позволяет решать задачи о нахождении
расстояния между параллельными плоскостями, между параллельными
прямой и плоскостью, между скрещивающимися прямыми. Поэтому
необходимо подробнее остановиться на отработке учащимися навыков
решения задач о нахождении расстояния от точки до плоскости.
Расстояние от точки до плоскости –
длина перпендикуляра AH.
А
На практике порой опустить перпендикуляр из
заданной точки на плоскость не просто...

Н
Искомое расстояние от
точки А до плоскости
равно расстоянию от
параллельной
прямой
до плоскости.
N
Н
a
B
А

Можно построить вторую плоскость  ,
параллельную данной плоскости. И
опустить перпендикуляр из любой точки
плоскости  на плоскость  . BN = AH
Можно построить прямую,
параллельную плоскости.
И опустить перпендикуляр
из любой точки прямой на
плоскость. BN = AH
А

Н
Искомое расстояние от точки А до плоскости
равно расстоянию между параллельными плоскостями.
(метод параллельных плоскостей)
B

N
Расстояние от точки М  x0 ; y0 ; z0  до плоскости  ,
заданной уравнением ax  by  cz  d  0 , можно
вычислить по формуле
 M ;  
ax0  by0  cz0  d
a 2  b2  c2
Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является
равнобедренный треугольник ABC, AB = АC = 5, BC = 6.
Высота призмы равна 3. Найдите расстояние от середины
ребра B1C1 до плоскости BCA1.
N
NK – искомое расстояние
С1
А1
4
3
4
N
K
3
В1
С
5
А
3
5
D
В
6
А1
K
5
5
1
S AND   4  3  6
2
1
S AND   AD  NK
2
1
6   5  NK
2
NK  2,4
D
В правильной треугольной пирамиде SABC точка S – вершина.
Точка M – середина ребра SA, точка K – середина ребра SB.
Найти расстояние от вершины A до плоскости CMK, если
SC = 6, AB = 4.
Построим плоскость СМК
z
Решим задачу методом координат:
S
Введем систему координат с началом в точке А.

A0;0;0  В 2;2 3 ;0
y
М
К
Координаты вершины
B

 4 3 23 
3 23 
М  1; ;
;
 К  2;

3
3 
3 
 3

4
C
Координаты середины отрезка
x
z
Напишем уравнение плоскости СМК:
S
y
М
К
66
A
B
Уравнение плоскости

4a  0b  0c  d  0;


3
23

b
c  d  0;
1a 
3
3


4 3
23
2 a 
b
c  d  0;

3
3

Решив систему, получим:
a  - 3 ; b  1; c  
4
C
С 4;0;0 
 2 3 2 23 

S  2;
;

3
3


6
A

x
d
10
; d 4 3
23
 10 
0 (  3 )  0 1  0   
4 3
23 

Занятия 4 -6. Угол между прямыми.
 10 
(  3 )2 12  

23 

2

23
2
Угол между скрещивающимися прямыми
b
n
a


m
М
а b
Через произвольную точку М1 проведем прямые m и n,
Соответственно параллельные прямым а и b.
Угол между скрещивающимися прямыми равен  .
На четвертом занятии рассматриваются задачи, решаемые с помощью
«метода построений». Модель – куб. На пятом и шестом - с помощью метода
координат. Модели – призмы и пирамиды.
На ребре СС1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка Е так, что
СЕ : ЕС1 = 1 : 2. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС1.
Из  ADK
AK 2  AD 2  DK
2
В кубе d 2  3a 2
;
2
1
AK 2  12    ;
3
1
AK 2  1 ;
9
10
AK  
;
9
AK 
С1 А2  3 12 ;
С1 А2  3;
10
.
3
С1 А   3;
C1
D1
1
13
3
B1
A1
E
C
1
B
3

A
10
3
1
С1 А  3.
Из  KC1 D1
C1 K 2  C1 D1  D1 K 2 ;
2
2
2
C1 K 2  12    ;
3
2
3
4
2
C1 K  1 ;
2
2
2
9
С1K  AK  C1 A  2 AK  C1 A  cos 
13
;
K 13  3  10  2 30  cos  ; C1 K  
9
9
9
3
1
13
3
C1 K 
.
3
D
cos  
2 30
15
Ответ :
  arccos
Если в кубе не дано ребро, то можно обозначить его буквой или взять за «1»
2 30
15
Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды
PABCD равны между собой. Найдите угол между прямыми РО
и ВМ, если отрезок РО - высота пирамиды, точка М - середина
ее бокового ребра АР. Введем прямоугольную систему координат
z
с началом в точке О.
P
Занятие 6
P
2
2
1
M
A
A
B
O
PO 
D
C
 1 1 
O0;0;0  B  ; ;0 
 2 2 

2

P 0;0;

2


M
 1 1 
A  ; ;0 
 2 2 
М  середина отрезка
 1 1
2

М   ; ;

 4 4 4 
Найдем координаты векторов
A
B
y
O
D
C
x
  arccos
6
6
cos  
Теория по координатному методу
1
1

2
2
Найдем координаты
точек О, В, Р, М.
x
P
1 
y
2
z
O
2
2
ВМ и ОР
1 3 2 

2
ВМ  ; ;
 OP 0 ;0 ;

2 
4 4 4 

Обозначим   угол между прямыми
ВМ и РО.
1
2 2
 3
0     0 

4
4 2
 4
2
2
2
 2
 1   3   2 

 0 2  0 2  
      


4  4  4 
 2 
Занятия 7 -9. Угол между прямой и плоскостью.
2
Угол между наклонной и плоскостью
равен углу между наклонной и ее проекцией.
 ABH
X
А
Проекция точки В на плоскость  это сама точка В, т.к. она лежит в
плоскости.
я
н-
B
п-я
Н
N
Проекция точки А на плоскость  - это точка А.
Если из заданной точки опустить перпендикуляр
невозможно, то можно его опустить из любой другой
точки наклонной на плоскость.
На седьмом занятии рассматриваются задачи, решаемые с помощью «метода
построений». Модель – куб. На восьмом и девятом - с помощью метода
координат. Модели – призмы и пирамиды.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите
угол между прямой AB1 и плоскостью AA1C, если AA1 = 3,
A1B1 = 4, B1C1 = 6.
В1
Угол между наклонной и плоскостью – это угол
между наклонной и её проекцией на эту плоскость..
6
N
D1
A1
ия
проекц
C
B1
12
13
онна
я
C1
A1C1  62  42  52
накл
12 

B
A
4
N
А1
52
1
 6  4  12
Из  ANB1 :
2
NB1
1
sin  
  C1 A1  B1 N
AB1
2
S C1B1 A1 
SC1B1 A1
5
4
D
3
С1
6
12 5
12
1
: 
 52  B1 N sin  
13 1 5 13
2
B1 N 
12
13
  arcsin
12 13
65
Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью
скалярного произведения векторов:
Пусть a - вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), n - нормаль к
плоскости α..
 
аn
Sin     
а  n
x1 x2  y1 y2  z1 z2
x12  y12  z12 
x22  y22  z22
Точка М – середина стороны ВС основания АСВ правильной
призмы АВСА1В1С1. Боковое ребро призмы равно 39 , а
сторона основания равна 12. Найти синус угла между прямой
В1М и плоскостью боковой грани ABB1A1.
Пусть   В1М ;  АВВ1 
z
C1
B1
Введем прямоугольную систему координат
с началом в точке С.
A1
y
39

С  0 ;0 ;0  В 6 ;6 3 ;0

B1 6 ;6 3 ; 39




М 3;3 3 ;0
B1 М  3;3 3 ; 39
M
C
12
А 12;0 ;0
A

x
12 a  0b  0 c  d  0 ;

6 a  6 3b  39 c  d  0 ;

6 a  6 3b  0 c  d  0 ;
3
5
В 6 ;6 3 ;0
Решив систему, получим:


3
p  1;
;0 
3



 3

3
; c  0; d  12
3
a  1; b 

 3 1   3 3 
2


Теория по координатному методу
12 a  d  0;

6a  6 3b  39 c  d  0 ;

6a  6 3b  d  0
sin  


В1 6 ;6 3 ; 39
Вспомогательная задача 1

B1 M  p
Sin  
 
B1 M  p

Найдем координаты нормали р к плоскости
АВВ1. Точки А, В и В1 принадлежат
плоскости, а, значит, их координаты
удовлетворяют уравнению плоскости:
B
12

 
2


3
  39  0
3
  3 3   39

2
2
 3
  02
 1  

3


2
Занятие 9
Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды
PABCD c вершиной P равны между собой. Найдите угол между
прямой BM и плоскостью BDP, если точка M ― середина
бокового ребра пирамиды AP.
Пусть   ВМ ; BDP 
P z
Из  АОР :
Из

ABC
:
2 2 ;
1 1 
 1 1 АР
 2  АО 2  ОР

В AC
; 2;0ABА2  BC
;2 ; ;0  Р 0;02 ;
2 
2 2 
2 2 
1
2
1
2
D
2
2
A
 2 

  ОР 2 ;
12  

 2 отрезка

Найдем координаты середины
АР:
AC  2 .
2
2
 1 1 ОР
2   4;

М  ; ;
C

 4 4 4ОР 2 .
2
AC 2  12  12 ;
1
M
x
O
1
Введем прямоугольную систему координат с
началом в точке О – точке пересечения
диагоналей основания.
y
B
 1 3 2 
ВМ   ; ;

 4 4 4 
Если не дано ребро, то можно обозначить его буквой или взять за «1»
Найдем координаты нормали р к плоскости BDP. Точки B, D и P
принадлежат плоскости, а, значит, их координаты удовлетворяют уравнению
плоскости:

1 
2 
 1 1 
 1

B ; ;0  D  ; ;0  P 0 ;0 ;

2 
2
 2 2 
 2


1
1
Решив систему, получим:
 2 a  2 b  0c  d  0;

a  1; b  -1; c  0; d  0
1
 1
 a  b  0 c  d  0 ;

2
р 1;1;0
 2

2
c  d  0;
0 a  0b 
2

1
3
2


BM  p
Sin  

BM  p



  1       1 
0
4
4
 4
2
2
2
 1   3   2 
2
 12   1  0 2
      

 4  4  4 
6
6
  arcsin
Sin  
Теория по координатному методу
6
6
Занятия 10 -12. Угол между двумя плоскостями.
На 10 занятии рассматриваются задачи, решаемые с помощью «метода
построений». Модель – куб, четырехугольная призма. На 11 и 12 - с
помощью метода координат. Модели – призмы и пирамиды.
Линейный угол двугранного угла:
ребро двугранного угла –
это линия пересечения
плоскостей (граней
двугранного угла).
О

Выбрать на этой прямой точку и провести к
ней два перпендикуляра, лежащих в этих
плоскостях. Или провести плоскость,
перпендикулярную линии пересечения
плоскостей.

В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F середины ребер соответственно
A1B1 и A1D1. Найти тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
Плоскость DBB1 D1  плоскости FEKL.
 AEF ; DBB1 D1    AEF ; FEKL
D1
C1
F
О E
A1
D
L
A
450
АРК :
cos 450 
B1
C
P
АОР - линейный угол
двугранного угла AFEK
AP
;
AK
tgAOP 
AP
;
OP
2 AP

;
1
2
2
tgAOP 
2
: 1;
4
2
.
4
tgAOP 
2
.
4
AP 
a
K
АОР :
B
Если в кубе не дано ребро, то можно обозначить его буквой или взять за «1»
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим
плоскостям:
 
mn
Cos ;      
mn
x1  x2  y1  y2  z1  z2
x12  y12  z12 
x22  y22  z22
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна √7,
а сторона основания равна 6. Найдите угол между плоскостями,
содержащими две соседние боковые грани этой пирамиды.
Пусть    АPD; DPC 
P z
Введем прямоугольную систему координат с
началом в точке О – точке пересечения
диагоналей основания.
Найдем координаты нормали m к плоскости APD.
Точки A, P и D принадлежат плоскости, а, значит,
их координаты удовлетворяют уравнению плоскости:

A 3;-3;0 ; P 0;0; 7
D
C
Решив систему, получим:
y
6
3
; d 3
7
a  0; b  1; c  -
О
x
D  3;3;0 
3a  3b  0 c  d  0 ;

0 a  0b  7 c  d  0 ;
 3a  3b  0 c  d  0 ;

√7
A


3 
m  0;1;
7 

B
Найдем координаты нормали m к плоскости DPC. Точки D, P и C
принадлежат плоскости, а, значит, их координаты удовлетворяют
уравнению плоскости: D  3;3;0 ; P 0 ;0 ; 7
С   3;3;0 

P z

 3a  3b  0 c  d  0 ;

0 a  0b  7 c  d  0 ;
 3a  3b  0 c  d  0 ;


3 
n  1;0;
7 

О
y
A
x
6
B
c-
3
; d 3
7
2
 3 
 3 
0 1  
  12  0 2   

7
7


C
9

16
2
D
a  1; b  0;
 3   3 
0 1  10   


7 
7

Cos 
√7
Решив систему, получим:
2

2
  arccos
9
16
Занятие 13. Расстояние между скрещивающимися прямыми
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине отрезка их
общего перпендикуляра.
Задачу данного вида можно свести к задаче о вычислении расстояния
от точки до плоскости, поэтому можно применить формулу расстояния от
точки до плоскости, применяя координатный метод.
В пирамиде DABC известны длины ребер АВ=ВС=DA=DC=13 см,
DB = 8, AC = 24. Найдите расстояние между прямыми DB и АС.
Построим плоскость, перпендикулярную прямой АС.
 АВС и ADC – равнобедренные, значит, высота является и медианой.
Спроектируем на плоскость BDN обе прямые.
АC спроектируется в точку N, а прямая BD в
прямую BD, т.к. она лежит в плоскости
проекции.
D
K
8
13
A
B
13
24
N
Расстояние от проекции одной
прямой до проекции другой прямой и
будет равно длине общего
перпендикуляра, т.е искомому
расстоянию.
Кстати в этой задаче получился
именно общий перпендикуляр.
NK – искомое расстояние.
13
C
Из  BCN :
BC 2  CN 2  BN 2 ;
132  12 2  BN 2 ;
BN 2  169  144;
BN   25 ;
D
BN  5.
K
13
5
A
8
 BCN   DCN
4
3
B
13
по гипотенузе 13 и катету 12
тогда
BN  DN  5.
5
N
24
12
13
C
В равнобедренном треугольнике высота
будет и медианой.
Треугольник BKN – египетский.
Ответ: KN = 3.
Источники:
1. Атанасян Л.С.и др. Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразоват.
учреждений: базовый и профил. уровни.- 17 – е изд.- М. : Просвещение, 2008.
2. Беликова И. Задание С2: Решаем методом координат // Математика, 2010,
№ 20.
3. Смирнов В.А. ЕГЭ-2011. Математика. Задача С2. Геометрия.
Стереометрия / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2011.
4. Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы: пособие. — 2-е изд.,
испр. и доп. — М.: БИНОМ, 2003.
5. http://ege-ok.ru/
6. http://nsportal.ru/
7. http://gym1.ucoz.ru/
8. http://kopilkaurokov.ru/
9. http://alexlarin.net/
10. http://reshuege.ru/
11. И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. Геометрия. Расстояния и углы в
пространстве. – М.: Экзамен, 2009 (Серия «ЕГЭ. сто баллов»).
12. И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. Геометрия. Объемы и площади
поверхностей пространственных фигур. – М.: Экзамен, 2009 (Серия «ЕГЭ.
сто баллов»).
13. В.А. Смирнов. Геометрия. Стереометрия: Пособие для подготовки к ЕГЭ /
Под редакцией И.В. Ященко и А.В. Семенова. – М.: МЦНМО, 2009.