Методическая разработка «Методы решения показательных и логарифмических уравнений »

Методическая разработка
«Методы решения показательных и
логарифмических уравнений »
для организации уроков повторения и подготовки к
ЕГЭ в 11 классе
Глава 1.
При подготовке и сдаче ЕГЭ по математике возникает необходимость
систематизации знаний учащихся. Показательные и логарифмические
уравнения входят единый и государственный экзамен, причем с решением
логарифмических уравнений учащиеся справляются хуже, чем с решением
показательных. Цель этой работы повторить и систематизировать знания ,
умения и навыки учащихся при решении показательных и логарифмических
уравнений.
Показательные уравнения
Простейшее показательное уравнение- уравнение вида à x  b, a  0, a  1 ,
т.е. уравнение, в которых переменная содержится в показателе степени
некоторого числа или алгебраического выражения.
Основными методами решения показательных уравнений являются
методы группировки, разложения на множители и замены переменной.
Простейшее показательное уравнение при b  1 не имеет корней и
имеет единственный корень x = log a b при b>0, если b является степенью
числа а, т.е. b= a c ,то уравнение (1) имеет единственный корень х=с .
Уравнение вида a f ( x )  a g ( x ) , a>0,a  1 равносильно уравнению f(х)=g(x)
Уравнение вида a f ( x )  b g ( x ) , a>0,a  1,b>0, равносильно каждому из
уравнений a f ( x )  a g ( x ) log b , f(х)=g(x) log a b .
a
Уравнения, непосредственно сводимые к простейшим
1
Пример 1. Решить уравнение.  
 32 
1
Решение.  
 32 
0.1 õ1
 16,  25 
0,1 õ1
0,1 x1
 16 .
 24 , 0,5 õ  5  4, 0,5 õ  1, õ  2
Ответ:2.
6x
315
Пример 2.Решить уравнение 15  122 x .
2
6
õ2
15
2
2
6
3
Решение. 15  122 õ ;6 õ *6122 õ  215 *315 ;6 õ 122 õ  615 ;
2
6
2
2
õ  12  2 õ  15; õ  12 õ  3  0; õ1  3; õ2  9 . Ответ:3;9.
2
Пример 3.Решить уравнение 27
x 1
 9x1
 32 x 1 ;33
x 1

Решение. 27
x 1
 9 x 1 ;33
x 1
3  ;3
x 1 2
3 x 1
 3x 1 ;3 x  1  x  1 ;
9( x  1)  x 2  2 x  1; x 2  7 x  10  0; x1  2; x2  5; x  1  0; 2  1  0âåðí î ;5  1  0âåðí î
Ответ:2;5.
2
Вынесение общего множителя за скобки
Этот метод применяют при решении уравнений вида
ð * à f  x   q * a f  x b  r  0 и сводимых к ним. После вынесения общего
множителя за скобки приходим к уравнению a f  x   p  q * ab   r  0 , откуда
a f  x  
r
p  q * ab
Пример 4.Решить уравнение. 4 x 1  22 x 2  60 .
Решение.
4 x 1  22 x 2  60; 4 x 1  4 x 1  60; 4 x 1  42  1  60; 4 x 1  4; x  1  1; x  2 .
Ответ:2.
Группировка и разложение на множители
Основная идея решения задач этого типа отражена в названии: после
группировки и вынесения общих множителей обычно удается привести к
виду f  x  * g  x   0 , а последнее уравнение- к одному или двум простейшим
показательным уравнениям.
Пример 5. Решить уравнение: x *2x  3  3*2 x  x;
Решение.
Перенесем выражение из правой части уравнения в левую и
сгруппируем слагаемые:  x * 2 x  3* 2 x    x  3  0 . Вынесем за скобку общий
множитель: 2x  x  3   x  3  0 ;  x  3  2 x  1  0 , откуда х-3=0 или 2 x -1=0,
значит х=3 или х=0. Ответ: 0;3.
Пример 6. Решить уравнение: x *3 x  3x  3 x  x *3 x  0 .
Решение. x *3 x  3x  3 x  x *3 x  0  x  3 x  3  x  3 x  3  0;
 x  0,
 x  0,
 x  0,

 x
 x
 x  1,
  x  1,
x

  3  3 x  x  0   3  3  0,   3  3,   
 x  0.


  x  0,
x

x

0
x

x




  x  1



Ответ:0;1.
Замена переменной
Большинство показательных уравнений, в которых используется замена
переменной, сводится после этой замены к квадратному уравнению. Найдя
корни квадратного уравнения и выполнив обратную замену, получаем одно
или два простейших показательных уравнения. Уравнение a * l 2 x  b * l x  c  0
сводится к квадратному уравнению заменой t  l x , t >0.
3
Для решения однородного уравнения вида p * a 2 x  q *  ab   r * b 2 x  0
нужно обе его части разделить на b 2 x ( по свойству показательной
функции b 2 x  0 ни при каких х ). После деления получим уравнение
x
2x
x
x
a
a
a
p *    q *    r  0 , которое заменой t    , t >0, сводится к квадратному
b
b
b
уравнению относительно y.
Пример 7. Решить уравнение: 4  3
x
x
1
2
3
x
1
2
 22 x 1 ;
1
2
Решение: Пусть x   t , тогда уравнение примет вид 2* 4t  3t  3*3t  4t
t
3
4 4
2* 4  3  3*3  4  3* 4  4*3      t  1  x  .
2
3 3
t
t
t
t
t
t
Ответ: 1,5.

1
x

1
x
Пример 8. Решить уравнение: 3*4  2*9  5*6

1
x
(1).
t
t
1
Решение: Пусть t   , тогда уравнение примет вид 3*4t  2*9  5*6
x
t
(2); разделив обе части уравнения на 9 , получим уравнение
2x
2
2
3*    2  5*  
3
3
t
t
2
(3), равносильное уравнению(2). Обозначим   =у,
3
 
2
3
получим уравнение 3у²-5у+2=0, откуда y1  1, y2  , уравнение (3)
t
t
2
2
2
равносильно совокупности уравнений   =1,   = , откуда t1  0, t2  1.
3
3
3
1
=0. Это уравнение не имеет корней.
x
1
Если t=1, то - =1, откуда х=-1.
x
Если t=0, то -
Ответ: -1.
Пример 9. 210 x 8 x23  25 x 4 x12  3  0 .
2
2
Решение: 210 x 8 x23  25 x 4 x12  3  0   22 
2
5 x2  4 x 121
2
 25 x
2
 4 x 12
 3  0 ; 25 x
2
 4 x 12
=t,
t>0, E  a m    0;   D=1+4*2*3=25,
3
1  25
3
; t1   ; t2  1 ;  не удовлетворяет условию
2
4
2
2
D
 4  60  64 ; x1  0, 6; x2  2 .
25 x 4 x12 =1; 5х²-4ч-12=0,
4
 2t 2  t  3  0 ;  t1;2 
t>0.
Ответ: -0,6;2.
Пример 10. Найти произведение корней уравнения
2(log x )
5
 6*5( log x )  5  0 .
Пусть 5(log x ) =t , получим t²-6t+5=0, t1  1; t2  5 , исходное уравнение
равносильно совокупности уравнений 5(log x ) =1 или 5(log x ) =5,
2
3
3
2
3
2
3
2
3
4
(log 3 x) 2  0
(log 3 x) 2  1
1
x1  ; x2  3
3
x3  1
1
3
Произведение корней равно 1* *3=1.
Ответ: 1.
Пример 11. Решить уравнение:


3
3 8
 
x

3
3 8
  6.
x
Решение. Воспользуемся равенством  3  8  3  8   1 и заменим
3

x
3  8 =t.
1
t
Получим уравнение t   6 или t 2  6t  1  0 , откуда t1  3  8; t2  3  8 .
Данное уравнение равносильно совокупности уравнений

3
3 8
3 8 
  3
x

3
3 8
  3
x
8 (1),
8 (2) Из (1) уравнения x1  3 , из (2)- учитывая
1
.получим x2  3 .
3 8
Ответ:-3;3.
Пример 12. Решить уравнение: 4 x  6*9 x  5*6 x .
Решение. 9 x  0 при любом х Разделим обе части уравнения на 9 x  0 ,
получим
2x
x
2
2
   5    6  0 , равносильное данному уравнению. Пусть
3
3
x
2
t    ,t  0;
3
t 2  5t  6  0 имеет два корня t1  2, t2  3 , выполнив обратную замену,
x
x
2
2
получим    2, x  log 2 2 или    3, x  log 2 3 .
3
3
3
3
Ответ: log 2 2;log 2 3 .
3
3
Применение свойств функций
Пример13. Решить уравнение: 4 x  5x  41 .
Решение. Число х=2 является корнем уравнения. Докажем, что
уравнение не имеет других корней. Функция f(x)= 4 x  5 x является
возрастающей. Поэтому f(x)< f(2)=41 при х<2 и f(x)>f(2) при х>2, т.е.
функция f(x) не принимает значение, равное 41, при х  2. Это означает. Что
х=2 –единственный корень уравнения.
Ответ: 2.
5
Пример 14. Решить уравнение: 5* x log 2  2log x  24 .
Решение. Заметим, что xlog 2  2log x (*) Равенство является верным при
всех х>0, так как логарифмы по основанию 3 его левой и правой частей
совпадают. Используя равенство (*)
получим 5* 2log x  2log x  24  6* 2log x  24  2log x  4  log 3 x  2  x  9 .
Ответ:9.
3
3
3
3
3
3
3
3
Пример 15. Решить уравнение: 4 x  5x  9 x .
Решение. Число х=1 является корнем уравнения. Докажем, что
уравнение не имеет других корней. Разделим обе части уравнения на
x
x
4 5
9 x :Получим       1
9 9
Функция f(x)= 4 x  5 x является монотонно
убывающей( как сумма двух монотонно убывающих функций), поэтому
каждое свое значение она принимает только один раз. Так как f(1)=1, то х=1
x
x
4
5
–единственный корень уравнения       1 , а значит и данного
9 9
уравнения.
Ответ:1.
Пример 16. Решить уравнение: 2 x 1  x  2.
2
Решение. Так как x 2  1  1 , значит 2x 1  2 , а |x |  0 при всех значениях
переменной. Получим, что левая часть уравнения не меньше 2. Знак
равенства возможен. Только, если каждое слагаемое левой части принимает
2
2 x 1  2,
 x  0.
свое наименьшее значение. откуда 
x

0

2
Ответ:0.
Пример 17. Решить уравнение: 4log
Решение.
4
log 4  2 x 1
4
 2 x 1
 x 2  3x  5
1

x


,
1


2 x  1  0,
2
x   ,

2
 x  3x  5  


 x  2.
2
2
x  3,
2 x  1  x  3x  5
 x2  x  6  0


  x  2
Ответ: 2.
Глава 2
Логарифмические уравнения
Простейшее логарифмическое уравнение- уравнение вида log a x  b, где
a>0, a  1, b имеет единственный корень x  a b .
Методы решения - равносильные преобразования, переход к
уравнению-следствию, разложение на множители, замена переменной,
применение свойств функций. Решение большинства логарифмических
уравнений после преобразований сводится к решению логарифмических
6
уравнения
вида
  f  x   g  x  ,
 f  x   g  x  , 
log a f  x   log a g  x    
èëè 
;
  f  x  0

g
x

0






 f  x   (h  x )b ,

; log a f  x   b  f  x   ab . .
log h x  f  x   b  h  x   0,

h  x   1
Пример 1. Укажите наибольший корень уравнения log 5  x2  7 x  35  2.
Решение. По определению логарифма получаем
 x  12,
12-наибольший корень.
x 2  7 x  35  52  x 2  7 x  60  0  
 x  5
Ответ:12.
Пример 2. Решить уравнение: log 16 x5  log 4 x3  log 2 x  3.
Решение.
log 16 x5  log 4 x3  log 2 x  3.
log 2 x
log 2 x
5
3
3
5
3
 log 2 x  3  log 2 x  log 2 x   3 
log 216
log 2 4
4
2
2
1
1
5 3 
 x .
   1 log 2 x  3  log 2 x  log
16
2 16
4 2 
1
Ответ: .
16
Пример 3. Решить уравнение: log 2 5 x  5  log 4 x log 3 x  7 log 2 2 x  0
Решение.

5
7 
log 2 5 x  5  log 4 x log 3 x  7 log 2 2 x  0  log 2 5 x 1 

  0 , так как
2
 log 4 x log 3 x log 5 x 
каждое слагаемое суммы, заключенной в скобки, положительно, то сумма не
равна 0. Поэтому уравнение равносильно уравнению log 2 5 x  0 , имеющему
единственный корень х=1.
Ответ:1.
Алгебраические преобразования
Применение свойств логарифма и основного логарифмического
тождества.
a>0, a  1, x, y >0
x
 log a x  log a y , 2. log a  xy   log a x  log a y , 3. log a x k  k log a x ,
y
a
1
k
log c b
, c  0, c  1 .
4. log ak x  log a x , 5. log an x k  log a x , n  0 6. log a b 
k
n
log c a
1. log
7
7. alog b  b, b  0
Пример 4. Решить уравнение: log 3 x  log 3 3x  2  log 35 .
Решение.
a
  x  1,


3x 2  2 x  5  0,
 x  3x  2   5,
 x  5


5
log 3 x  log 3  3x  2   log 3 5   x  0,
  x  0,
 
3  x
3.
3x  2  0;


2
2

x  ;
x  ;
3

3

2
Ответ: 1 .
3
Пример 5: Укажите наименьший целый корень уравнения
 x  2
log  x2  15
 15.
Решение.
К уравнению можно применить основное логарифмическое тождество
 x  2  0,
 x  2,
наименьшим целым

x  2  1
x  3
при выполнении необходимых условий 
корнем будет 4.
Ответ:4.
log
Пример 6: Укажите целое решение уравнения  x  2 
Решение. Заменим 5
5   x  2
5
 x  2
5.
log  x2  5
 x  2  0,

log x  2
log
5
получим уравнение  x  2  5     x  2   x2   x  2  1
log x  2  log


 x  2 5
5











 x  2,
x

2,
x

2,

 x  2,




 x  3
  x  3,
  x  3,
 x  3

 x  2  5,
 x  7,

1
  log 5  x  2   1


log 5  x  2  


log
x

2


 log  x  2   1



1
1
5


5

 x  2  5 ;
 x  2 5 .


 x  7,

, целое х=7. Ответ:7.
x  2 1
5

Пример 7. Решить уравнение: 5lg x  50  10lg5  .
lg x
Решение.
5lg x  50  10lg5 
lg x
 5lg x  50  5lg x  2*5lg x  50  5lg x  25  lg x  2  x  100 .
Ответ:100.
8
Пример 8. Решить уравнение: log 2 10  x2   log 2 1  x   1 .
Решение.
10  x 2  1  x  * 2,

log 10  x 2   log 2 1  x   1  log 10  x 2   log 2 1  x   log 2 2  1  x  0,

2
2
10  x 2  0

2
 x  2 x  8  0,
  x  4,


   x  2,
 x2.
 x  1,


1  x  10
 10  x  10
Ответ:2.
Пример 9. Решить уравнение: log 5  x2  12   0,5log 1 x2  0
5
Решение. По свойствам логарифмов запишем уравнение в виде
log  x2 12  log 5| x | 0 , откуда
5
  x  3,
2

x

12

x
,

 x  4,

log  x 2  12   log 5 | x | 0  
   x  4,  x  4  
5
x  0
 x  4.


x

0

Ответ:-4;4.
Пример 10. Решить уравнение: log 2011  2 x3  x2  x  48  log 2011  2 x3  3x  3 .
Решение.
log
2011
 2 x3  x2  x  48  log
2 x3  x 2  x  48  2 x3  3 x  3,
3
2
x

3
x

3



 2 x3  3x  3  0
2011

  x  5,
 x 2  4 x  45  0,

  x  9,
 x  9.
 3
2 x  3x  3  0
 3
2 x  3x  3  0
Ответ: 9.
Пример 11. Решить уравнение:
9 2


log log log
  7 x  6   x  x  56   0 Решение.
8
9

7 x6 
9 2


log log log
  7 x  6   x  x  56   0 
8
9

7 x6 
9
9
9




log log
7 x  6  x2  x  56   1  log
7 x  6  x2  x  56   9




9


7 x6 
7 x6 
  x  7,


2
 x  x  56  0,
 7 x  6 9  x 2  x  56   7 x  6 9 ,
  x  8,


6
6


 x   ,
 x   ,  x  8 .
 7 x  6  0,
7
7
7 x  6  1


5
5



 x   7
x   7

Ответ:8.
Пример 12. Укажите наименьший корень уравнения
log 2  2 x 1  4log 2  2 x 1  0 .
3
1
2
Решение. Область определения данного уравнения:2х-1>0; x> .
 2 x  1  4 log 2  2 x  1  0;
log 2  2 x  1 *  log 2 2  2 x  1  4   0;
log 2  2 x  1  0
log 3
2
2x 1  0
1
x
2
или log2 2  2 x 1  4  0
log 2  2 x 1  2 или log 2  2 x 1  2
2x 1  4
5
x
2
2 x  1  2 2
1
2x 1 
4
7
x
8
Все найденные корни входят в область определения. Наименьший
7
8
корень x  . Ответ:
7
.
8
Замена переменной
Пример 13. Решить уравнение: 2lg 2 x  5lg x  7  0
Решение. Пусть lg x  t , тогда получим уравнение 2t 2  5t  7  0 ;
7
lg x 
59
5  9 7 lg x  1
 1; x2 
 ;
D  25  (56)  81, x1 
или
2
4
4
2 x  0,1
x  1000 10
Ответ:0,1; 1000 10 .
Пример 14. Решить уравнение: log x  2  3log x 3 .
3
10
1
3
3
; log 3 x  t; t  2  ;
Решение. log x 3 
; log x  2 
3
t
log x
log x
3
3
1
t 2  2t  3  0; t  0; t  1; t  3. log 3 x  1 ; x  . log 3 x  3; х=27.
3
1
Ответ: 27; .
3
Отбор корней в логарифмических уравнениях
Пример 15. Решить уравнение: log 6  4  x   2 log 6  2 x  1  4 log 6 3 .
Решение.
2
4  x  0,

log 6  4  x   2 log 6  2 x  1  4 log 6 3  2 x  1  0

2 log 4  x  2 log 2 x  1  4 log 3


6
6
6

2

 4  x *  2 x  1  9,

log 6  4  x *  2 x  1   log 6 9  4  x *  2 x  1  9   x  4,

1
x  .

2
Если х>4, то |4-x|=4-x|, (x-4)(2x-1)=9  2x²-9x-5=0; D=121; x=-0,5 или x=5
x=-0,5 не удовлетворяет условию х>4
Если х<4, то |4-x|=x-4, (4-x)(2x-1)=9  2x²-9x+13=0; D<0; корней нет.
Ответ:5.
Пример 16. Решить уравнение:  x 2  7 x  18 log x 3  x  4   0
Решение.  x 2  7 x  18 log x 3  x  4   0   x  9  x  2  log x 3  x  4   0 ;
х-9=0 или х+2 =0 или log x3  x  4  0
х=9
х=-2
 x  4  0,
 x  3
 x  3
 x  3  0,



  x  2,   x  2,
log x3  x  4   0  
x

3

1,

 x  4  1  x  3


 x  4  ( x  3)0
х=-2 не удовлетворяет условию x  2
Ответ: 9.
Пример 17. Решить уравнение: log 2 8x2  x  *log 4 x 8x 1  2 .
Решение. Обе части уравнения имеют смысл, если
1

4 x  1,
x ,

4
4 x  0,


1 1 1

  x  0, ; т.е. при x   ;    ;  

8 4 4

8 x  1  0,

1
8 x 2  x  0
x 
8

11
log
2
8 x
2
 x   log 2 x  log
2
8 x
2
 x  ; log 4 x  8 x  1 
log 2  8 x  1
log 2  4 x 
Данное уравнение равносильно  log 2 x  log 2 8 x  x  
2
log
2

log
8 x
2
8x
2
 x
log 2 x  2
2
 x
log 2 x  2
2;
1 1 1

получаем
уравнение
log 2 x  2  0
x   ;    ;  
8 4 4

log 2 x *log 2 8x 1  log2 2 8x 1  4  2log 2 x ; разложим на множители, обозначим
При
log 2 x = a, log 2 8x 1 =b, а b+ b²-4-2а=0, (b-2)( b+2)+а(b-2)=0;
(b-2)( b+а+2)=0;  log 2 8 x  1  2   log 2 8 x  1  log 2 x  2   0
log 2 8x  1  2 =0 или log 2 8x  1  log 2 x  2 =0
8x 1  4
5
x
8
log
2
8 x
2
 x   2
1
8x2  x  ;
4
D
1
1
 4  32  36; x1   ; x2  .
4
8
4
1 1 5
5
1 1
1
Из чисел  ; ; только удовлетворяет условию x   ;    ;   .
8 4 8
8
8 4 4

5
Ответ: .
8
1
1
Пример 18 Решить уравнение. lg 2  4  x   lg  4  x  *lg  x    2 lg 2  x  
2
2


 1
x   0,
1
Решение.  2
   x  4. Используя тождество
2

4  x  0
32 x 2  4 x  1  0;
a 2  ab  2b2  (a  b)(a  2b) , заменим данное уравнение равносильным

1 
1 
уравнением lg  4  x   lg  x    lg  4  x   2 lg  x     0 ,


2  

2 

1

lg  4  x   2 lg  x  2   0,



потенцируя

1

lg  4  x   2 lg  x    0.
2


1
7
получим 4  x  x  , x  ;
2
4
2
1 7
1
3
3
 4  x   x    1; x  4 x 2  12 x  15  0; x2  0, x3   6, x4   6 .    4 верно;
2 4
2
2
2

1
1 3
1 3
  0  4 верно;    6  4 верно;    6  4 неверно.
2
2 2
2 2
7 3
Ответ:0; ;  6 .
4 2
12
Применение свойств функций
5
x
Пример19. Решить уравнение. log 5 x  .
Решение. x   0;  , D  log    .На этом промежутке функция f(x)= log5 x
монотонно возрастает, а функция g(x)=
5
монотонно убывает. Поэтому
x
уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня. Так как f(5)=g(5),х=5
единственный корень уравнения. Ответ:5.
Пример 20. Решить уравнение. log3  x 2  6 x  12   cos  2 x  .
2
Решение. Так как x  6 x  12   x  3  3  3 получим log3  x 2  6 x  12   1 ,
2
'
Но cos  2 x   1 , поэтому уравнение имеет решение только в том случае,
если
2

log3  x  6 x  12   1, 2
x  6 x  12  3  ( x  3)2  0  x  3 ,


cos  2 x   1.
Проверка: cos  2 *3  1 верно.
x  3 единственный корень.
Ответ:3.
13
Тренировочная работа 1
Решить уравнение:
1. 53 x1  0, 2 .
Тренировочная работа 2
1. log 1  4 x  1  1 .
5
2 x
8 2.
2.


log3 1  log 1 x   1 .
3 

 1,52 x 3.
3.
log 4  2 x  3  log4  x 1  log 4 3 1
2.
1
 
2
3.
2
 
3
4.
3 1
2 *   .
2 9
8 x 1
x
4. (log0,5 x)2  log0,5 x  6  0 .
x
5 x 1
5x
7.
4
1
1
     .
9
3
 3
x  20
9
9
 x  20 .
11
11
x
25  24*5x  1  0 .
8.
32 x 1 
9.
5
5*  
6
5.
6.
10..  2 
11.
8
2 x 1
3
x 1
1
5.
6.  x2  1
7.
x
6
 9*    3  0 .
5
 

x
3  2 3 2  0.


log 2 x 2 1
2.
log x2  4  2 x 2  5 x  10   1 .
8.  x2  1
 1 .
x
log 2 3 x  log 3 x  2
1.
log 3 x  1
log
x2 1
2
 2.
9.  x  2 x  5 log6x  x  7   0 .
10.
log 2 x 1  x  1  log 25  2 x  5
 1.
log 2 x 1  x  1  log 25 ( x  2)
2*52 x  10 x  15* 4 x .
11. x 2  6 x  log 3 (1  x)  7  log 3 (1  x) .
1
x
1
x
1
x
log x2 13  log 43 x13 .
12.
64*9  12*12  27*16  0 .
13.
х log2 x  4  32 .
13.
412 x
 0,5* 21,2 2 x .
8
x 1
2  2*3x 3*2 x  3x 1

2x
3x
14. ( x 2  5 x  3) *lg(1 x )  lg 
14.
15.
12.
log 5
3x  1
*log x (3 x  1)  1
x
5
3
.
15.
log x
3 

 3 x 
x3
1.
x 1
14
Список литературы
Учебник Алгебра и начала анализа 10 класс, авторы С.М.
Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А. В. Шевкин;
2.
Учебник Алгебра и начала анализа 11 класс, авторы С.М.
Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин;
3.
Дидактические материалы по алгебре и началам математического
анализа 10 класс; М.К. Потапов, А.В. Шевкин;
4.
Готовимся к ЕГЭ математика изд. Дрофа 2004 год авторы Л.О.
Денищева, Е.М.Бойченко…;
5.
ЕГЭ 2011 Математика задача С1 Уравнения и системы уравнений
авторы С.А. Шестаков, П.И.Захаров;
6.
Уравнения лекции для старшеклассников и абитуриентов М
Шабунин Библиотечка «Первого сентября» математика №1 2005;
7.
Книга для учителя К «Сборнику задач по алгебре и началам
анализа для проведения и подготовки итоговой аттестации за курс средней
школы» под редакцией С.А. Шестакова.
1.
15