о применении ортогональных преобразовании к обработке

О ПРИМЕНЕНИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ К ОБРАБОТКЕ
ИЗОБРАЖЕНИИ
Казизова Ш. Е., Матин Д. Т.
Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, г. Астана, Казахстан
Понятие преобразования широко применяется в математике. С его помощью
решаются многие задачи в различных областях науки Преобразованная величина
используется при решении задачи или при совершении некоторых вычислений, после чего
к результату применяется обратное преобразование для возврата к исходной форме.
Сущность цифровой обработки состоит в том, что физический сигнал (напряжение, ток и
т. д.) преобразуется в последовательность чисел, которая затем подвергается
математическим преобразованиям в вычислительном устройстве. Трансформированный
цифровой сигнал (последовательность чисел) при необходимости может быть
преобразован обратно в напряжение или ток.
Цифровое изображение – это прямоугольная матрица окрашенных точек,
называемых пикселами. В результате дискретизации и квантования возникает матрица
действительных чисел  f m, n , каждый элемент которой называется элементом
изображения (пиксел). Каждый пиксел представляется в компьютере с помощью
цветового кода. Для упрощения цветовой обработки предполагается, что все пикселы
имеют один и тот же размер. Размер пиксела зависит от числа цветов в изображении,
которое, обычно, является степенью 2. Если в нем содержится 2 k разных цветов, то
каждый пиксел – это k - битовое число.

Входной массив   xm, n  размера N  N N  2
матрицы  m, n :
k
 может быть записан в виде
x0, 1
...
x0, N  1 
 x0, 0
 x1, 0
x1, 1
...
x1, N  1 


m, n 
 ............................................................ 


 x N  1, 0 x N  1, 1 ... x N  1, N  1
Имеется два вида избыточности в цифровых изображениях. Первый вид похож на
избыточность в текстовом файле. В каждом неслучайном изображении некоторые цвета
могут преобладать, а другие встречаться редко. Такая избыточность может быть удалена
с помощью кодов переменной длины, присваиваемых разным пикселам. Другой вид
избыточности гораздо более важен, он является результатом корреляции пикселов. Когда
наш взгляд перемещается по картинке, он обнаруживает в большинстве случаев, что
соседние пикселы окрашены в близкие цвета.
Преобразования, которые используются для сжатия изображений должны быть быстрыми,
и, по возможности, легко реализуемыми на компьютере. Это прежде всего предполагает,
что такие преобразования должны быть линейными. То есть, преобразованные величины
ci являются линейными комбинациями исходных величин (пикселов) d j , причем
соответствующим множителем или весом служит некоторое число wij (коэффициент
преобразования). Значит ci   d j cij , где i, j  1, 2, ... n . Например при n  4 это
j
преобразование можно записать в матричной форме
 c1   w11
  
 c 2   w21
c   w
 3   31
c   w
 4   41
w12
w22
w13
w23
w32
w42
w33
w43
w14  d1 
 
w24  d 2 
,
w34  d 3 
 
w44  d 4 
которая в общем виде примет следующий вид C  W  D .
Важной задачей является определение коэффициентов преобразования wij . Основное
требование заключается в том, чтобы после преобразования величина c1 была бы
большой, а все остальные величины стали бы малыми. Основное соотношение
ci   d j cij предполагает, что ci будет большим, если веса wij будут усиливать
j
соответствующие величины d j .Это произойдет, например, если компоненты векторов wij
и d j имеют близкие значения и одинаковые знаки. Наоборот, ci будет малым, если веса
wij будут малыми и, половина из них будет иметь знак противоположный знаку
соответствующего числа d j . Поэтому, если получаются большие ci , то векторы wij
имеют сходство с исходным вектором d j . Следовательно, базисные векторы wij можно
интерпретировать как инструмент для извлечения некоторых характерных признаков
исходного вектора.
Для сжатия изображении можно использовать преобразования Уолш-Адамара и
преобразование Хаара. После вычисления всех коэффициентов дискретного
преобразования Уолша их необходимо проквантовать. На этом шаге происходит
отбрасывание части информации. Каждое число из матрицы коэффициентов дискретного
преобразования Уолша делится на специальное число из таблицы квантования, а
результат округляется до ближайшего целого. При сжатии изображении методом
дискретного преобразования Уолша проквантованные коэффициенты обладают
свойствами: только некоторые из них не равны нулю, которые будут сконцентрированы в
левом верхнем углу матрицы. Эти свойства можно использовать при сжатии изображении
методом кодирования Хаффмана.
Одномерное вейвлетное преобразование Хаара переносится на двумерный случай.
Это обобщение весьма важно, поскольку преобразование будет применяться к
изображениям, которые имеют два измерения. Здесь снова производится вычисление
средних и полуразностей.
Преобразования, описанные выше, являются ортогональными. Они преобразуют
пикселы изображения во множество чисел, из которых некоторые числа будут большими,
остальные – маленькими.
Сжатие изображений ориентировано на решение проблемы сокращения объема
данных, требуемого для представления цифрового изображения. Основой такого процесса
сжатия является удаление избыточных данных. С математической точки зрения это
равнозначно преобразованию некоторого двумерного массива данных в статистически
некоррелированный массив. Такое преобразование сжатия применяется к исходному
изображению перед тем как его сохранить или передать. Впоследствии сжатое
изображение распаковывается и восстанавливается исходное изображение. Существуют
методы сжатия без потерь и методы сжатия с потерями. Первый метод гарантируют
сжатия и восстановление изображений без искажения информации. Второй метод
позволяет достичь более высокого уровня сокращения данных, но не обеспечивает
точного воспроизведения и сходного изображения.
Регистрационная карта
Ф.И.О.
Ученая степень и ученое звание
Место работы и должность
Мобильный и контактный телефоны
Электронный адрес
Направление (секция)
Тема доклада
Он-лайн или заочное участие
КазизоваШакуЕрмековна,
МатинДауренТюлютаевич
Преподаватель математики,
PhDдокторант (1-курса)
ЕВРАЗИЙСКИЙ
НАЦИОНАЛЬНЫЙУНИВЕРСИТЕТ
ИМ. Л. Н. ГУМИЛЕВА
87773699966, 87011969008,
8(7172)376325
d.matin@mail.ru
d.matin2@yandex.ru
Физико-математические науки
О применении ортогональных
преобразовании к обработке
изображении
Он-лайн