Практическая реализация метода экстраполяции

Макроэкономическое
планирование и прогнозирование
Методы прогнозирования и
планирования
(ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МЕТОДЫ)
Кулешова Елена Викторовна,
к.ф.-м. наук, доцент кафедры
экономики ТУСУР.
Методы экономического
прогнозирования
Формализованные методы прогнозирования
базируются на построении прогнозов формальными
средствами математической теории, которые
позволяют повысить достоверность и точность
прогнозов, значительно сократить сроки их
выполнения, облегчить обработку информации и
оценки результатов.
В состав формализованных методов
прогнозирования входят: методы интерполяции и
экстраполяции, метод моделирования, экономикоматематические методы и метод экономического
анализа.
Методы экономического
прогнозирования
В чем заключаются методы
экстраполяции?
Методы экономического
прогнозирования
В чем заключаются методы
экстраполяции?
- в изучении сложившихся в прошлом и
настоящем устойчивых тенденций развития
объекта прогноза и в переносе их на будущее.
Методы экономического
прогнозирования
В чем заключаются методы
экстраполяции?
- в изучении сложившихся в прошлом и
настоящем устойчивых тенденций развития
объекта прогноза и в переносе их на будущее.
К методам экстраполяции
относятся метод скользящей средней, метод
экспоненциального сглаживания, метод
наименьших квадратов.
Методы экономического
прогнозирования
Сущность метода наименьших
квадратов состоит в минимизации суммы
квадратических отклонений между
наблюдаемыми и расчетными величинами.
Методы экономического
прогнозирования
Сущность метода наименьших
квадратов состоит в минимизации суммы
квадратических отклонений между
наблюдаемыми и расчетными величинами.
Расчетные величины находятся по
подобранному уравнению – уравнению регрессии.
Чем меньше расстояние между фактическими
значениями и расчетными, тем более точен
прогноз, построенный на основе уравнения
регрессии.
Практическая реализация метода
экстраполяции
Задача. Динамика ежегодных затрат на
производство цемента уt представлена в таблице.
Построить график динамики затрат. Исходя
из предположения о линейном характере
зависимости затрат на производство цемента от
времени, рассчитать параметры а, b линейной
функции уt*= а + bt с помощью метода наименьших
квадратов, рассчитать прогнозные значения
затрат на производство цемента на 2005–2007 гг.
Отразить зависимость yt* на графике. Оценить
адекватность полученной зависимости.
Практическая реализация метода
экстраполяции
Динамика затрат на производство
цемента, млн. руб.
Годы
Затраты на производство цемента
1993
534
1994
516
1995
539
1996
578
1997
566
1998
605
1999
639
2000
689
2001
705
2002
694
2003
744
2004
761
Практическая реализация метода
экстраполяции
Для разработки прогноза необходимо придерживаться
следующего алгоритма:
− строится график, отражающий зависимость результативного
показателя у от времени t. На основании графика
определяется характер изменения результативного
показателя во времени (в нашем случае линейными
зависимостями вида у = а + bt)
Практическая реализация метода
экстраполяции
Для разработки прогноза необходимо придерживаться
следующего алгоритма:
− строится график, отражающий зависимость результативного
показателя у от времени t. На основании графика
определяется характер изменения результативного
показателя во времени (в нашем случае линейными
зависимостями вида у = а + bt)
− определяются параметры (a и b) кривых роста (метод
экстраполяции) или уравнений регрессии (экономикостатистический метод). Для этого применяется метод
наименьших квадратов
Практическая реализация метода
экстраполяции
Для разработки прогноза необходимо придерживаться
следующего алгоритма:
− строится график, отражающий зависимость результативного
показателя у от времени t. На основании графика
определяется характер изменения результативного
показателя во времени (в нашем случае линейными
зависимостями вида у = а + bt).
− определяются параметры (a и b) кривых роста (метод
экстраполяции) или уравнений регрессии (экономикостатистический метод). Для этого применяется метод
наименьших квадратов.
− оценивается адекватность полученной зависимости, для чего
рассчитывается ряд коэффициентов.
− если полученная линейная зависимость является адекватной,
рассчитывается прогнозное значение показателя у.
Практическая реализация метода
экстраполяции
800
700
600
500
400
Series2
300
200
100
0
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Практическая реализация метода
экстраполяции
Так, при реализации метода экстраполяции для определения
неизвестных параметров a и b линейной функции вида у = а + bt
составляется система уравнений,
где a, b – параметры функции; n – число уровней динамического ряда; t –
порядковый номер года; у – фактическое значение результативного
признака.
Практическая реализация метода
экстраполяции
Так, при реализации метода экстраполяции для определения
неизвестных параметров a и b линейной функции вида у = а + bt
составляется система уравнений,
где a, b – параметры функции; n – число уровней динамического ряда; t –
порядковый номер года; у – фактическое значение результативного
признака.
Для решения составим таблицу, в которой будем производить
необходимые расчеты.
Практическая реализация метода
экспертных оценок
Таблица расчетов.
Затраты на
Условное обозначение
производство цемента,
Y*t
времени, t
Yфакт
Годы
Затраты расчетные, Yрасч =
b*t+a
t2
1993
534
1
534
1
502,525641
1994
516
2
1032
4
525,8543124
1995
539
3
1617
9
549,1829837
1996
578
4
2312
16
572,511655
1997
566
5
2830
25
595,8403263
1998
605
6
3630
36
619,1689977
1999
639
7
4473
49
642,497669
2000
689
8
5512
64
665,8263403
2001
705
9
6345
81
689,1550117
2002
694
10
6940
100
712,483683
2003
744
11
8184
121
735,8123543
2004
761
12
9132
144
759,1410256
Суммарные значения
7570
78
52541
650
b
23,32867133
a
479,1969697
Практическая реализация метода
экстраполяции
800
700
600
500
400
Затраты на производство цемента
Затраты расчетные, Zрасч = b*T+a
300
200
100
0
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Практическая реализация метода
экстраполяции
Расчетные формулы для определения показателей,
характеризующих адекватность полученных зависимостей
(применительно к методу экстраполяции):
а) коэффициент корреляции r
Коэффициент корреляции показывает тесноту линейной
связи между результативным и факторным признаками.
Практическая реализация метода
экстраполяции
Расчетные формулы для определения показателей,
характеризующих адекватность полученных зависимостей
(применительно к методу экстраполяции):
а) коэффициент корреляции r
Коэффициент корреляции показывает тесноту линейной
связи между результативным и факторным признаками.
Его значение может изменяться от –1 до +1. Если значение r
стремится к +1, то имеет место прямая тесная связь между
результативным и факторными признаками; если r стремится к –1,
то связь обратная; если же r близок к 0, то связь между
результативным и факторным признаками отсутствует.
Практическая реализация метода
экстраполяции
б) коэффициент детерминации R2
где ei – остаток у в i-м периоде, определяемый как разница
между фактическим и расчетным значениями показателя у за
данный период; уi – фактическое значение показателя у в i-м
периоде; y – среднее значение показателя у за весь период.
Практическая реализация метода
экстраполяции
б) коэффициент детерминации R2
где ei – остаток у в i-м периоде, определяемый как разница
между фактическим и расчетным значениями показателя у за
данный период; уi – фактическое значение показателя у в i-м
периоде; y – среднее значение показателя у за весь период.
Значение коэффициента детерминации изменяется от
0 до 1 и показывает, в какой степени динамика
результативного признака описывается динамикой
факторного. Например, если R2 = 0,9, то на 90% динамика
результативного признака описывается динамикой
факторного признака, а на оставшиеся 10% – динамикой
прочих факторов, не включенных в модель.
Практическая реализация метода
экстраполяции
в) средняя относительная ошибка аппроксимации А
где yi р – расчетное значение показателя у в i-м периоде.
Если значение А не превышает 15%, то можно считать, что
построенная модель является приемлемой для проведения
аналитических и прогнозных расчетов.
Практическая реализация метода
экстраполяции
в) средняя относительная ошибка аппроксимации А
где yi р – расчетное значение показателя у в i-м периоде.
Если значение А не превышает 15%, то можно считать, что
построенная модель является приемлемой для проведения
аналитических и прогнозных расчетов.
г) стандартная ошибка регрессии S, характеризующая уровень
необъясненной дисперсии, для однофакторной линейной регрессии
где m – количество независимых переменных в модели (для
однофакторной регрессии m = 1).
Практическая реализация метода
экстраполяции
Практическая реализация метода
экстраполяции
Практическая реализация метода
экстраполяции
ж) на основе рассчитанных стандартных ошибок параметров
регрессии проверяется значимость каждого коэффициента регрессии путем
расчета t-статистик (t-критериев Стьюдента) и их сравнения с критическим
значением (приложение В) при уровне значимости α и числе степеней
свободы (V = n – m – l )
где ta – расчетное значение t-статистики для параметра a; tb – расчетное
значение t-статистики для параметра b.
Значимость параметров подтверждается, если t-статистики выше
критической величины.
Практическая реализация метода
экстраполяции
ж) на основе рассчитанных стандартных ошибок параметров
регрессии проверяется значимость каждого коэффициента регрессии путем
расчета t-статистик (t-критериев Стьюдента) и их сравнения с критическим
значением (приложение В) при уровне значимости α и числе степеней
свободы (V = n – m – l )
где ta – расчетное значение t-статистики для параметра a; tb – расчетное
значение t-статистики для параметра b.
Значимость параметров подтверждается, если t-статистики выше
критической величины.
з) для оценки автокорреляции остатков рассчитывается значение
критерия Дарбина – Уотсона по формуле
где еi-1 – остаток у в периоде, предшествующем i-му.
Если значение критерия Дарбина – Уотсона близко к 2, то
автокорреляция остатков отсутствует.
Практическая реализация метода
экспертных оценок
900
800
700
600
500
Затраты на производство цемента
400
Затраты расчетные, Zрасч = b*T+a
300
Прогноз затрат на производство цемента,
2005-2007гг
200
100
0
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Практическая реализация метода
экспертных оценок
Далее переходим к последнему этапу решения нашей задачи.
Поскольку полученная линейная зависимость является адекватной,
рассчитывается прогнозное значение показателя у.
У 2005 = 23,33*13 + 479,20 = 1,28
У 2006 = 23,33*14 + 479,20 = 1,11
У 2007 = 23,33*15 + 479,20 = 0,94
900
800
700
600
Затраты на производство цемента
500
400
Затраты расчетные, Zрасч = b*T+a
300
Прогноз затрат на производство
цемента, 2005-2007гг
200
100
0
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Практическая реализация метода
экстраполяции
Затраты на
производство
цемента, Z
Годы
Условное
обозначение
времени, T
Затраты расчетные, Средняя относительная ошибка,
Zрасч = b*T+a
А
T2
Z*T
1993
534
1
534
1
502,525641
5,89
1994
516
2
1032
4
525,8543124
1,91
1995
539
3
1617
9
549,1829837
1,89
1996
578
4
2312
16
572,511655
0,95
1997
566
5
2830
25
595,8403263
5,27
1998
605
6
3630
36
619,1689977
2,34
1999
639
7
4473
49
642,497669
0,55
2000
689
8
5512
64
665,8263403
3,36
2001
705
9
6345
81
689,1550117
2,25
2002
694
10
6940
100
712,483683
2,66
2003
744
11
8184
121
735,8123543
1,10
2004
761
12
9132
144
759,1410256
0,24
Суммарные
значения
7570
78
52541
650
b
23,33
a
479,20
28,42
А
2,37
<15% - точность прогноза
высокая.
2005
782,47
13
2006
805,80
14
2007
829,13
15