09-03-02_Formuly_slozhenija_dlja_trigonometricheskikh_funkcii

Тема 3. Формулы сложения для
тригонометрических функций
09-02-02. Формулы кратного аргумента
Теория
2.1. Разберем важные частные случаи формул сложения для тригонометрических
функций. В этом пункте рассмотрим формулу
cos 2  cos 2   sin 2  .
Подставляя вместо переменной  выражение  в формулу
cos(   )  cos  cos   sin  sin 
получим формулу косинуса двойного угла:
cos 2  cos 2   sin 2  
(1)
Эта формула позволяет:
а) заменить выражение cos 2 тождественно равным ему выражением cos 2   sin 2  ,
зависящим от sin  и cos ;
б) разложить cos 2 на два множителя:
cos 2  (cos   sin  )(cos   sin  )
в) заменить выражение cos 2   sin 2  на равное ему выражение cos 2 .
2.2.* Возьмем основное тригонометрическое тождество sin 2   cos 2   1 .
cos 2  2 cos 2   1 .
Если запишем sin 2   1  cos 2  и подставим в формулу (1), то получим еще один
вариант формулы косинуса двойного угла:
cos 2  2 cos 2   1
(2)
Пример 1. Еще раз вычислим cos15 .
cos 30  2 cos 2 15circ  1 .
Отсюда
32
3 2
6 2
и cos15 


4
4
4
Если запишем cos 2   1  sin 2  и подставим в формулу (1), то получим третий
вариант формулы косинуса двойного угла:
cos 2  1  2sin 2 
(3)
2.3.* Возьмем формулу (2):
cos 2  2 cos 2   1
Поменяем местами левую и правую части:
2 cos 2   1  cos 2 
Перенесем -1 в правую часть с противоположным знаком:
2 cos 2   1  cos 2 
Разделим обе части на число 2:
1  cos 2
cos 2  

(4)
2
В результате получаем формулу, которая позволяет понижать степень, то есть
получать вместо произведения cos  cos выражение, в котором нет произведений
тригонометрических функций.
Пример 2.
cos 2 15 
1  cos 2 1  cos 4

 1  cos 2  cos 4 
2
2
2.4. Рассмотрим формулу
sin(   )  sin  cos   cos  sin  
Подставляя вместо переменной  выражение  , получим формулу синуса двойного
угла:
(6)
sin 2  2sin  cos  
Эта формула позволяет:
а) заменить выражение sin 2 равным ему выражением 2sin  cos  , зависящим от
sin  и cos ;
б) заменить выражение sin  cos  на равное ему выражение 12 sin 2 .
Пример 3.
1  sin 2  sin 2   cos 2   sin 2 
 sin 2   2sin  cos   cos 2   (sin   cos  )2 
2.5.* Рассмотрим формулу
cos 2   cos 2 2  1 
tg(   )  tg  tg 
1  tg tg
Подставляя вместо переменной 
двойного угла:
выражение  , получим формулу тангенса
tg 2  2tg 
1  tg 
(7)
2
2.6.** Выражение sin 3 можно заменить на равное ему выражение, зависящее от
sin  и cos . Это можно сделать, например, следующими преобразованиями:
sin 3  sin(2   )  sin 2 cos   cos 2 sin   2sin  cos2   (2cos 2   1)sin  
 sin  (4cos2   1)  sin  (3  4sin 2  )
2.7.** Возьмем угол  , равный 18 . Тогда 5  90 . Поэтому cos5  0 . Преобразуем
cos5 аналогично тому, как это проделывалось в предыдущем пункте:
cos5  cos3 cos 2  sin3 cin2  (cos 2 cos   sin 2 sin  )  ((1  2sin 2  ) 
 sin   (3  4sin 2  )  2sin  cos   (cos  (1  2sin 2  )  2cos  sin 2  )(1  2sin 2  ) 
 cos   2sin 2  (3  4sin 2  )  cos  (16sin 4   12sin 2   1)
Следовательно, условие cos5  0 запишется в виде
cos  (16sin 4   12sin 2   1)  0
Так как cos   cos18  0 , то отсюда
16sin 4   12sin 2   1  0
Пусть sin 2   z . Тогда относительно z получаем квадратное уравнение
16 z 2  12 z  1  0
Это уравнение имеет корни:
2
6  2 5  5 1 
z1 
 
 
16
4


2
6  2 5  5 1 
z2 
 
 
16
 4 
Так как z  sin 2   sin 2 18 , то отсюда sin18 равняется либо
Так как sin18  sin 30  12 , а число
единственная возможность:
5 1
4
больше
1
2
5 1
4
, либо
5 1
4
, то для sin18
.
остается
5 1

4
sin18 
Контрольные вопросы
1. Запишите формулу косинуса двойного угла.
2.* Какие формулы для cos 2 Вы знаете?
3.* Как выразить sin 2  и cos2  через cos 2 ?
4. Запишите формулу синуса двойного угла.
5.* Запишите формулу для тангенса двойного угла.
Задачи и упражнения
1. Найдите cos 2x , если известно, что:
а) sin x  13 ; б) cos x  34 ; в) sin x   14 ; г)  tgx  32 .
2. Найдите sin 2x , если известно, что угол x острый и:
а) sin x  53 ; б) cos x  12
в)  tgx  34 ; г) cos x  13 .
13 ;
3. Докажите тождество:
а) sin 6   cos 6   1  34 sin 2 2 ;
б) cos6   sin 6   18 (5  3cos 4 ) ;
в) ctg  sin 2  cos 2 ctg ;
г)
2
tg2
ctg2  tg 2 ;
sin 4  cos 4
sin 4  cos 4
д)  cos2 (   )  sin 2 (   )  1  sin 2 sin 2 ;
е)  cos3  cos 3  sin 3  sin 3  cos3 2 ;
ж) tg3  tg tg(60   )tg(60   ) .
Укажите, при каких значениях переменных тождество определено.
4. Докажите равенство:
а) sin15  cos15  14 ;
1
2
tg 15

б)
2
1 tg 15
3
2
;
720
1440
в)  cos 360
 81 .
7  cos 7  cos 7
5.** Докажите, что в множестве комплексных чисел выполняется равенство:
а) (cos   i sin  )3  cos3a  i sin 3 ;
б) (cos   i sin  )4  cos 4  i sin 4 .
б) sin 2  cos 2  sin 2  cos 2 .
Ответы и указания