Квадратное уравнение

Методы
решения квадратных
уравнений
Классификация .
Квадратные уравнения.
b = 0;
неполное
полное
приведённое
c = 0;
b = 0; c = 0;
Неполные квадратные уравнения:
b  0; c  0
ax  bx  0,
x ax  b   0
2
x  0

x   b
a

3x 2  4 x  0,
x3x  4  0
x  0

x   4
3

b  0; c  0
ax 2  с  0,
с
x2  
а
с
если   0, то _ корней _ нет
а
с
c
если 
 0, то _ x   
а
a
2x2  8  0
x 2  4- нет корней
5 x 2  15  0
x2  3
x  
3
b  0;
c0
ax 2  0,
x0
7x2  0
x0
Теорема Виета
Если x1 и x2 корни
ax 2 + bx +c = 0, то
с
x1+x2= - b, x1x2=
а
a
Если x1 и x2 корни
x2 + px + q = 0, то
x1+x2=-p, x1x2=q.
Другие соотношения между корнями и коэффициентами
приведенного квадратного уравнения x 2+ px + q=0:
x12  x22  x12  2 x1 x2  x22  2 x1 x2 
  x1  x2   2 x1 x2  p  2q
2
2
Применение теоремы Виета
x 2 – 14 x  24  0
D  b 2 – 4ac 
196 – 96  100
x1  2 , x2  12
x1  x2  14 ,
x1  x2  24 ,
x 2  3x – 10  0
D  32-4 1 (-10 )  49
x1  x2  10 ,значит корни
имеют разные знаки
x1  x2  3,значит больший по
модулю корень отрицательный
Подбором находим корни:
x1  5; x2  2
Специальные методы:
1. Метод выделения квадрата
двучлена.
2. Метод «переброски» старшего
коэффициента
3. На основании теорем:
Метод выделения квадрата двучлена.
Цель: привести квадратное уравнение общего вида к
неполному квадратному уравнению.
Пример:
x  6x  8  0
2
x  2  3x  9  9  8
2
 x  3
2
1
x  3  1 _ или _ x  3  1
x  4 ________ x  2
Метод «переброски» старшего
коэффициента.
Корни квадратных уравнений
ax  bx  c  0
2
и
y 2  by  ac  0
связаны соотношениями
x1
y1

a
и
x2
y2

a
В некоторых случаях бывает удобно решать сначала не данное
квадратное уравнение, а приведенное, полученное «переброской»
коэффициента а .
2
Пример:
2x  9x  5  0
y 2  9 y  10  0
D  81  40  121
y1  10 ___ x1  5
1
y2  1 ___ x2  
2
На основании теорем:
Если в квадратном уравнении
a+b+c=0, то один из корней
равен 1, а второй по теореме
Виета равен c
a
Если в квадратном уравнении
a+c=b, то один из корней
равен -1, а второй по теореме
Виета равен   c 


a


157 x 2  20 x  177  0
203 х 2  220 х  17  0
157  20  177  0
 177
х  1; х 
157
203  220  17  0
 17
х1  1;х2 
203
Примеры:
Общие методы:
 Разложение на множители;
 Введение новой переменной;
 Графический метод.
Метод разложения на множители
Цель: привести квадратное уравнение общего вида к
виду А(х)·В(х)=0,
где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.
Способы:
 Вынесение общего множителя за скобки;
 Использование формул сокращенного умножения;
 Способ группировки.
3x 2  2 x  1  0
Пример:
3x 2  3x  x  1  0
3 x  x  1   x  1  0
( x  1)(3 x  1)  0
x1  1
x2 
1
3
Введение новой переменной.
Умение удачно ввести новую переменную – важный
элемент математической культуры. Удачный выбор новой
переменной делает структуру уравнения более прозрачной.
5 x  32  35 x  3  2
Пример:
5x  3  t
t 2  3t  2  0
D  98 1
t1  2 ____ t 2  1
5 x  3  2 ___ или ___ 5 x  3  1
x1  0,2 ____ x 2  0,4
Графический метод
Для решения уравнения f(x) = g(x) необходимо
построить графики функций
y = f(x), y = g(x)
и найти точки их пересечения; абсциссы точек
пересечения и будут корнями уравнения.
Графический метод часто применяют не для
нахождения корней уравнения, а для определения их
количества.
Примеры решения квадратных
уравнений графическим способом
x2-2x-3=0;
x2-2x=3;
y=x2-2x;
y=3.
x2-2x-3=0;
Y=x2-2x-3;
(1;-4)- вершина
параболы.
Ответ: x=-1; x=3.
(1;-1)-вершина параболы. Ответ:
x=-1; x=3.
x2-2x-3=0;
x2=2x+3;
y=x2;
y=2x+3.
x2-2x-3=0;
x2-3=2x;
y=x2-3;
y=2x.
(0;-3)-вершина параболы.
Ответ: x=-1; x=3.
(0;0)-вершина параболы.
Ответ: x=-1; x=3.
Решение квадратных уравнений,
содержащих параметр*.
a 1x 2  2(2a  1) x  (4a  3)  0
7
1. Если а=1, то имеем линейное уравнение 6х+7=0, х= 
6
2. Если а  1 , то рассмотрим квадратное уравнение
a 1x 2  2(2a  1) x  (4a  3)  0
D1  2а  1  ( а  1)( 4а  3)  5а  4
2
4
нет.корней
5
 ( 2а  1)
1
еслиD1  0, то.один.корень.х 

а 1
3
 ( 2а  1)  5а  4
еслиD1  0, то.два.корня.х 
а 1
4
Ответ : если.а   то.корней .нет
5
7
если _ а  1, тох  
6
4
 ( 2а  1)  5а  4
если _ а   , а  1, тох1, 2 
5
а 1
еслиD1  0, т.е.5а  4  0, а  
Решение квадратных уравнений с
модулем*.
2
x
x2 
6  0
x
x  t, t  0
t2  t  6  0
D  25, D  0
t1  3
х 2
х  2
t2  2