x-1

Решение простейших показательных
уравнений
Уравнения, содержащие переменную в показателе степени, называются
показательными уравнениями.
Простейшие показательные уравнения — это уравнения вида: ax=ay. Отсюда следует
равенство: х=у. В самом деле, степени с одинаковыми основаниями могут быть равными
только в том случае, если равны показатели этих степеней.
Примеры.
Решить уравнение:
1) 5x=125. Представим число 125 в виде степени числа 5:
5x=53; Степени равны, их основания равны, значит, и показатели степеней будут равны:
x=3.
2) 4x=32. Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 2:
(22)x=25; используем формулу возведения степени в степень: (ax)y=axy
22x=25;
2x=5 |:2
x=2,5.
3) 32x-1=81. Число 81 представим в виде степени числа 3:
32x-1=34; приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями:
2x-1=4; решаем простейшее линейное уравнение:
2x=4+1;
2x=5 |:2;
x=2,5.
К правой части применяем формулу: (a/b)-x=(b/a)x. Получим равенство степеней с
одинаковыми основаниями.
Приравниваем показатели степеней и находим х из полученного линейного уравнения.
Приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями.
Переносим степень из правой части уравнения в левую.
Вынесли общий множитель (2х-6) за скобки. Произведение двух или нескольких
множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другие при этом
значении не теряют смысла. Содержимое каждой из скобок приравниваем к нулю и
решаем простейшие уравнения.
6) 7∙5x-5x+1=2∙53.
Показатели степеней складываются, если степени перемножаются ( ax∙ay=ax+y ), поэтому:
7∙5x-5x∙51=2∙53;
5x(7-5)=2∙53; вынесли общий множитель за скобки.
5x∙2=2∙53
|:2
5x=53; отсюда следует:
x=3.
7) 3x+2+4∙3x+1=21. Применим формулу: ax+y=ax∙ay (При умножении степеней с
одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают):
3x∙32+4∙3x∙31=21; вынесем общий множитель за скобки:
3x(9+12)=21;
3x∙21=21 |:21
3x=1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени с любым основанием.
3x=30;
x=0.
51+2x+52x+3=650. Решаем аналогично.
51∙52x+52x∙53=650;
52x(5+125)=650;
52x∙130=650 |:130
52x=5; приравняем показатели равных степеней с основаниями 5.
2x=1 |:2
x=0,5.
Решение простейших показательных
неравенств
Простейшими считаются показательные неравенства вида: ax<ay, ax>ay . (ax≤ay, ax≥ay).
Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, одинаковые основания
степеней опускают, но знак нового неравенства сохраняют, если функция у=ах является
возрастающей (а>1); eсли же показательная функция у=ах убывает (0<a<1), то знак
нового неравенства меняют на противоположный:
ax<ay → x<y, если a>1; знак сохранен, так как функция возрастает;
ax<ay → x>y, если 0<a<1; функция убывает – знак поменялся;
ax>ay → x>y, если a>1; знак сохранен, так как функция возрастает
ax>ay → x<y, если 0<a<1; функция убывает – знак поменялся.
Примеры.
Решить неравенство:
1) 45-2x<0,25.
Представим правую часть в виде: 0,25=(25/100)=(1/4)=4-1;
45-2x<4-1; функция у=4х с основанием 4>1 возрастает на R, поэтому, опуская основания
степеней, знак неравенства сохраним:
5-2x<-1;
— 2x<-1-5;
— 2x<-6 |:(-2) при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак
неравенства меняют на противоположный:
x>3.
Ответ: (3; +∞).
2) 0,42х+1≥0,16.
Представим число 0,16 в виде степени числа 0,4. Получаем:
0,42х+1≥0,42; основание степеней – число 0,4 — удовлетворяет условию: 0<0,4<1; поэтому,
опускаем основания степеней, а знак неравенства меняем на противоположный:
2х+1≤2;
2х≤2-1;
2х≤1 |:2
x≤0,5.
Ответ: (-∞; 0,5].
3) 23-x+21-x>40. Применим формулу: ax+y=ax∙ay. Запишем неравенство в виде:
23∙2-x+21∙2-x>40; Вынесем общий множитель за скобки:
2-x∙(23+21)>40; упрощаем левую часть:
2-x∙(8+2)>40;
2-x∙10>40 |:10
2-x>4;
2-x>22; основание степени — число 2>1, значит, знак неравенства сохраняем:
— x>2 |:(-1) при делении обеих частей неравенства на отрицательное число — знак
неравенства меняют на противоположный:
x<-2.
Ответ: (-∞; -2).
4) 3x+2+3x+1+3x≤39. Применяем формулу: ax∙ay=ax+y
3x∙32+3x∙31+3x≤39; вынесем общий множитель за скобки:
3x∙(32+31+1)≤39; упрощаем левую часть неравенства:
3x∙(9+3+1)≤39;
3x∙13≤39 |:13
3x≤3;
3x≤31; Показательная функция с основанием 3 (3>1) является возрастающей, поэтому, знак
неравенства сохраним:
x≤1.
Ответ: (-∞; 1].
Решение показательных уравнений,
приводящихся к квадратным уравнениям
Многие показательные уравнения заменой переменной сводятся к квадратному
уравнению вида: ax2+bx+c=0.
Примеры.
Решить уравнение:
1) 4x+2x+1-3=0. Представим 4x в виде степени с основанием 2.
(22)x+2x∙21-3=0; при возведении степени в степень основание оставляют, а показатели
перемножают: 2·х=х·2, поэтому:
(2x)2+2∙2x-3=0;
вводим новую переменную: пусть 2x=y;
y2+2y-3=0.
Дискриминант для четного второго коэффициента: D1=12-1∙(-3)=1+3=4=22 – полный
квадрат, поэтому применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного
уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а
произведение корней равно свободному члену.
y1+y2=-2, y1∙y2=-3. Подбираем корни: y1=-3, y2=1.
Возвращаемся к переменной х:
1) 2x=-3, нет решений, так как значения показательной функции: Е(у)=(0; +∞). (только
положительные числа).
2) 2x=1. Число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.
2x=20;
x=0.
Ответ: 0.
2) 0,252x-5∙0,52x+4=0. Решаем аналогично. Представляем 0,252x— в виде степени с
основанием 0,5.
(0,52)2x-5∙0,52x+4=0;
(0,52x)2-5∙0,52x+4=0.
0,52x=y; ввели новую переменную у и получили приведенное квадратное уравнение:
y2-5y+4=0;
Дискриминант D=b2-4ac=52-4∙1∙4=25-16=9=32 — полный квадрат, применяем теорему
Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
y1+y2=5, y1+y2=4. Корни приведенного квадратного уравнения находим подбором: y1=1,
y2=4 и возвращаемся к переменной х:
1) 0,52x=1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.
0,52x=0,50;
2x=0;
x=0.
2) 0,52x=4; приведем степень 0,52x к основанию 2, применив формулу: (1/a)x =а-х
(1/2)2x=22;
2-2x=22; приравниваем показатели:
— 2x=2 |:(-2)
x=-1.
Ответ: -1; 0.
Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 4, используя формулы: ах=1/ax и ax∙ay=ax+y .
Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то основания можно опустить и
приравнять показатели степеней. Переносим дробь из правой части равенства в левую и
упрощаем левую часть.
Находим дискриминант приведенного квадратного уравнения. Дискриминант является
квадратом целого числа, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета: сумма
корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с
противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Решение показательных неравенств,
приводящихся к квадратным
неравенствам
При решении показательных неравенств, приводящихся к квадратным неравенствам,
поступают так же, как в примерах решения показательных уравнений, приводящихся к
квадратным уравнениям, т. е. делают замену переменных, получают квадратное
неравенство, которое решают, а затем возвращаются к прежней переменной.
Примеры.
Решить неравенство:
1) (0,5)2x+2<3∙(0,5)x.
Сделаем замену: пусть (0,5)х=у. Получаем неравенство:
у2+2<3y или y2-3y+2<0.
Разложим квадратный трехчлен y2-3y+2 на линейные множители по формуле:
ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2), где х1 и х2 – корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0.
Находим корни приведенного квадратного уравнения y2-3y+2=0. Дискриминант D=b24ac=32-4∙1∙2=9-8=1=12. Так как дискриминант является полным квадратом, то применим
теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму
коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно
свободному члену.
у1+у2=3, у1∙у2=2. Отсюда: у1=1, у2=2. Значит, y2-3y+2=(у-1)(у-2).
Решаем неравенство: (у-1)(у-2)<0 методом интервалов.
Получаем: ує(1; 2), отсюда: (0,5)хє(1; 2).
(0,5)х=1 → (0,5)х=(0,5)0 → х=0.
(0,5)х=2 → (1/2)x=2 → 2— x=21 → -x=1; x=-1. Значит, хє(-1; 0).
Ответ: (-1; 0).
2) 9x-1<3x-1+6.
Представим 9х-1 в виде степени числа 3.
32 (x-1)<3x-1+6. Сделаем замену: 3х-1=у. Тогда получается квадратное неравенство: у2<y+6.
Переносим слагаемые в левую часть.
у2-у-6<0. Находим корни приведенного квадратного уравнения у2-у-6=0. Проверим,
возможно ли применить теорему Виета, ведь ею пользуются только, если корни являются
целыми числами. Гарантией этого будет дискриминант, который должен быть полным
квадратом некоторого числа. Находим дискриминант D=b2-4ac=1-4∙(-6)=1+24=25=52.
Дискриминант является полным квадратом числа 5, поэтому, подбираем корни, пользуясь
теоремой Виета: у1+у2=1, у1∙у2=-6. Подходят значения: у1=-2 и у2=3.
Раскладываем левую часть неравенства на линейные множители, получаем:
(у+2)(у-3)<0. Решаем полученное неравенство методом интервалов.
ує(-2; 3). Возвращаемся к переменной х:
3х-1є(-2; 3), но так как отрицательных значений степень 3х-1 принимать не может, то
запишем: 3х-1є(0; 3). Определим интервал значений переменной х.
3х-1→0 при х-1 → -∞, так как число 3 в степени, стремящейся к минус бесконечности,
фактически будет равным нулю, значит, х→ -∞.
Далее, 3х-1=3 → 3х-1=31 → х-1=1 → х=2.
Получили хє(-∞; 2).
Ответ: (-∞; 2).
Решение систем показательных
уравнений
Что является обязательным при решении системы показательных уравнений?
Конечно, преобразование данной системы в систему простейших уравнений.
Примеры.
Решить системы уравнений:
Выразим у через х из (2) -го уравнения системы и подставим это значение в (1) -ое
уравнение системы.
Решаем (2) -ое уравнение полученной системы:
2х+2x+2=10, применяем формулу: ax+y=ax∙ay.
2x+2x∙22=10, вынесем общий множитель 2х за скобки:
2х(1+22)=10 или 2х∙5=10, отсюда 2х=2.
2х=21, отсюда х=1. Возвращаемся к системе уравнений.
Ответ: (1; 2).
Решение.
Представляем левую и правую части (1) -го уравнения в виде степеней с основанием 2, а
правую часть (2) -го уравнения как нулевую степень числа 5.
Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то равны и показатели этих
степеней — приравниваем показатели степеней с основаниями 2 и показатели степеней с
основаниями 5.
Получившуюся систему линейных уравнений с двумя переменными решаем методом
сложения.
Находим х=2 и это значение подставляем вместо х во второе уравнение системы.
Находим у.
Ответ: (2; 1,5).
Решение.
Если в предыдущих двух примерах мы переходили к более простой системе приравнивая
показатели двух степеней с одинаковыми основаниями, то в 3-ем примере эта операция
невыполнима. Такие системы удобно решать вводом новых переменных. Мы введем
переменные u и v, а затем выразим переменную u через v и получим уравнение
относительно переменной v.
Решаем (2) -ое уравнение системы.
v (v+63)=64;
v2+63v-64=0. Подберем корни по теореме Виета, зная, что: v1+v2=-63; v1∙v2=-64.
Получаем: v1=-64, v2=1. Возвращаемся к системе, находим u.
Так как значения показательной функции всегда положительны, то уравнения 4 x=-1 и 4y=64 решений не имеют.
Представляем 64 и 1 в виде степеней с основанием 4.
Приравниваем показатели степеней и находим х и у.
Ответ: (3; 0).
Ответ: (2; 1).
Логарифмы. Общая формула перехода к
новому основанию
logab=logcb/logca
Логарифм числа b по основанию а равен логарифму числа b по новому основанию с,
деленному на логарифм старого основания а по новому основанию с.
Примеры:
1) log23=lg3/lg2;
2) log87=ln7/ln8.
Вычислить:
1) log57, если известно, что lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.
Решение. Применяем формулу: logab=logcb/logca.
log57=lg7/lg5≈0,8451:0,6990≈1,2090.
Ответ: log57≈1,2090≈1,209.
2) log57, если известно, что ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.
Решение. Применяем формулу: logab=logcb/logca.
log57=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.
Ответ: log57≈1,2091≈1,209.
Найдите х:
1) log3x=log34+log56/log53+log78/log73.
Используем формулу: logcb/logca=logab. Получаем:
log3x=log34+log36+log38;
log3x=log3(4∙6∙8);
log3x=log3192;
x=192.
2) log7x=lg143-log611/log610-log513/log510.
Используем формулу: logcb/logca=logab. Получаем:
log7x=lg143-lg11-lg13;
log7x=lg143- (lg11+lg13);
log7x=lg143-lg (11∙13);
log7x=lg143-lg143;
log7x=0;
x=70;
x=1.
Логарифм степени
logabk=k∙logab Логарифм степени (bk) равен произведению показателя степени (k) на
логарифм основания (b) этой степени.
Примеры:
1) log516=log524=4log52.
2) log59=log532=2log53.
Найти: 1) log524, 2) log5162, если известно, что log52=a, log53=b.
Решение. Применяем формулы логарифма произведения: loga(x∙y)=logax+logay
и логарифма степени: logabk=k∙logab.
1) log524=log5(8∙3)=log58+log53=log523+log53=3log52+log53=3a+b.
2) log5162=log5(2∙81)=log52+log581=log52+log534=log52+4log53=a+4b.
Решить уравнение:
1) log23+2log2(x-1)=log227.
Решение.
Представим левую часть в виде логарифма по основанию 2. Для этого
преобразуем 2log2(x-1) в логарифм степени, а затем сумму логарифмов в логарифм
произведения:
log23+log2(x-1)2=log227;
log2(3∙(x-1)2)=log227. Потенцируем:
3∙(x-1)2=27 |:3
(x-1)2=9
(x-1)2=32
x-1=3
или
x=3+1,
x=4
x-1=-3.
x=-3+1.
или
x=-2.
Анализируем полученные результаты: значение х=-2 не удовлетворяет условию
существования логарифма log2(x-1), т.к.
под знаком логарифма могут находиться только положительные числа.
Сделаем проверку для х=4.
Проверка. Подставим вместо х число 4 в данное уравнение.
log23+2log2(4-1)=log227
log23+2log23=log233
3log23=3log23.
Ответ: 4.
2) 3log5(x+5) -log52=log54.
Решение.
3log5(x+5)=log54+log52;
log5(x+5)3=log5(4∙2);
log5(x+5)3=log58;
(x+5)3=8;
(x+5)3=23
x+5=2;
x=2-5;
x=-3.
Проверка.
3log5(-3+5) -log52=log54
3log52-log52=log522
2log52=2log52.
Ответ: -3.
Логарифм от числа в степени k по
основанию, взятому в степени n
loganbk=(k/n)∙logab Формула является комбинацией двух формул:
logabk=k∙logab и loganb=(1/n)∙logab.
Примеры.
Найти: 1) log881+log1627, если log23=a; 2) log258+log125128, если log52=b.
Решение.
Решить уравнение:
Формула представления любого числа в
виде логарифма
p=logaap Любое число можно представить в виде логарифма по любому основанию.
Под знаком логарифма могут находиться только положительные числа, причем,
основание логарифма не равно единице.
Примеры.
I. Представить число 2 в виде логарифма по основанию: 1) 3; 2) 5; 3) 10.
Решение.
1) 2=log33²=log39;
2) 2=log55²=log525;
3) 2=lg10²=lg100.
II. Представить в виде десятичного логарифма числа: 1) -1; 2) -2; 3) -3.
Решение.
1) -1=lg10-1=lg0,1;
2) -2=lg10-2=lg0,01;
3) -3=lg10-3=lg0,001.
Решить уравнение:
1) lg (x-9)+lg (2x-1)=2.
Решение.
lg ((x-9)(2x-1))=lg102; представили сумму логарифмов в виде логарифма произведения и
число 2 в правой части равенства записали в виде десятичного логарифма (логарифма с
основанием 10).
lg (2x2-18x-x+9)=lg100; упростили выражения под знаками логарифмов.
2x2-19x+9=100; получили после потенцирования.
2x2-19x-91=0. Получили квадратное уравнение вида: ax2+bx+c=0.
a=2, b=-19, c=-91. Решим квадратное уравнение по общей формуле.
D=b2-4ac=(-19)2-4∙2∙(-91)=361+728=1089=332>0; два действительных
корня:
Проверка. Значение х=-3,5 не удовлетворяет условию существования логарифма.
Проверяем данное равенство при х=13.
lg (13-9)+lg (2∙13-1)=2;
lg4+lg25=2;
lg (4∙25)=2;
lg100=2;
2=2.
Ответ: 13.
2) log3(x+1)+log3(x+3)=1.
Решение.
Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения, единицу в правой части
представим в виде логарифма с основанием 3:
log ((x+1)(x+3))=log33;
log (x2+x+3x+3)=log33. Потенцируем:
x2+4x+3=3;
x2+4x=0;
x (x+4)=0;
x=0 или x+4=0;
x=-4.
Анализируем результаты: х=-4 не подойдет, так как при этом значении под знаком
логарифма окажутся отрицательные числа, что недопустимо. Проверим значение х=0.
Проверка.
log3(0+1)+log3(0+3)=1;
(log31+log33=1;
0+1=1;
1=1.
Ответ: 0.
Показательная функция, ее свойства и
график


Функцию вида y=ax, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной
функцией.
Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех
действительных чисел.



Область значений показательной функции: E (y)=R+ - множество всех
положительных чисел.
Показательная функция y=ax возрастает при a>1.
Показательная функция y=ax убывает при 0<a<1.
Справедливы все свойства степенной функции:









а0=1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
а1=а Любое число в первой степени равно самому себе.
ax∙ay=ax+y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание
оставляют прежним, а показатели складывают.
ax:ay=ax- y При делении степеней с одинаковыми основаниями основание
оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель
степени делителя.
(ax)y=axy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а
показатели перемножают
(a∙b)x=ax∙by При возведении произведения в степень возводят в эту степень
каждый из множителей.
(a/b)x=ax/by При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и
знаменатель дроби.
а-х=1/ax
(a/b)-x=(b/a)x.
Примеры.
1) Построить график функции y=2x. Найдем значения функции
при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.
x=0, y=20=1;
Точка А.
x=1, y=21=2;
Точка В.
x=2, y=22=4;
Точка С.
x=3, y=23=8;
Точка D.
x=-1, y=2-1=1/2=0,5;
Точка K.
x=-2, y=2-2=1/4=0,25;
Точка M.
x=-3, y=2-3=1/8=0,125; Точка N.
Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у.
Функция y=2x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание
функции 2>1.
2) Построить график функции y=(1/2)x. Найдем значения функции
при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.
x=0, y=(½)0=1;
x=1, y=(½)1=½=0,5;
Точка B.
x=2, y=(½)2=¼=0,25;
Точка C.
x=3, y=(½)3=1/8=0,125;
Точка D.
x=-1, y=(½)-1=21=2;
Точка K.
x=-2, y=(½)-2=22=4;
Точка M.
x=-3, y=(½)-3=23=8;
Точка N.
Точка A.
Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y.
Функция y=(1/2)x убывает на всей своей области определения: D (y)=R, так как основание
функции 0<(1/2)<1.
3) В одной координатной плоскости построить графики функций:
y=2x, y=3x, y=5x, y=10x. Сделать выводы.
График функции у=2х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично,
причем, достаточно будет найти значения функций при х=0 и при х=±1.
Переменная х может принимать любое значение (D
(y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля (E (y)=R+).
Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в
нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как
положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше
основание а (если a>1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси
Оу.
Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента
соответствует и большее значение функции.
4) В одной координатной плоскости построить графики функций:
y=(1/2)x, y=(1/3)x, y=(1/5)x, y=(1/10)x. Сделать выводы.
Смотрите построение графика функции y=(1/2)x выше, графики остальных функций
строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х=±1.
Переменная х может принимать любое значение: D
(y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R+.
Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в
нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как
положительное число в любой степени не может быть равным нулю.
Чем меньше основание а (при 0<a<1) показательной функции у=ах, тем ближе
расположена кривая к оси Оу.
Все эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента
соответствует меньшее значение функции.
Решить графически уравнения:
1) 3x=4-x.
функций: у=3х и у=4-х.
В одной координатной плоскости построим графики
Графики пересеклись в точке А(1; 3).
Ответ: 1.
2) 0,5х=х+3.
В одной координатной плоскости строим графики функций: у=0,5 х
(y=(1/2)x )
и у=х+3.
Графики пересеклись в точке В(-1; 2).
Ответ: -1.
Найти область значений функции: 1) y=-2x; 2) y=(1/3)x+1; 3) y=3x+1-5.
Решение.
1) y=-2x
Область значений показательной функции y=2 x – все положительные числа, т.е.
0<2x<+∞. Значит, умножая каждую часть двойного неравенства на (-1), получаем:
— ∞<-2x<0.
Ответ: Е(у)=(-∞; 0).
2) y=(1/3)x+1;
0<(1/3)x<+∞, тогда, прибавляя ко всем частям двойного неравенства число 1, получаем:
0+1<(1/3)x+1<+∞+1;
1<(1/3)x+1<+∞.
Ответ: Е(у)=(1; +∞).
3) y=3x+1-5.
Запишем функцию в виде: у=3х∙3-5.
0<3x<+∞; умножаем все части двойного неравенства на 3:
0∙3<3x∙3<(+∞)∙3;
0<3x∙3<+∞; из всех частей двойного неравенства вычитаем 5:
0-5<3x∙3-5<+∞-5;
— 5<3x∙3-5<+∞.
Ответ: Е(у)=(-5; +∞).