Лекция 23. Тема: изменении цены и изменение спроса при изменении дохода. Предельное

Кафедра математики и моделирования
Старший преподаватель Е.Г. Гусев
Курс «Высшая математика»
Лекция 23.
Тема: Моделирование ценовой политики.
Цель: Рассмотреть изменение спроса при
изменении цены и изменение спроса при
изменении дохода. Предельное
ценообразование.
Имеем уравнение
Вида
n
 pj
j 1
x
*
j
p n
x
*
n
*

x
 u( x )
 0, i  1,..., n  1,
j 1 x x p  pi p  * , i  n.
i
j
n
n

n
2
*
*
j
Система из линейного
уравнения (1)
• Относительно (n+1) неизвестного
x

,
p n p n
*
*
1
x n*
,...,
p n
в матричной форме запишется следующим образом ,
 0

  pT

 *

 p  p n

*



x
U 

 p n
  *
  xn 
 0 
 
  * 


(2)
• где Т - означает транспонирование,Р- вектор – строка
цен,U* - матрица Гессе,X - вектор – столбец спроса на
товары.
Таким образом, увеличение
на n-й товар
цены привело к
следующему
изменению
спроса на товары:
x
1 T *
*
1 T
1
1
dpn  U p xn dp n   ( U p pU  U ) n dpn
pn
*
Рассмотрим
такое увеличение дохода на
dM,
которое компенсирует потребителю
увеличение цены на dpn. Согласно
теории потребления это означает, что
полезность
потребителя
сохранилась на прежнем уровне, то
есть dun=0. L  u ( xi* )  * pi  0
xi xi
Используя
получим
*
n
n

x
u * *
du  
( x )dxi  *  pi dxi*  *  pi i dp n  0
p n
i 1 xi
i 1
i 1
n
Условие постоянства
полезности
Теперь
можем
определить
dM,
n
x
*
используя
dM   p
dp  x dp  x dp
pjxj  M

p
j 1
:
то есть доход вырос ровно на столько,
сколько необходимо было бы
дополнительно затратить потребителю
на приобретение n-го товара в прежнем
объеме при увеличении цены на dpn.
*
i
n
i 1
i
n
n
*
n
n
*
n
n
Которые в матричной форме примут вид:
 0

T
 p
 *

 p  p n

*


x
U 

 p n


   0 
  * 


• Решение уравнений
 0

  pT

 *

 p  p n

x *
U 


 p n


0 



* 
 
 
 

находим с помощью обратной матрицы:
 *

 p n
 x *

 p n


   
  U 1 p T
 


 0  
* ( pU 1 ) n



  *
1 T
1
1
1 T
1
1  * 
U p pU  U      ( U p pU  U ) n 
pU 1
Таким образом, увеличение цены с
компенсацией дохода приводит к
следующему изменению спроса:
 x 
*
1 T
1
1

 dp n   ( U p pU  U ) n dp n
 p n  comp
*
x *
dp n  U 1 p T x n* dp n  * ( U 1 p T pU 1  U 1 ) n dp n
p n
 x *

 p n


dp n  * ( U 1 p T pU 1  U 1 ) n dp n
 comp
x *
  U 1 p T
M
получаем уравнение Слуцкого, которое
является стержнем теории полезности:
 x *
x *

 p
p n
n


x * *


xn

M
 comp
Ценный и малоценный
товар
Товар i называется ценным если при
увеличении дохода спрос на него растет
x
0
M
и малоценным, если
*
i
xi*
0
M
Валовой заменитель продукта
Продукт L называется
валовым заменителем
*

x
продукта i если l  0
pi
Функция спроса Х*(р;м) обладает
свойством валовой заменимости, если
с увеличение цены на любой продукт I
спрос на остальные продукты не
убывает x  0 x  0
p
p
если же
, то функция
спроса обладает свойством сильной
валовой заменимости.
*
j
*
j
i
i
Вопросы:
1)Какие составляющие решения ценовой
политики?
2)В чем заключается свойство валовой
заменимости?