Дисциплина «Математическая экономика» Специальность №08080165 «Прикладная информатика (в экономике)» Институт информатики, инноваций и бизнес систем Кафедра информатики, инженерной и компьютерной графики Старший преподаватель Слугина Н.Л. Производственные функции СОДЕРЖАНИЕ 1. Ключевые понятия 2. Учебный материал 3. Вопросы для самопроверки 4. Рекомендуемая литература 2 КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ Производственная функция Функция Кобба-Дугласа Мультипликативная функция Функция издержек Функция дохода Функция спроса и предложения Функция полезности Эластичность 3 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ Основные задачи лекции Раскрыть основные понятия производственной функции. Описать основные виды производственных функций. Раскрыть понятие эластичности. 4 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ Производственная функция (функция выпуска) функция, связывающая объём выпускаемой продукции с потребляемыми ресурсами Y = Y ( K , L ), здесь Y – объём выпускаемой продукции, K – объём используемого капитала, L – количество единиц затрачиваемого труда (живой труд), который тоже может исчисляться в стоимостном выражении. В данном случае производственная функция (ПФ) называется двухфакторной, поскольку зависит от двух аргументов 5 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ Производственная функция Кобба-Дугласа На практике при моделировании отдельной отрасли, региона или страны часто используют ПФ следующего вида: a 1-a = Y A K L , где параметры А, a – положительные Такая функция называется ПФ Кобби-Дугласа по имени американских математика Кобби и экономиста Дугласа, предложивших её использовать в 1928 году. 6 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ Мультипликативная производственная функция задается выражением a b = Y A K L . здесь А называется коэффициентом нейтрального технического прогресса, a , b - коэффициенты эластичности по труду и капиталу. Если a + b = 1 ,то мультипликативная ПФ носит название функции Кобба-Дугласа 7 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ Если a + b > 1 , то выпуск растет быстрее затраченных ресурсов (растущая экономика); Если a + b < 1 , то потребление ресурсов неэффективно, в случае ПФ Кобба-Дугласа соблюдается пропорциональный рост на масштаб ресурса. 8 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ Мультипликативная ПФ имеет ряд свойств, которые соответствуют реальной экономике: Увеличение ресурса приводит к увеличению конечного продукта. При монотонном увеличении ресурсов скорость роста объема продукции будет уменьшаться. 9 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ Изокванта – геометрическое место точек, в которых различные сочетания факторов производства дают одно и то же количество продукции. Изоклиналь – линия наибольшего роста производственной функции. 10 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ Функция издержек показывает зависимость объёма затрат (издержек) от объёма выпускаемой продукции. Обычно полные затраты Z(y) сепарируются на постоянные Zп = const , не зависящие от объёма выпускаемой продукции и переменные затраты, Zпер (Y) являющиеся функцией Y– объёма выпускаемой продукции. Например, для функции получаем 11 ZП = c 2 = Z (Y ) a Y + b Y + c 2 = Z Пер (Y ) a Y + b Y УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ Функция спроса и предложения связывает величину спроса (предложения) на товар Yc от комплекса факторов. c Y ( p) = C e Функция спроса -bp (здесь C, β – положительные параметры, p – цена на товар) показывает, как спрос убывает с ростом цены. Функция предложения YП(p) является возрастающей, поскольку продавец заинтересован (в отличие от покупателя) в росте цены. П Y ( p) = M p Например, где М – положительный параметр. 12 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ Функция выручки (дохода) определяет полученный доход от объёма реализованного товара и цены за единицу этого товара. ( ) Таким образом, функция выручки W Y C , p имеет вид: c = W (Y , p ) Y p c В частности для заданной функции спроса имеем зависимость только от цены -bp = W ( p) C p e 13 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ Функция прибыли определяется, как разность между функцией выручки и функцией издержекPr = W - Z В случае конкретного вида формул получим: ( -bp 2 = Pr (Y , p ) C p e a Y + b Y + c 14 ) УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ Функция полезности количественно в относительных единицах показывает потребительскую оценку (пользу) данного набора благ Часто эту функцию используют в виде логарифмической зависимости U = ln(n + 1) 15 УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ Понятие эластичности В экономике и социологии это создаёт ряд неудобств, учитывая многообразие входящих в модели размерностей. Поэтому вводится понятие безразмерной производной, или эластичности. Средней эластичностью называется отношение относительного приращения функции к относительному приращению аргумента x Dy Eср. = y Dx Естественно, что эластичностью (мгновенной) называется величина x dy E= 16 y dx УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ Экономический смысл эластичности Она показывает, на сколько процентов изменится результат, если фактор изменить на один процент, поскольку Dy 100 % E y 17 Dx 100 % x УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ Классическую производную dy dx в социально – экономических исследованиях интерпретируют так: она показывает, на сколько изменится результат, если аргумент изменить на 1 единицу, поскольку: dy Dy = Dy = D y. dx Dx 1 Однако формально с математической точки зрения это выполняется только при линейных соотношениях, поскольку в общем случае: dy + y ( x 1) y ( x ). dx 18 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ Опишите производственную функцию выпуска. Опишите производственную функцию Кобба-Дугласа. Опишите мультипликативную производственную функцию. Опишите функцию издержек. Опишите функцию спроса и предложения. Опишите функцию выручки. Опишите функцию прибыли. Раскройте понятие эластичности. 19 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник / Е.М. Четыркин – М.: Дело, 2006 Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002 Данилов Н.Н. Курс математической экономики: Учебное пособие. – М.: Высш. шк., 2006 Альсевич В.В. Введение в математическую экономику. Конструктивная теория: Учебное пособие. – М. Издательство ЛКИ, 2007 20 Использование материалов презентации Использование данной презентации, может осуществляться только при условии соблюдения требований законов РФ об авторском праве и интеллектуальной собственности, а также с учетом требований настоящего Заявления. Презентация является собственностью авторов. Разрешается распечатывать копию любой части презентации для личного некоммерческого использования, однако не допускается распечатывать какую-либо часть презентации с любой иной целью или по каким-либо причинам вносить изменения в любую часть презентации. Использование любой части презентации в другом произведении, как в печатной, электронной, так и иной форме, а также использование любой части презентации в другой презентации посредством ссылки или иным образом допускается только после получения письменного согласия авторов. 21