rang(A)

Системы линейных уравнений.
Метод Гаусса
• Системой m линейных уравнений с n
неизвестными х1, х2, …, хn называется система
вида
(*)
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2

 ...........................................
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
aij - коэффициенты системы, i=1,…,m; j=1,…,n
bi - свободные члены.
• Решением системы (*) называется такой набор
чисел (с1, с2,…, сn), что при его подстановке в
систему вместо соответствующих неизвестных
(с1 вместо х1, …, сn вместо хn) каждое из
уравнений системы обращается в тождество.
Система линейных уравнений
Совместная
Несовместная
(имеет хотя бы одно решение)
(не имеет ни одного решения)
Определённая
(имеет единственное решение)
Неопределённая
(имеет более одного решениябесконечное множество решений)
В случае неопределённой системы каждое её решение
называется частным решением системы. Совокупность
всех частных решений называется общим решением.
• Если b1=b2=…=bm=0, то система называется
однородной; в противном случае она
называется неоднородной.
• Две системы называются эквивалентными или
равносильными, если любое решение одной из
них является также решением другой, т.е. если
они имеют одно и то же множество решений.
(любые две несовместные
эквивалентными)
системы
считаются
• Элементарными преобразованиями линейной
системы называются следующие преобразования:
- перестановка уравнений системы;
- умножение или деление коэффициентов и свободных
членов на одно и то же число, отличное от нуля;
- сложение и вычитание уравнений;
- исключение из системы тех уравнений, в которых все
коэффициенты и свободные члены равны нулю.
• Систему (*) можно записать в матричной форме:
АХ=В,
где
 a11 a12 ... a1n 

 a21
A
...

a
 m1
a22
...
am 2

... a2 n 
... ... 

... amn 
 x1 
  матрица-столбец
 x2 
X    (вектор-столбец)

  неизвестных
x 
 n
матрица коэффициентов
системы;
 b1 
 
 b2 
B 

 
b 
 m
матрица-столбец
(вектор-столбец)
свободных членов
• Расширенной матрицей системы (*) называется
матрица
 a11

 a21
A B   
...

a
 m1
a12
a22
...
am 2
А
... a1n b1 

... a2 n b2 
... ... ... 

... amn bm 
В
Исследование системы линейных
уравнений.
• Теорема Кронекера-Капелли.
Система линейных уравнений (*) совместна
тогда и только тогда, когда ранг матрицы
системы равен рангу расширенной матрицы
системы:
rang ( A)  rang ( A B)
Исследовать систему линейных уравнений означает
определить, совместна она или нет, а для
совместной системы- выяснить, является ли она
определенной или нет.
1) Если rang(A)≠rang(AB), то система несовместна.
2) Если rang(A)=rang(AB)=n (где n- число неизвестных), то
система совместна и определённа (имеет единственное
решение).
3) Если rang(A)=rang(AB)<n (где n- число неизвестных), то
система совместна и неопределённа (имеет бесконечное
множество решений).
Правила решения произвольной системы
линейных уравнений.
 Найти ранги основной и расширенной матриц
системы. Если rang(A)≠rang(AB), то система
несовместна.
 Если rang(A)=rang(AB)=r, то система совместна.
Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r
уравнений, из элементов которых составлен базисный
минор. Неизвестные, коэффициенты которых входят в
базисный минор, называют базисными или главными,
а остальные n-r неизвестных называют свободными.
 Выразить базисные (главные) неизвестные через
свободные.
 Придавая свободным неизвестным произвольные
значения,
получим
соответствующие
значения
базисных (главных) неизвестных. Таким образом
находим частные решения исходной системы
уравнений.
3. Метод Гаусса
(метод последовательного исключения неизвестных)
Систему уравнений приводят к эквивалентной
ей системе с треугольной матрицей (к
ступенчатому виду).
Из
полученной
треугольной
системы
переменные
находят
с
помощью
последовательных подстановок.
1. Исследовать систему линейных уравнений. Если
она совместна, то найти её общее и одно частное
решение.
 x1  x2  x3  x4  4
 2 x  x  3x  2 x  1
 1 2
3
4

 x1  x3  2 x4  6
 3x1  x2  x3  x4  0
Прямой ход
 x1  x2  x3  x4  4
 2 x  x  3x  2 x  1
 1 2
3
4

 x1  x3  2 x4  6
 3x1  x2  x3  x4  0
 1 1 1 1

 2 1 3  2
 1 0 1 2

 3 1 1 1

4

1
6

0 
×(-2) ×(-1) ×(-3)
→
 1 1 1 1 4 


0  3 5  4  7 
 0 1 0
1 2 


 0  4 4  4  12  : (-4)


→
1

0
0

0

→
1 4

1 1 1 3 
0  1 2 5  ×2 : (-1)

0 2  1 2 
 1 1 1 1

 0 1 1 1
 0 1 0
1

0  3 5  4

1 1
→
1

0
0

0

4

×3
3 
+
2 

 7 
4

1 1 1 3 
0 1  2  5

0 0
3 12 
1 1
1
А
AB
rang(A)=rang( AB)=4=n
система совместна и имеет
единственное решение
обратный ход
 x1  x2  x3  x4  4

x 2  x3  x 4  3


x3  2 x4  5


3x4  12
 x4  4
x  2x  5
 3
4

 x2  x3  x4  3
 x1   x2  x3  x4  4
 x4  4
x  3
 3
 
 x2  2
 x1  1
Ответ: (1; 2; 3; 4)
2. Исследовать систему линейных уравнений. Если
она совместна, то найти её общее и одно частное
решение.
 x1  2 x2  2 x3  3x4  1
 6 x  3x  3x  x  9
 1
2
3
4

  7 x1  x2  x3  2 x4  8
  3x1  9 x2  9 x3  10 x4  12
 x1  2 x2  2 x3  3x4  1
 6 x  3x  3x  x  9
 1
2
3
4

  7 x1  x2  x3  2 x4  8
  3x1  9 x2  9 x3  10 x4  12
 1
2
2
3 1 


 6  3  3 1  9 
 7 1
1 2 8 


3 9

9
10
12


×(-6) ×7
×3
→
→
1 2
2
3

 0  15  15  19
 0 15
15
19

 0 15
15
19

1 

 15 
15 

15 
+ →
rang(A)=rang(AB)=2<(n=4)
базисный минор порядка r =2:
1 2
2
3

 0  15  15  19
0 0
0
0

0 0
0
0

1 

 15 
0 

0 
система совместна и
имеет
бесконечное
множество решений
1 2
0
0  15
базисные переменные: х1, х2
свободные переменные n - r = 2: х3, х4.
 x1  2 x2  2 x3  3x4  1

15 x2  15 x3  19 x4  15
 x1  2 x2  2 x3  3x4  1

15 x2  15 x3  19 x4  15
 x1  2 x2  2 x3  3x4  1

 x   x  19 x  1
2
3
4

15
19


x1  2    x3  x4  1  2 x3  3x4  1
15


38
x1  2 x3 
x4  2  2 x3  3 x4  1
15
7
x1   x4  1
15
7
19

  1  x 4 ; 1  x3  x 4 ;
15
15

х1
х2
x3 ;

x4 

общее решение
пусть
x3  0; x4  0
1;
тогда частное решение
1; 0; 0
Делаем проверку и записываем ответ:
Ответ:


общее решение:   1 
частное решение:
7
19
x 4 ; 1  x3  x 4 ;
15
15
1;
1; 0; 0
x3 ;

x4 

3. Исследовать систему линейных уравнений. Если
она совместна, то найти её общее и одно частное
решение.
 x1  x2  x3  4

 x1  2 x2  3x3  0
  2x  2x  3
1
3

 1 1 1  4


 1 2 3 0 
 2 0  2 3 


×(-1)
×2
 1 1 1  4


→  0 1  2 4  ×(-2)
0 2  4  5 


→
 1 1 1  4 


→ 0 1  2 4 
 0 0 0  13 


rang(A)=2;
rang(AB)=3
А
AB
rang(A)≠rang(AB) ⇒ система несовместна
Ответ: система несовместна
 x1  x2  x3  4

x2  2 x3  4


0 x3  13

• Если b1=b2=…=bm=0, то система называется
однородной.
Однородная система линейных уравнений.
Пусть дана система m линейных однородных
уравнений с n неизвестными х1, х2, …, хn:
 a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  0
 a x  a x  ...  a x  0
 21 1 22 2
2n n

 ...........................................
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  0
• Однородная система всегда совместна,
так как существует тривиальное решение
х1= х2=…=хn=0
• Однородная система имеет бесконечное
множество решений, тогда и только
тогда, когда rang(A)<n
1. Решить систему линейных уравнений :
0
 2 x1  6 x2  x3
 x  2x  2x  4x  0
 1
2
3
4

 x1  4 x2  5 x3  4 x4  0
 3x1
 x3  2 x 4  0
Запишем расширенную матрицу и приведём её к ступенчатому
виду:
2

1
 1

3

0 0
2


2  2 4 0
1
 

4 5 4 0
1


3
0 1
2 0 

6
1

2
 
1

3

1
2 2 4 

6 1
0 
4 5  4

0 1
2 
×(-2)
0 

2 2 4 
4 5  4

0 1
2 
6
1
×(-3)
+
→
→
1 2  2 4 


5
 8  ×(-3)
0 2
 
0 6
3
0 


 0  6 7  10 


1

0
 
0

0

2 2
2 5
0  12
0
22



 : 12

 34  : 2
4
8
24
×3
1

0
 
0

0

→
2 2
2 5
0 1
0
11
4 

8 
2 

 17 
×11
1

0
 
0

0

1 2  2 4
4


5  8
0 2 5 8
 

1 2
0 0 1 2


0 0 0
0
5 
5

2 2
2
0
0
0

0
0

0 
А
AB
rang(A)=rang(AB)=4=(n=4) ⇒
система совместна и определённа, то есть имеет единственное
решение х1= х2= х3 =х4=0.
1

0
0

0

4 0

5  8 0
1 2 0 

0
5 0 
2 2
2
0
0
 x1  2 x2  2 x3  4 x4  0

2 x 2  5 x3  8 x 4  0


 x3  2 x 4  0


5 x4  0
 x1  0
x  0

  2
 x3  0
 x4  0
Ответ: (0, 0, 0, 0)
2. Решить систему линейных уравнений :
 x1  x2  x3  0

2 x1  x2  x3  0
 1 1 1 


 2 1  1
×(-2)
 1 1 1 

 
→
 0 3  3 : 3
 1 1 1 

 
 0 1  1
система совместна и
имеет
бесконечное
множество решений
rang(A)=rang(AB)=2<(n=3)
базисный минор порядка r =2:
1 1
0
базисные переменные: х1, х2
свободные переменные n - r = 1: х3
1
0
 x1  x2  x3  0

x2  x3  0

⇒
 x1  x2  x3

x2  x3

x1  x3  x3  0
Тогда общее решение системы:
(0, х3, х3)
Пусть
x3  1 , тогда частное решение: (0; 1; 1)
Делаем проверку и получаем ответ:
Ответ:
общее решение: (0; х3; х3)
частное решение: (0; 1; 1)