Лекция 2. Принцип наименьшего времени Ферма в геометрической оптике

Лекция 2. Принцип наименьшего времени
Ферма в геометрической оптике
2.1. Принцип Ферма
Оптической длиной линии или оптической длиной пути в
неоднородной среде называют произведение элементов длины этой
линии dl на показатель преломления среды в данной точке и
просуммированное вдоль рассматриваемой линии
(ОGA) 
 ndl
2.1
ОGA
где dl – вектор элементарного смещения вдоль этого контура.
G
Рис. 2.1. Лучи и поверхности
постоянной фазы для излучения
точечного источника
Оптические длины всех лучей между двумя
волнового фронта равны между собой (рис.2.1).
положениями
Пьер Ферма (1601–1665) выдвинул принцип, согласно которому
свет при распространении из одной точки в другую выбирает
путь,
которому
соответствует
наименьшее
время
распространения. Ферма руководствовался теологическими
соображениями,
согласно
которым
природа
действует
целенаправленно: она не может быть расточительной и должна
достигать своих целей с наименьшей затратой средств. Верность
принципа была продемонстрирована уже самим Ферма, который с
его помощью получил закон преломления Снеллиуса (1.2.3) и
выражение для показателя преломления, следующее из волновой
теории света. Он показал, что свет в более преломляющей среде
имеет меньшую скорость, чем в менее преломляющей.
Допустим, что показатель преломления среды меняется в
пространстве непрерывно и достаточно медленно, так что
выполнены условия применимости геометрической оптики. Пусть в
среде распространяется волна вида
E = a(r) exp(it – k0Ф).
Ей соответствует система лучей, представленная на рис. 2.2.
Если фаза волны (эйконал) однозначная функция координат, то из
уравнения gradФ = nN следует, что циркуляция вектора nN по
любому замкнутому контуру равна нулю, т.е.
2.2
nN,d l   0

где dl – вектор элементарного смещения вдоль этого контура, N –
единичный вектор нормали к фронту волны.
Возьмем две произвольные точки А и В, лежащие на одном из
лучей. Соединим их произвольной линией АDВ. В силу условия
 nN,d l   0
Рис. 2.2. Система световых лучей от
точечного
источника
N.
(К
доказательству принципа Ферма)
имеем
 nN, d l    nN, d l 
ACB
ADB
Но на луче АСВ векторы N и dl параллельны, следовательно, (N, dl)
= dl, на линии АDВ (N, dl) = dl cos , (N, dl)  dl. Поэтому

ndl 
ACB

ndl
2.3
ADB
Знак равенства относится к случаю, когда кривая АDВ сама является
лучом. Таким образом, если показатель преломления меняется в
пространстве непрерывно, то оптическая длина луча между
любыми двумя точками меньше оптической длины всякой
другой линии, соединяющей те же точки. Но это есть другая
формулировка принципа Ферма, т.к. n = c/v и оптическая длина
пропорциональна времени  распространения света вдоль него:
c
 ACB   dl  c ACB
 ACB  v
Основным понятием геометрической оптики является световой луч.
Световой луч  это геометрическая линия,
вдоль
которой
распространяется
электромагнитное излучение (энергия световых
колебаний).
2.2. Применения принципа Ферма
Рассмотрим еще ряд следствий из принципа наименьшего времени.
Первое из них – принцип обратимости. Если мы нашли путь из А в
В, требующий наименьшего времени, то и путь из В в А также будет
оптимальным, поскольку скорость света нe зависит от направления.
Наименьшему времени в обратном направлении отвечает та же
траектория, и, следовательно, если свет распространяется по
некоторому пути в одном направлении, он будет двигаться по этому
пути и в обратном направлении.
Другой пример состоит в
том, что когда мы смотрим
на заходящее солнце, !то оно
на самом деле находится уже
ниже линии горизонта! Нам
кажется, что солнце еще над
горизонтом,
а
оно
Рис. 2.3. У горизонта Солнце кажется на
фактически
уже
зашло
12 градуса выше, чем на самом деле
(рис.2.3).
Дело здесь в следующем. Земная атмосфера вверху разрежена, а в
нижних слоях более плотная. Свет распространяется в воздухе
медленнее, чем в вакууме, и поэтому солнечные лучи достигнут
какой-то точки за горизонтом быстрее, если будут двигаться не по
прямой линии, а по траектории с более крутым наклоном в плотных
слоях атмосферы, сокращая таким образом свой путь в этих слоях.
Еще пример того же рода – мираж, который часто наблюдают
путешественники на раскаленных солнцем дорогах. Они видят
впереди оазис, а когда подходят туда, то кругом оказывается песок.
Рис. 2.4. Мираж
Сущность явления в следующем. То, что мы видим в этом случае,
это прошедший над песком свет. На рис. 2.4 показано, как
падающий на дорогу луч света попадает нам в глаз. Воздух сильно
раскален над самой дорогой, а в верхних слоях холоднее. Горячий
воздух, расширяясь, становится более разреженным и скорость
света в нем больше, чем в холодном. Свет быстрее проходит в
теплых слоях, чем в холодных. Поэтому свет проходит не по
прямой, а идет по траектории с наименьшим временем, заворачивая
для этого в теплые слои воздуха, чтобы сократить время. Таким
образом, свет идет по кривой.
И еще один пример. Представим себе такую ситуацию, когда весь
свет, испускаемый в точке Р, собирается обратно в другую точку Р'
(рис. 2.5).
Рис.2.5. Оптический
«черный ящик»
Мы хотим собрать весь свет снова в одной точке, которую называют
фокусом. Для этого следует сделать время прохождения света по
всем траекториям одинаковым. Задача построения фокусирующей
системы сводится к созданию устройства, в котором свет тратит на
всех путях одинаковое время.
Для этого возьмем стекло, в котором свет
движется медленнее, чем в воздухе (рис. 2.6).
Рассмотрим
луч
света, проходящего в
воздухе по линии AMS. Этот путь длиннее,
чем прямо из A в S, и занимает больше
времени. Но если взять стекло нужной
толщины, то путь в нем скомпенсирует
добавочное время, затрачиваемое при
отклонении луча на траектории AMS.
Рис. 2.6. Фокусирующая оптическая система
Можно устроить так, чтобы время, затрачиваемое светом на пути по
прямой, совпадало со временем, затрачиваемым на пути AMS.
Точно так же, если взять частично отклоненный луч более короткий,
чем AMS, то придется скомпенсировать уже не так много времени,
как для прямолинейной траектории, но некоторую долю времени
все же скомпенсировать придется. В результате мы приходим к
форме поверхности стекла, изображенной на рис. 2.6.
При такой форме весь свет из точки A попадет в S. Такое
устройство называется собирательной линзой.
Этот принцип фокусировки служит для наблюдения света звезд.
При постройке телескопов используется следующая идея.
Рассмотрим удаленную звезду. Мы хотим собрать дошедший от нее
свет в фокус. Пусть множество различных лучей достигло
плоскости КК', перпендикулярной направлению лучей. Далее лучи
отразятся от зеркала и за равные промежутки времени попадут
Рис. 1.31.
зеркало
Параболическое
в фокус Р. Для этого надо найти такую кривую зеркальную
поверхность, у которой сумма расстояний ХХ' + Х'Р' будет
постоянна, независимо от выбора точки X  геометрическое место
всех точек, равноудаленных от линии и некоторой заданной точки.
Такая кривая называется параболой. Зеркало телескопа
изготавливается в форме параболы (рис. 2.7).
Приведенные примеры иллюстрируют принцип устройства
оптических систем. Точные кривые можно рассчитать, используя
правило равенства времен на всех путях, ведущих в точку фокуса, и
требуя, чтобы время прохождения на всех соседних путях было
большим.
Принцип Ферма предсказывает ряд новых фактов. Пусть имеются
три среды – стекло, вода и воздух, и мы наблюдаем явление
преломления и измеряем показатель n для перехода из одной среды
в другую. Обозначим через n12 показатель преломления для
перехода из воздуха (1) в воду (2), а через n13 – для перехода из
воздуха (1) в стекло (3). Измерив преломление в системе вода –
стекло, найдем еще один показатель преломления n23. Если
исходить из принципа наименьшего времени, то показатель n12
равен отношению скорости света в воздухе к скорости света в воде;
показатель n13  отношение скорости в воздухе к скорости в стекле,
а n23 есть отношение скорости в воде к скорости в стекле. Поэтому
получаем
 2 1 /3 n13
n23 


3 1 / 2 n12
Другими словами, показатель преломления для перехода из одного
материала в другой можно получить из показателей преломления
каждого материала по отношению к некоторой среде, скажем,
воздуху или вакууму. Измерив скорость света во всех средах, мы
определим показатель преломления для перехода из вакуума в
среду и назовем его ni (например, ni для воздуха есть отношение
скорости в воздухе к скорости в вакууме и т. д.). Показатель
преломления для любых двух материалов i и j равен
i n j
nij 

 j ni
Такая связь существует, и это послужило аргументом в пользу
принципа наименьшего времени.
Еще одно предсказание принципа наименьшего времени состоит в
том, что скорость света в воде при измерении должна оказаться
меньше скорости света в воздухе. Это предсказание носит
теоретический характер и никак не связано с наблюдениями, из
которых Ферма вывел принцип наименьшего времени (до сих пор
мы имели дело только с углами). Скорость света в воде
действительно меньше скорости в воздухе, и ровно настолько,
чтобы получился правильный показатель преломления.
Рис. 2.8. Прохождение радиоволн
сквозь узкую щель
Принцип Ферма говорит, что свет
выбирает путь с наименьшим,
или экстремальным, временем.
Эту способность света нельзя
объяснить
в
рамках
геометрической оптики. Она
связана с понятием длины волны,
 грубо говоря, того
отрезка впереди лежащего пути, который свет может
«почувствовать» и сравнить с соседними путями. Этот факт трудно
продемонстрировать на опыте со светом, так как длина волны света
чрезвычайно мала. Но радиоволны с длиной волны, скажем, 3 см
«видят» намного дальше. Предположим, имеется источник
радиоволн, детектор и экран со щелью, как показано на рис. 2.8; при
этих условиях лучи будут проходить из S в D, поскольку это
прямолинейная траектория, и даже если сузить щель, лучи все
равно пройдут. Но если теперь отодвинуть детектор в точку D', то
при широкой щели волны не пойдут из S в D', потому что они
сравнят близлежащие пути и скажут: «все эти пути требуют другого
времени». С другой стороны, если оставить только узенькую щелку
и таким образом помешать волнам выбирать путь, то окажутся
годными уже несколько путей, и волны пойдут по ним! Если щель
узкая, в точку D' попадет больше излучения, чем через широкую
щель!
Лекция 3. Законы геометрической оптики:
Сферические поверхности. Призмы. Линзы
3.1. Фокусное расстояние сферической поверхности
Изучим основные свойства оптических систем на основе
принципа Ферма  принципа наименьшего времени.
Чтобы вычислить разность времен на двух различных путях света,
получим геометрическую формулу: пусть дан треугольник, высота
которого h мала, а основание d велико (рис. 3.1); тогда гипотенуза s
больше основания. Найдем насколько гипотенуза больше
основания:  = s – d. По теореме Пифагора s2 – d2 = h2 или
h2
(s – d)(s + d) = h2. Но s – d = , а s + d ~ 2s. Таким образом,

2s
Рис. 3.1. Треугольник, высота которого h
меньше основания d, a гипотенуза s
больше основания
Это соотношение полезно для изучения изображений, получаемых с
помощью кривых поверхностей. Рассмотрим преломляющую
поверхность, разделяющую две среды с разными показателями
преломления (рис. 3.2). Пусть слева скорость света равна с, а справа
с/n, где n – показатель преломления. Возьмем точку О на расстоянии
s от лицевой поверхности стекла и другую точку О' на расстоянии s'
внутри стекла и попытаемся выбрать кривую поверхность так,
чтобы каждый луч, вышедший из О и попавший
Рис. 3.2. Фокусировка на
преломляющей поверхности
на поверхность в Р, приходил в точку О' (рис. 3.2). Для этого нужно
придать поверхности такую форму, чтобы сумма времени
прохождения света на пути от О к Р (т.е. расстояние ОР, деленное
n
на скорость света) плюс O P
, т.е. время на пути от Р к О',
c
была постоянной величиной,
не зависящей от положения точки Р.
Это условие дает уравнение для определения поверхности 
поверхности четвертого порядка.
Считая, что Р близко к оси, опустим перпендикуляр PQ длиной h
(рис. 3.2). Если бы поверхность была плоскостью, проходящей
через Р, то время, затрачиваемое на пути от О к Р, превышало бы
время на пути от О к Q, а время на пути от Р к О' превышало бы
время от Q к О'. Поверхность стекла должна быть кривой. В этом
случае излишек времени на пути OV компенсируется задержкой при
прохождении пути от V к Q. Излишек времени на пути ОР равен
h2/2sc, излишек времени на отрезке О'Р равен nh2/2s'c. Время на
пути VQ в n раз больше соответствующего времени в вакууме, а
поэтому лишнее время на отрезке VQ равно (n – 1)VQ/C. Если С
есть центр сферы с радиусом R, то длина VQ есть h2/2R. Закон,
который связывает длины s и s' и определяет радиус кривизны R
искомой поверхности, следует из условия равенства времен
прохождения света из О в О по любому пути:
h2
nh 2
h2

 n  1
2sc 2s c
2 Rc
или
1 n n 1
 
s s
R
3.1
Эта формула  формула линзы  позволяет вычислить требуемый
радиус кривизны поверхности, фокусирующей свет в точку O при
его излучении в О.
Та же линза с радиусом кривизны R будет фокусировать и на других
расстояниях, т.е. она является фокусирующей для любой пары
расстояний, для которых сумма обратной величины одного
расстояния и обратной величины другого, умноженного на n, есть
постоянное число – 1/s + n/s = постоянная.
Интересен частный случай s   – параллельный пучок света. При
увеличении s расстояние s' уменьшается. Когда точка О удаляется,
точка О' приближается, и наоборот. Если точка О уходит на
бесконечность, точка О' двигается внутри стекла вплоть до
расстояния, называемого фокусным расстоянием f'. Если на линзу
падает параллельный пучок лучей, он соберется в линзе на
расстоянии f . Можно задать вопрос и по-другому. Если источник
света находится внутри стекла, то где лучи соберутся в фокус? В
частности, если источник внутри стекла находится на
бесконечности (s = ), то где расположен фокус вне линзы? Это
расстояние обозначают через f. Можно, конечно, сказать и иначе.
Если источник расположен на расстоянии f, то лучи, проходя через
поверхность линзы, войдут в стекло параллельным пучком. Легко
определить f и f :
n n 1

, или
f
R
n n 1
Rn
R

, или f 
f
;
R
n 1 f
n 1
Если разделить каждое фокусное расстояние на соответствующий
показатель преломления, то получим один и тот же результат. Это
общая теорема. Она справедлива для любой сложной системы линз,
поэтому ее стоит запомнить. Оказывается, что вообще два фокусных
расстояния некоторой системы связаны подобным образом. Иногда
формула линзы записывается в виде
1 n 1
3.2
s

s

f
Такая форма более удобна, потому что проще измерить f, чем
кривизну и показатель преломления линзы. Если нам не нужно
самим конструировать линзу или изучать в подробностях весь
процесс, а достаточно достать линзу с полки, то нас будет
интересовать только величина f, а не n или R!
Пусть s становится меньше f. При s < f обратная величина (1/s)
больше (1/f) и поэтому s' отрицательна. Это означает, что исходящие
из точки О лучи (рис. 3.2) преломляются на поверхности, но в фокус
не собираются, так как точка О расположена слишком близко к
поверхности, и лучи становятся расходящимися. Но они начинают
расходиться так, как будто бы вышли из точки О' вне линзы. Эта
точка есть кажущееся или
Рис. 3.3. Мнимое изображение
точки О – точка О'
мнимое изображение (рис.3.3). Изображение О' на рис. 3.2
называется действительным изображением. Действительное
изображение возникает, когда свет действительно проходит через
точку. Но если кажется, что свет исходит из некоторой фиктивной
точки, не совпадающей с действительным источником, то эта точка
и есть мнимое изображение. Для отрицательных s' точка О'
находится по другую сторону поверхности.
Рассмотрим случай R = ; при этих условиях
(1/s) + (n/s') = 0, s = –ns. Это означает, что
если из плотной среды смотреть на некую
точку в разреженной среде, то она будет
казаться дальше в n раз. Можно прочитать
уравнение и наоборот: s = –s/n – при взгляде
на объект, находящийся в плотной среде за
плоской
поверхностью
раздела,
будет
казаться, что он расположен к нам ближе
(рис. 3.4).
Рис. 3.4. Плоская поверхность раздела
отображает точку Р в точку Р'
Когда мы смотрим сверху на дно плавательного бассейна, он
кажется нам мельче в 3/4 раза, чем он есть на самом деле; эта цифра
есть обратная величина показателя преломления воды n = 1,33.
3.2. Сферическое зеркало
Падающий на вогнутое зеркало пучок лучей, параллельных
оптической оси зеркала, после отражения собирается в фокусе
зеркала F. Фокус находится в середине отрезка, соединяющего
центр кривизны сферической поверхности зеркала и вершину
зеркала (полюс). Фокусное расстояние f = R/2, где R  радиус
кривизны поверхности зеркала.
Когда
предмет находится на расстояниях от
вогнутого зеркала, превышающих фокусное
расстояние,
изображение
предмета
действительное, перевернутое (рис. 3.5).
Рис. 3.5. Предмет S находится за фокусом  изображение
перевернутое, увеличенное, исключая положение в точке р
Рис. 3.6. Предмет S находится перед
фокусом  изображение мнимое,
прямое, увеличенное
Изображение предмета, расположенного ближе
фокуса, мнимое, прямое, увеличенное (рис.
3.6). Оно находится за зеркалом.
Падающий на выпуклое зеркало параллельный пучок лучей
отражается так, будто все лучи выходят из фокуса F, находящегося
за зеркалом на расстоянии R/2. Чтобы вывести формулы для
сферического зеркала, полезно принять следующие условия:
1) расстояние до объекта s положительно, если точка О расположена
перед зеркалом;
2) расстояние до изображения s' положительно, если точка О'
расположена за зеркалом;
3) радиус кривизны поверхности положителен, если центр
находится за зеркалом.
Например, на рис. 3.5 s, s' положительны, а R  отрицательно; на
рис. 3.6 s положительна, a s' и R отрицательны.
Рис. 3.7. Изображения в выпуклом
зеркале независимо от положения
предмета
является
мнимым,
уменьшенным, прямым