Математика Лекция 3 (продолжение) Разработчик Гергет О.М.

Математика
Лекция 3 (продолжение)
Разработчик
Гергет О.М.
Метод Гаусса


Опр.1. Две СЛАУ с одним и тем же набором
неизвестных называются равносильными
(эквивалентными), если решение одной системы
является решением другой системы.
Элементарные преобразования СЛАУ:




перестановка двух уравнений
умножение всех членов уравнения на одно и то же число,
отличное от нуля
прибавление к одному из уравнений системы другого
уравнения этой системы, предварительно умножив все его
члены на одно и то же число.
Теорема. Всякое элементарное преобразование
СЛАУ переводит ее в эквивалентную

Случай 1. rang A  n
b12 x 2    b1n x n  d 1
 b11 x1 

b22 x 2    b2 n x n  d 2






обратный
 ход
bnn x n  d n .

Случай 2. rang A  n
 Все
неизвестные делятся на
 базисные ( x1 , x 2 ,  , x r , где r = rang A)
свободные(все остальные).
b11 x1 
b12 x2 
 b1r xr  d1  b1r 1xr 1 
b22 x2 
 b2 r xr  d 2  b2 r 1xr 1 
î áðàòí û é
õî ä
brr xr  d r  brr 1xr 1 

 b1n xn
 b2 n xn
 brn xn .
Опр. 2. Выражение базисных
неизвестных через свободные
называется общим решением СЛАУ.
 Опр. 3. Придавая свободным
неизвестным произвольные значения,
получим частное решение.

Однородные системы линейных
уравнений

Опр. 1. СЛАУ называется однородной, если
все свободные члены равны нулю.
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  0,
a x  a x    a x  0,
 21 1
22 2
2n n


a m1 x1  a m 2 x 2    a mn x n  0.


Однородная система всегда совместна.
Теорема. Однородная система имеет
ненулевые (нетривиальные) решения тогда и
только тогда, когда rang A  r  n .
ФСР





Если однородная система имеет множество решений,
то все решения можно разделить на линейно
независимые и линейно зависимые.
Совокупность линейно независимых решений
называется фундаментальной системой решений
(ФСР).
Через ФСР можно выразить любое решение
однородной системы.
ФСР состоит из (n – r) линейно независимых решений,
где n – число неизвестных, r – ранг матрицы системы.
Для построения ФСР свободным неизвестным можно
придать значения единичной матрицы.
2.
ВЕКТОРНАЯ
АЛГЕБРА
Понятие вектора
Любое вещественное число называется
скаляром.
 Вектором называется направленный
отрезок прямой
 Обозначение


AB , где А – начало, В – конец вектора
 a, b
AB
А
В

a

b

Опр. 1. Длина (модуль) вектора – расстояние между начальной и

конечной точками.

| a |, | AB |, | b |

Опр. 2. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется
нулевым 0 . Направление – не определено, длина = 0.

Опр. 3. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на
одной прямой либо на параллельных прямых.


Сонаправленные
Противоположно направленные

Опр. 4. Векторы (3 и более) называются компланарными, если
они лежат на одной плоскости либо на параллельных плоскостях.

Векторы, изучаемые в векторной алгебре, называются
свободными.
Опр. 5. Два вектора равны, если:




1) они коллинеарны
2) сонаправлены
3) их модули равны
Линейные операции над
векторами
 умножение
вектора на число
 сложение (вычитание) векторов.


a
Опр. 1. Произведением
на число 
 вектора

называется вектор b  a

вектору a


 | b ||  |  | a |

 направление зависит от знака  (совпадает с a ,
если >0, противоположное, если <0)
 коллинеарный
Условие коллинеарности векторов

 Если вектор b коллинеарен ненулевому

вектору a , то существует число , такое,
что

b  a
Сложение векторов

1. Правило треугольника. Если к концу
первого вектора поместить начало второго,
то суммой называется вектор, идущий из
начала первого вектора в конец второго
вектора.

a

b

b

a
  
c a b

2. Правило параллелограмма. Если два
вектора помещены в общее начало, то
вектор-сумма направлен по диагонали
параллелограмма, выходящей из той же
самой точки.
  
c a b

a

c

a

b

b

3. Правило многоугольника

b

a

c

k
    
k a b c d

d
Разность векторов


Если два вектора
и b помещены в общее
 
начало, то вектор-разность c  a  b
направлен по диагонали параллелограмма,

выходящей
из
конца
вектора
в
конец
b


a
вектора a

a

a

b

b




cc  a  b
Линейная зависимость и
независимость векторов

 

Векторы a1 , a 2 ,  , a n
Опр. 1.
называются
линейно-зависимыми, если найдутся
числа 1 ,  2 ,  ,  n , из которых хотя бы
одно отлично от нуля, такие что
1a1   2 a2  ...   n an  0

и линейно независимыми, если
равенство выполняется при
1   2 
 n  0




Теорема 1. Если среди векторов есть 0 , то эти векторы
являются линейно-зависимыми.
Замечание. Любой вектор можно выразить через линейную
комбинацию линейно-независимых векторов.
Теорема 2. Необходимым и достаточным условием линейной
зависимости 2х векторов является их коллинеарность.
Следствие
1. Если векторы неколлинеарны, то они линейно независимы.
 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть 0 .



Теорема 4. Необходимым и достаточным условием линейной
зависимости 3х векторов является их компланарность.
Следствие
1. Если 3 вектора некомпланарны, то они линейно независимы.
 2. Среди 3х некомпланарных векторов не может быть 0 .
 3. Среди 3х некомпланарных векторов не может быть 2х
коллинеарных векторов.


Теорема 5. Любые 4 вектора линейно зависимы.
Аффинный базис

Опр. 2. Совокупность линейно независимых
векторов называется аффинным базисом.
 на
прямой – ненулевой вектор a
 на плоскости – 2 неколлинеарных вектора a , b 


 в пространстве – 3 некомпланарных вектора a , b , c

Запись вида

d  a
 d=a  b

 

 d = a  b  c
называется разложением по базису, а числа
, ,  - аффинными координатами вектора.



Теорема 6. Любой вектор можно разложить
по базису, причем разложение вектора по
базису единственно.
Основная теорема векторной алгебры.
Линейные операции над векторами сводятся
к тем же линейным операциям над их
координатами.
Условия коллинеарности векторов








a=x1e1+y1e2+z1e3 и b  x 2 e1+y 2 e2+z 2 e3
в координатной форме x
y
z
1
x2

1
y2

1
z2

Аффинное пространство

Аффинная система координат состоит
   из
фиксированной точки О и базиса e1 , e2 , e3
OM – радиус-вектор точки М.
 Аффинные координаты
M
точки М – координаты
вектора OM относительно
аффинного базиса.
 Если M 1 ( x1 , y1 , z1 ) и
M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) - две точки
аффинного пространства,
то координаты вектора
M1M 2  {x2  x1 , y 2  y1 , z 2  z1}


e3
O

e1

e2
Деление отрезка в данном
отношении


Даны две точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) .
Найти координаты точки M3, делящей отрезок в
отношении , т.е. | M 1M 3 |   или M1M 3  M 3 M 2
| M 3M 2 |
М2
M1M 3  ( x3  x1 , y3  y1 , z3  z1 )
M 3 M 2  ( x2  x3 , y 2  y3 , z 2  z3 )
М3
М1
x3  x1  ( x 2  x3 ),
y3  y1  ( y 2  y3 ),
z 3  z1  ( z 2  z 3 ),
x1  x 2

 x3  1   ,

y1  y 2

y

,
 3
1 

z1  z 2

z

.
 3
1 

Декартов базис

Опр. 1. Аффинный базис называется декартовым
прямоугольным, если его векторы попарно
перпендикулярны и имеют единичную
длину.


  

e1  i e2  j e3  k
Z
Î ðòû


k

j


i

X
O
i  j k
M
i  j  k 1

Y
OX  i  î ñü àáñöèññ
OY  j  î ñü î ðäèí àò
OZ  k  î ñü àï ï ëèêàò


 
OМ  i  j  k
Координаты , ,  вектора , называются абсциссой,
ординатой, аппликатой радиус-вектора .Если же
речь идет о координатах точки, то М (, , ).
Проекция

Определение 3. Проекцией вектора на ось
ОХ называется длина отрезка CD этой оси,
заключенного между проекциями его
начальной и конечной точек, взятая со
знаком “+”, если направление отрезка CD
совпадает с направлением оси проекций, и
со знаком “-”, если эти направления
противоположны (рис.22).