ЛЕКЦИЯ 4 МОДЕЛИ СО СЛУЧАЙНЫМИ ЭФФЕКТАМИ Модели со случайными эффектами 1. 2. Однонаправленная модель со случайными эффектами. Двунаправленная модель со случайными эффектами Двунаправленная модель со случайными эффектами. Постановка. В модели предполагается, что 1) ошибка содержит индивидуальные, временные эффекты и идиосинкратическую компоненту и 2) индивидуальные и временные эффекты являются случайными переменными, поэтому они остаются в ошибке. uit i t it yit xitT i t it Пусть i ~ 0, 2 и t ~ 0, 2 независимые одинаково распределенные величины и it~ 0, 2 независимые одинаково распределенные величины. Все компоненты ошибки не зависят друг от друга и от регрессоров. Предполагаем, что константа содержится в X. Двунаправленная модель со случайными эффектами. Постановка. Ковариационная матрица ошибки Ω. Varuit Var(i t it ) 2 2 2 Cov(uit , uis ) Cov(i t it , i s is ) 2 Cov(uit , u js ) Cov( i t it , j s js ) 0 Cov(uit , u jt ) Cov(i t it , j t jt ) 2 Двунаправленная модель со случайными эффектами. Оценка. Спектральное разложение 2 I nT 2 I n JT 2 J n IT 2Q 1Q1 2Q2 3Q3 Q I nT 1 1 1 I n J T J n IT J nT T n nT 1 1 Q1 I n J n J T n T 1 1 Q2 J n I T J T n T 1 2 T 2 2 2 n 2 1 Q3 J nT nT 3 2 T 2 n 2 Двунаправленная модель со случайными эффектами. Оценка. Матрицы Q, Q1, Q2, Q3 – ортогональны Q Q1 1Q2 2Q3 1 2 2 1 T 2 2 2 2 n 2 1 1 2 2 1 2 2 T n 1 2 1 Двунаправленная модель со случайными эффектами. Оценка. Оценка обобщенного МНК ˆGLS ( X T 1 X )1 X T 1 y ( X T21 X )1 X T21 y ˆGLS ( X T Q Q1 1Q2 2Q3 X )1 X T Q Q1 1Q2 2Q3 y ˆ GLS X QX X Q1 X 1 X Q2 X 2 X Q3 X T T T T * X T Qy X T Q1 y 1 X T Q2 y 2 X T Q3 y Преобразование в модели осуществляется с помощью матриц Q, Q1, Q2 и Q3 1 * Двунаправленная модель со случайными эффектами. Оценка. Преобразование означает модификацию исходных регрессионных уравнений: x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 yit 1 yi 1 1 yt 1 1 2 y T it it i i 1 1 t t 1 1 2 2 Оценка совпадает с оценкой простого МНК на преобразованных данных. Двунаправленная модель со случайными эффектами. Оценка. Чтобы перейти к доступной оценке обобщенного МНК необходимо получить состоятельные оценки 2 , 2 и 2 , а на их основе θ, θ1 и θ2. 1. Вариант оценивания. С помощью within-регрессии ˆ2 RSS W ithin nT n T k 1 С помощью Between-individuals регрессии 1 T t T t 1 yi x i T i ˆ 2 ˆ2 T 1 RSS Between T nk Двунаправленная модель со случайными эффектами. Оценка. Between-periods регрессия yt x t t T i N 1 i n i 1 ˆ2 1 RSS Between periods ˆ n n T k 2 Between-periods регрессия требует достаточно большого T. Двунаправленная модель со случайными эффектами. Оценка. Объединяя полученные оценки получаем: ˆ ˆ2 RSS W ithin nk 2 2 ˆ Tˆ nT n k T 1 RSS Betweenindividuals ˆ1 ˆ2 ˆ2 nˆ 2 ˆ2 RSS W ithin T k nT n k T 1 RSS Between periods 1 1 ˆ 1 2 2 2 ˆ Tˆ nˆ ˆ ˆ1 2 1 Двунаправленная модель со случайными эффектами. Оценка. 2. Вариант оценивания, с использованием OLS-оценки n T 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ u it nT k i 1 t 1 2 2 2 ˆ 2 ˆ2 ˆ 2 ˆ 1 n 1 T 2 ˆ ˆ uit T T n k i1 T t 1 ˆ 2 2 1 1 ˆ uit n n T k t 1 n i1 2 T n 2 Система включает три неизвестных и три уравнения û it Двунаправленная модель со случайными эффектами. Оценка. Доступная оценка обобщенного МНК: ˆFGLS X QX ˆX Q1 X ˆ1 X Q2 X ˆ2 X Q3 X T T T T T T T ˆ ˆ ˆ * X Qy X Q1 y 1 X Q2 y 2 X Q3 y T 1 * Двунаправленная модель со случайными эффектами. Тестирование. Тестирование на индивидуальные эффекты H a : 2 0 H 0 : 2 0 1. Точный подход: i ~ N 0, 2 и it ~ Отсюда следует: F RSS W itnin 2 N 0, 2 2 RSS Betweenindividuals 2 ~nT n T k 1 и ~ nk 2 2 T RSS Between n k RSS W ithin nT n T k 1 ~ Fn k ,nT n T k 1 2. Асимптотический подход: nT uˆ I n J T uˆ 2 1 LM 1 H0 2(T 1) uˆ T uˆ T 2 Двунаправленная модель со случайными эффектами. Тестирование. Тестирование на временные эффекты H 0 : 2 0 1. Точный подход RSS W itnin 2 t ~ 2 ~ nT n T k 1 RSS Between periods T k H a : 2 0 N 0, 2 и it ~ N 0, 2 RSS Between periods 2 n 2 2 ~ T k F ~ T k ,nT n T k 1 RSSW ithin nT n T k 1 2. Асимптотический подход 2 T nT uˆ J n I T uˆ 1 2 LM F 2(n 1) uˆ T uˆ H0 1 Двунаправленная модель со случайными эффектами. Тестирование. Тестирование на индивидуальные и временные эффекты H 0 : 2 2 0 1. Точный подход t ~ N 0, 2 , i ~N 0, 2 и it ~ N 0, 2 F ( RSS Betweenindividuals RSS Between periods ) n T 2k RSS W ithin nT n T k 1 ~ FnT 2 k ,nT nT k 1 2. Асимптотический подход 2 LM LM LM 2 H0 Фиксированные или случайные эффекты? Общая рекомендация: Если выводы касаются только объектов, представленных в выборке, то лучше пользоваться моделью с фиксированными эффектами. Если выборка рассматривается как часть, и результаты исследования будут распространяться на более широкий круг объектов, тогда лучше применять модель со случайными эффектами. Фиксированные или случайные эффекты? Статистический тест. Выбор делается между методами оценивания: GLS-оценкой и within-оценкой. При GLS-оценивании делается предположение, что ошибка µi не коррелирует с регрессорами xit. Если это предположение не выполняется, то GLS-оценка является несостоятельной. При этом состоятельность within-оценки не требует такого предположения, оценки модели с фиксированными эффектами с помощью within-метода будут состоятельными, если µi коррелирует с xit. Фиксированные или случайные эффекты? Отсутствие корреляции между ошибками и регрессорами определяется тем, насколько правильно специфицирована панельная регрессия. Регрессионная функция должна быть действительно линейной и содержать все значимые регрессоры. Остаточная неоднородность, заложенная в индивидуальных эффектах, должна быть действительно случайной и не должна быть связана с характеристиками объекта, находящимися в регрессорах. Таким образом, речь фактически идёт о тестировании спецификации модели, следовательно, можно воспользоваться тестом на спецификацию Хаусмана. Фиксированные или случайные эффекты? Выбор между случайными и фиксированными эффектами сводится к проверке, есть ли корреляция между компонентой ошибки, включающей индивидуальные и/или временные эффекты и регрессорами. Более жёсткой гипотезой является нескоррелированность полных ошибок с регрессорами, поэтому в качестве нулевой гипотезы рассматривается: H 0 : E[ui xi ] 0 В этом случае можно пользоваться GLS-оценкой. Альтернативной гипотезой является: H A : E[ui xi ] 0 Within-оценка является состоятельной, как при H0, так и при HA, Фиксированные или случайные эффекты? При H0 GLS-оценка и Within-оценка сходятся, при HA этого не происходит из-за несостоятельности GLS-оценки. P qˆ ˆGSL ˆWithin 0 qˆ ˆGSL ˆWithin 0 При HA : Статистика Хаусмана : P T 1 1 d qˆ T Var(qˆ ) qˆ ˆGLS ˆWithin Var(ˆWithin) Var(ˆGLS ) ˆGLS ˆWithin T 1 1 ˆGLS ˆW ithin X T QX X T QQX X T QX ( X T 1 X ) 1 k – размерность вектора β. ˆ 1 GLS d ˆW ithin Фиксированные или случайные эффекты? k2 1 Если q то спецификация модели со случайными эффектами не может быть принята и следует работать с моделью с фиксированными эффектами. Если q1 то спецификацию модели со случайными эффектами можно принять. Так как тестируется спецификация модели в целом, то модель может быть улучшена путем включения дополнительных объясняющих переменных или использования нелинейных форм зависимости 2 k