Тема: Применение производной в различных областях науки и

Тема: Применение производной в различных областях
науки и техники.
Цели:
1. Рассмотреть математическую модель, которой пользуются при
решении задач в физике, химии, биологии, в строительстве.
2. Развивать логическое мышление.
3. Воспитывать внимание.
Ход урока.
1. Вступление.
Роль математики в различных областях естествознания очень велика.
Недаром говорят «Математика – царица наук, физика ее правая рука,
химия – левая» .
Есть возможность описать основные черты и свойства объекта на языке
математических понятий и соотношений или как сейчас говорят построить
«математическую модель» изучаемого объекта.
2. Решение заданий.
Ученый секретарь. Выездное заседание ученого совета университета мы
сегодня проводим в 10Б классе школы № 9.
Председатель. Что у нас на повестке дня?
Ученый секретарь. Применение производной в различных областях науки и
технике, т.е. решение прикладных задач. (слайд)
Председатель. Ребята, а что это за задачи?
Ученик. Это задачи, решаемые с помощью математических методов.
Председатель. Напомните, пожалуйста, схему решения таких задач, на
нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.
Ученый секретарь. (слайд Схема решения прикладных задач)
1. Задача переводиться на язык функции. Для этого выбирают удобный
параметр х, через который интересующую нас величину выражают как
функцию f(x).
2. Средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее ее значение
на некотором промежутке.
3. Выясняется, какой практический смысл имеет полученный результат.
Председатель. А теперь представитель кафедры химии. Вам слово.
Одним из вопросов, изучаемых в химии, является вопрос скорости
химической реакции.
Скорость гомогенной реакции – это отношение изменения
концентрации одного из реагирующих веществ в единицу времени, в
единице объема.
v=
c
моль/л.с., где v – скорость, c - изменение концентрации,  (тау) –

время.
Скорость реакции зависит от многих факторов:
1. Температура. Эта зависимость выражается правилом Вант – Гоффа.
При повышении температуры на каждые 100 скорость реакции
увеличивается в 2 – 4 раза.
vt 2  vt1  
t2  t1
10
Где vt - скорость при повышенной температуре, vt - скорость при
начальной температуре,  - температурный коэффициент.
2
1
2. От природы реагирующих веществ, т.е. от прочности химической связи
в веществе. Чем прочнее связь, тем труднее вещество вступает в
реакцию.
3. От наличия катализатора, вещества, которое ускоряет реакцию, но в
конечный продукт не входит.
4. Скорость реакции обратно пропорциональна времени реакции
vt 2
vt1

 (t1 )
 (t2 )
5. Для веществ, находящихся в газообразном состоянии на скорость
влияет давление. Увеличение давления приводит к уменьшению
объема, а это в свою очередь ведет к увеличению концентрации
веществ во столько же раз, во сколько увеличивается давление.
Скорость реакции зависит от концентрации реагирующих веществ.
Согласно закона действующих масс: при постоянной температуре
скорость химической реакции прямо пропорциональна произведению
концентраций реагирующих веществ.
А + В С
vпрямой  К[A][B]
A + 2B  C
vпрямой  К[A][B]2
где К – константа скорости реакции
При решении задач, связанных со скоростью можно использовать ваши
знания о производной.
Задача (слайд).
Газовая смесь состоит из оксида азота (NO) и кислорода (О2). Требуется
найти концентрацию О2, при которой, содержащийся в смеси оксид
азота окисляется с наибольшей скоростью.
Решение.
Напишем уравнение реакции окисления оксида кислородом
2NO + O2  2NO2
Пусть х – концентрация оксида азота, у – концентрация кислорода, тогда
vпрямой=Кх2у, где К – константа скорости реакции, зависящая только от
температуры и не зависящая от концентрации реагирующих веществ.
Концентрацию газов выразим в объемных процентах.
Весь объем газовой смеси возьмем за 100%.
В этом случае у=100-х и v=Кх2(100-х), где х принадлежит [0;100]
Найдем наибольшую скорость
D(v) = R
v’(x)=200K – 3Kx2
200K – 3Kx2=0
x=0
x=66,7%
Ответ: при концентрации О2, равной 33,3% оксид азота окисляется с
наибольшей скоростью.
Медик. А ведь в медицине коллеги, нам тоже часто приходиться решать
задачи, используя математические методы. Например, рассмотрим
следующую задачу (слайд).
Задача (слайд).
Реакция организма на введенное лекарство выражается повышением
кровянного давления, уменьшением температуры тела, изменением
пульса и других физических показателей. Степень реакции зависит от
назначенной дозы лекарства. Предположим, что х – доза лекарства, а
степень реакции у описывается функцией у=R(x)=x2(a-x), где а –
некоторое положительное постоянное число. При каком значении х
реакция максимальна.
Решение (решаем самостоятельно с последующей проверкой)
R(x)=x2(a-x)=ax2 –x3
D(x)=R
R’(x)=2ax-3x2
2ax-3x2=0
x=0
x=
2a
3
Ответ: при х=
2a
3
уровень дозы, который дает максимальную реакцию
организма на введенное лекарство.
Решаем ее самостоятельно, а те, кто не справился с работой, предлагаю
сверить с моим и найти ошибку.
Итак, при х=
2a
уровень дозы, который дает максимальную реакцию на
3
введенное лекарство.
Председатель. Представитель кафедры «Биологии», прошу начать работу.
Биолог. В биологии часто приходиться решать такие задачи. (сдайд).
Ученик решает и комментирует решение.
Задача (слайд).
В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность
популяции возрастает по закону P(t)=1000 +
100t
, где t – время в часах.
100  t 2
Найдите максимальный размер этой популяции.
Решение.
D(P)=R
P’(t)=
100(100  t 2 )  100t  2t 100(100  t 2  2t 2 ) 100(100  t 2 )
=
=
(100  t 2 ) 2
(100  t 2 )2
(100  t 2 ) 2
P’(t)=0
100-t2=0
t=  10
P(10)=1000+
1000
=1005
200
Ответ: через 10 часов популяция достигнет максимального размера 1005
бактерий.
Председатель. Что-то я не слышу физиков.
Физик. А у нас столько таких задач, что я даже не знаю с какой начать.
Председатель. Ну начните с какой-нибудь.
Физик. Ладно, решим такую задачу (слайд)
Задача (слайд).
Составляется электрическая цепь из двух параллельно соединенных
сопротивлений. При каком соотношении между этими сопротивлениями
сопротивление всей цепи максимально, если при последовательном
соединении этих сопротивлений оно равно R.
Решение.
Пусть сопротивление одного х, другого – у. Сопротивление всей цепи при
параллельном соединении r,тогда
1 1 1
 
x y r
При последовательном х+у=R
y=R-x
Имеем
1
1
1


x Rx r
Rxx 1

x( R  x) r
x( R  x)
r
R
Сопротивление r-является функцией от х, х принадлежит [0;R]
x( R  x) 1
 ( xR  x 2 )
F(x)= R
R
(Далее решаем самостоятельно с последующей проверкой)
D(f)=R
1
R
f’(x)= ( R  2 x)
f’(x)=0, x=
R
2
R
2
f(0)=0, f(R)=0, f( )=
R
4
R
2
при х= сопротивление всей цепи при параллельном соединении будет
наибольшим
Ответ: сопротивления должны быть одинаковыми.
(Слайд с основными формулами из физики, применяемые при решении
задач)
I  g ' (t )
   (t )
F  ma
mv 2
E
2
P  mv
Сила тока
Угловая скорость
Сила
Кинетическая энергия
Импульс
Ученый секретарь. Да, чуть не забыла. Студенты-физики приготовили для
вас задачи на нахождение производной, которыми они зашифровали
крылатую фразу римского философа Цицерона. Вы решите задачи, каждый
верный ответ соответствует определенной букве. Затем по номерам ваших
задач мы составим эту фразу.
Задачи.
1.Тело движется по закону x(t)=2t3-2,5t2+3t+1. Найти скорость тела при t=1c.
Ответ: 4(н)
-4(п)
2. Тело движется по закону x(t)=3t4-3t3+4t+2. Найти скорость тела при t=1c.
Ответ: 11(о) 7(е)
3. Заряд q изменяется по закону q(t)=0,4t2. Найти силу тока при t=10с.
Ответ: 8(д)
2(к)
4. Угол поворота тела вокруг оси изменяется по закону φ(t)=0,3t2-0,5t+0,4.
Найти угловую скорость при t=10с.
Ответ: 5,5(о) 5,2(ы)
5. Определить скорость колеблющегося тела в момент t=2c, если координата
изменяется по закону x(t)=2sin2πt
Ответ: 4π(с) 2π(ф)
6. Определить ускорение колеблющегося тела при t=4c, если его координата
измеряется по закону
x(t)=3t3-2,5t2+3t+1
Ответ: 68(щ) 67(т)
__________________________________________________________________
7. Тело массой 1кг. 200г. Движется прямолинейно по закону x(t)=2t3-3t2-4t+5.
Найти импульс при t=3с.
Ответ: 38,4(а)
37,4(у)
8. Определить ускорение колеблющегося тела при t=6с.,если его координата
изменяется по закону
x(t)=5t3-2,5t2+7t+4
Ответ: 170(н)
175(т)
9. Заряд q изменяется по закону q(t)=t(0,25t-1). Найти силу тока при t=13с.
Ответ: 6,5(а)
5,5(о)
10. Тело массой 300г. Движется прямолинейно по закону x(t)=6t3+2t-7. Найти
силу, действующую на это тело
при t=3с.
Ответ: 32,4(ч)
34,2(р)
11. Тело движется прямолинейно по закону x(t)=3t3+2t2-7t+9. Найти скорость
тела при t=3с.
Ответ: 87(т)
86(н)
12. Температура тела Т изменяется по закону T(t)=0,2t2+5t-3. Какова скорость
изменения температуры
при t=2с?
Ответ: 5,8(о)
6,8(у)
_________________________________________________________________
13. Температура тела Т изменяется по закону T(t)=4t3-7t+4. Какова скорость
изменения температуры при t=1с?
Ответ: 5(о)
12(б)
14. Тело массой 4,2кг. движется прямолинейно по закону x(t)=2t3-2,5t2+5.
Найти кинетическую энергию тела
при t=1с.
Ответ: 2,1(б) 4,2(в)
15. Температура тела изменяется в зависимости от времени по закону
T(t)=0,2t2. Какова скорость изменения
температуры при t=3с.
Ответ: 1,2(л)
12(м)
16. Тело массой 6кг. движется прямолинейно по закону x(t)=2t3-2,5t2+3t+1.
Найти импульс тела при t=1с.
Ответ: 2,4(е) 24(а)
17. Тело массой 2кг. движется прямолинейно по закону x(t)=5t3-4t2+3t-7.
Найти силу при t=4с.
Ответ: 1200(р) 224(д)
18. Тело массой 1кг 600г движется прямолинейно по закону x(t)=t(3t-7).
Найти импульс тела при t=2с.
Ответ: 50(ю) 8(а)
19. Определить ускорение колеблющегося тела при t=2с, если координата
изменяется по закону x(t)=3t3+4t2.
Ответ: 36(п) 44(т)
20. Угол поворота тела вокруг оси φ(t)=0,3t2-0,4t+7. Найти угловую скорость
при t=8с.
Ответ: 4,4(ь) 44(ъ)
21. Температура тела Т изменяется по закону T(t)=0,5t2-2t. Найти скорость
изменения температуры при t=10с.
Ответ: 8(м)
0,8(л)
22. Тело массой 2,4кг движется прямолинейно по закону x(t)=2t2-3t+1. Найти
кинетическую энергию тела в момент времени t=1с.
Ответ: 1,2(у) 26,8(е)
_________________________________________________________________
23. Угол поворота тела вокруг оси φ(t)=3t2-0,8t+5. Найти угловую скорость
при t=6с.
Ответ: 35,2(д) 32,5(р)
24. Тело массой 200г движется прямолинейно по закону x(t)=6t3+2t-7. Найти
силу, действующую на это тело в
момент времени t=3с.
Ответ: 21,6(р) 11,8(д)
25. Материальная точка движется по закону x(t)=0,4t4-0,2t3+1. Найти
ускорение этой точки при t=1с.
Ответ: 36(а)
3,6(о)
26. Определить скорость колеблющегося тела при t=0,5с., если его
координата изменяется
по закону x(t)=(2-t)(3+3t)-18
Ответ: 0(с)
6(ц)
27. Определить ускорение колеблющегося тела при t=2с., если его
координата изменяется
по закону x(t)=t2(3t+5)
Ответ: 60(р) 46(т)
_________________________________________________________________
28. Угол поворота тела вокруг оси изменяется по закону φ(t)=0,4t2-2t+1.
Найти угловую скорость при t=8с.
Ответ: 6,2(и) 4,4(ь)
29. Тело массой 2кг движется прямолинейно по закону x(t)=2t3-2t2+6t-1.
Найти силу при t=2с.
Ответ: 4(я)
40(ю)
30.Температура тела изменяется по закону T(t)=0,2t2+0,12.Какова скорость
изменения температуры при t=10с?
Ответ: 40(п) 4(н)
31. Тело массой 4кг 800г движется прямолинейно по закону x(t)=3t32,5t2+3t+1. Найти импульс тела в момент
времени t=1с.
Ответ: 36,6(у) 33,6(а)
32. Угол поворота тела вокруг оси изменяется по закону φ(t)=1,5t2-0,1t. Найти
угловую скорость в момент
времени t=2с.
Ответ: 5,9(д) 8(т)
__________________________________________________________________
33. Тело массой 5,5 кг движется прямолинейно по закону x(t)=(6-t)(2t+3)-18.
Найти импульс тела при t=2с.
Ответ: 9(у)
5,5(о)
34. Заряд q изменяется по закону q(t)=3t2+4t. Найти силу тока при t=6с.
Ответ: 36(о) 40(у)
35. Тело массой 20 кг движется прямолинейно по закону x(t)=0,8t3+0,5t2-1.
Найти силу, действующую на это
тело в момент времени t=1с.
Ответ: 380(л) 308(м)
36. Тело массой 8кг движется прямолинейно по закону x(t)=2t2+3t-6. Найти
импульс тела в момент
времени t=1с.
Ответ: 35(и) 56(е)
37. Определить ускорение колеблющегося тела в момент t=1с., если его
координата изменяется
по закону x(t)=3t3+2t2-7t+15.
Ответ: 22(т) 20(п)
_________________________________________________________________
38. Заряд q изменяется по закону q(t)=0,4t2+1,2t. Найти силу тока при t=4с.
Ответ: 4,4(ь) 4,6(а)
39. Тело массой 200г движется прямолинейно по закону x(t)=6t3+2t2-7. Найти
силу, действующую на это
тело при t=3с.
Ответ: 26,1(т) 21,6(п)
40. Тело массой 1кг 100г движется прямолинейно по закону x(t)=(6-t)(2t+3)18. Найти импульс тела при t=1с.
Ответ: 5,5(о) 55(ы)
41. Температура тела изменяется по закону T(t)=0,5t2-2t. Какова скорость
изменения температуры при t=5с.
Ответ: 3(л)
1(м)
42. Заряд q изменяется по закону q(t)=0,5t2+0,4t. Найти сумму тока при t=4с.
Ответ: 4,4(ь) 44(ы)
__________________________________________________________________
43. Тело массой 2,4кг движется прямолинейно по закону x(t)=3t2-4t+5. Найти
кинетическую энергию тела
при t=1с.
Ответ: 4,8(з) 48(д)
44. Тело массой 500г движется прямолинейно по закону x(t)=2t3-5t+4. Найти
силу, действующую на это тела
в момент времени t=2с.
Ответ: 10(е) 12(о)
45. Заряд q изменяется по закону q(t)=t(0,25t-1). Найти силу тока при t=10с.
Ответ: 4(в)
10(д)
46. Тело массой 6кг движется прямолинейно по закону x(t)=3t2-2t+5. Найти
импульс тела при t=2с.
Ответ: 60(а) 60,5(у)
47. Угол поворота тела вокруг оси изменяется по закону φ(t)=2,5t(t-1). Найти
угловую скорость при t=8с.
Ответ: 37,5(т) 35,7(к)
__________________________________________________________________
48. Определить ускорение колеблющегося тела в момент времени t=3с., если
его координата изменяется
по закону x(t)=5t3-3t2+7t+5.
Ответ: 84(ь) 85(ы)
49. Угол поворота тела вокруг оси изменяется по закону φ(t)=0,5t2. Найти
угловую скорость при t=5с.
Ответ: 5(с)
0,5(ц)
50. Определить скорость тела в момент времени t=12с, если его координата
изменяется по закону x(t)=3t2-5t-1.
Ответ: 67(я)
68(а)
51. Маховик вращается по закону φ(t)=t4-1. Найти угловую скорость при t=5с.
Ответ: 500(е) 50(а)
52. Заряд q изменяется по закону q(t)=t(0,3t+2,6). Найти силу тела при t=3с.
Ответ: 4,6(я) 4,4(ю)
__________________________________________________________________
Итак, мы получили фразу: «Недостаточно обладать мудростью,
надо уметь пользоваться ею». (слайд)
4. Заключение.
Председатель. Да замечательная фраза получилась. Но я бы ее немного
изменил «Недостаточно обладать знаниями, надо уметь пользоваться ими».
Ведь при сдаче ЕГЭ чаще всего предлагают практические задачи, при
решении которых нужно знать математические методы решения. Да и через
год перед вами встанет вопрос «Куда пойти учиться?». Если вас
заинтересовали задачи, решаемые сегодня, то добро пожаловать к нам на
факультет прикладной математики, который есть в ЮУрГУ и в ЧелГУ.
Учиться трудно, но интересно. Желаю успехов!
Интегрированный урок
в 10 классе
«Применение производной в
различных областях
науки и техники»
Дьконова В. В.
Безносова Л. Ф.
Ратанова Р. Н.
Смирнова Е. Н.
МОУ сош № 9
г. Бакал 2010 г.