ОБ ОДНОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ДАЛАМБЕРА И СИЛЕ

Гребеников Е.А., Смульский И.И. О решении уравнения Даламбера и о силе взаимодействия движущихся
зарядов. Сб. «Теоретические и прикладные задачи нелинейного анализа”, Москва, ВЦ РАН, 2009, с.145-163.
О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ДАЛАМБЕРА И О СИЛЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНО ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ
Е. А. Гребеников1), И. И. Смульский2)
1
2
Вычислительный центр РАН им. А.А. Дородницына, г. Москва, E-mail: e-greben@yandex.ru;
Институт криосферы Земли СО РАН, г. Тюмень, E-mail: jsmulsky@mail.ru
1. Введение
В работах [1-5] показано, что точечное наэлектризованное тело с зарядом q1 (рис.

1), которое движется со скоростью υ относительно другого точечного наэлектризованного
тела с зарядом q2, создает силовое воздействие на магнит, если поместить его вместо
заряда q2. Отметим, что со временем в электродинамике абстрагировались от
взаимодействия между конкретными телами. Было введено поле, и воздействие одного
наэлектризованного тела на другое представляли следующим образом: наэлектризованное
тело с зарядом q1 создает электростатическое поле с напряженностью E, которое
воздействует на другое наэлектризованное тело с зарядом q2 силой F = q2·E. Аналогично, с
помощью напряженности Н описывается воздействие одного магнита на другой. Так как
нас интересуют силы взаимодействия между телами, то в настоящей работе мы не
используем промежуточных характеристик воздействия: напряженностей Е и Н, а также
индукций: электрической D и магнитной В.
Итак, движущееся наэлектризованное тело q1 создает в точке нахождения
неподвижного тела q2 магнитное воздействие. Так как в процессе движения расстояние
между телами изменяется, магнитное воздействие также меняется. В свою очередь,
переменное магнитное воздействие создает дополнительное электрическое воздействие на
заряд q2. Эти два процесса описываются первым и вторым уравнениями Максвелла [3].

Если исключить из них магнитную составляющую, тогда сила воздействия F
движущегося заряда q1 на неподвижный заряд q2 в гауссовской системе единиц будет
определяться уравнением Даламбера:

 1  2 F 4q 2  1 υ 

(I)
F  2 2 
 grad   ,
 2
  c1 t
c1 t

где  – оператор Лапласа;
с
,
(II)
с1 

c – скорость света в вакууме;
 – диэлектрическая проницаемость среды между зарядами; 
 – магнитная проницаемость среды;
c1 – скорость света, а также электромагнитного воздействия в среде;
 – плотность электрического заряда q1.
Рис.1. Схема воздействия движущегося заряда q1 на
заряд q2, покоящийся относительно q1.

Если заряд q1 покоится ( υ =0) и величина его заряда
постоянна ( = const), то сила его воздействия в
рассматриваемом положении будет постоянна во

времени ( F t  0 ) и уравнение (I) превращается в
уравнение Лапласа:

F 
4q 2
grad  .
(III)

Как известно, его решением для точечного заряда q1 является закон Кулона:

 q2 q1R
.
(IV)
F
 R3

Для движущегося заряда со скоростью υ относительно заряда q2 сила воздействия
будет отличаться от закона Кулона (IV), и как отмечалось выше, она будет определяться
решением уравнения Даламбера (I). Для нахождения силы, с которой движущийся со

скоростью υ точечный заряд q1 действует на другой точечный заряд q2, необходимо
решить уравнение Даламбера (I).
2. Плотность движущегося заряда
Мы рассматриваем относительное движение (рис.1): заряд q1 движется со скоростью

υ относительно заряда q2. Плотность заряда q1 как точечного объекта можно записать с
помощью -функции [6], которая в зависимости от координаты x имеет следующий вид:

0, x  x' ,
1
  x  x ' 
exp i  x  x'k1dk1  
(1)

2 
 , x  x '
и

   x  x ' dx  1 ,
(2)

где i – мнимое число; x' – координата заряда q1; в интеграле (1) переменная
интегрирования – k1, а в (2) – x.
С помощью -функции плотность заряда q1 в пространственной системе координат
xyz запишется в виде:
(3)
ρ  q1δx  x δ y  y δz  z .

  
В этой системе координат обозначим: r  i x  j y  k z – радиус-вектор точки пространства,


 
где может находиться заряд q2; rq  i x  j y  kz – радиус-вектор заряда q1, где x, y, z
являются функциями времени. Тогда, после подстановки выражений для -функций в (3),
получаем выражение для плотности
q
  13
8

 exp ik x  x  k  y  y  k z  z dk ,
1
2

где интеграл
 dk
3
(4)

обозначает тройной интеграл

(2), интеграл по всему пространству
 dk dk dk
1
2
3
. Очевидно, что при условии
  dxdydz  q , где  определяется выражением (4).
1
Таким образом, -функция позволяет интерпретировать распределение точечного заряда
по всему пространству с одновременной локализацией его в месте нахождения самого
заряда q1. Теперь мы можем воспользоваться уравнением Даламбера (I) для нахождения
2

силы F , с которой заряженное тело с нестационарной плотностью электричества 
действует на неподвижный заряд q2.
3. Уравнение Даламбера в комплексных переменных
Воспользуемся обозначением оператора Даламбера,

2
2
2
1 2
,




x 2 y 2 z 2 c 2 t 2
(5)
и с учетом (5) перепишем уравнение Даламбера (I) в проекциях на оси координат:
Fx 
4q2   1  

υ ;
  x c12 t x 
Fy 
4q2   1  
υ y ;
 
  y c12 t 
Fz 
4q2   1  
υ z ,
 
  z c12 t 
(6)

где υx  dx / dt , υ y  dy / dt и υz  dz / dt – проекции скорости υ заряда q1. После
подстановки плотности заряда (4) в уравнения (6) для проекции Fx имеем:
qqi
 Fx  1 22
2 

 1  β k
2
x
1

 β x β y k 2  β x β z k 3 exp( i rv )dk ,
(7)

где
rv  k1 x  x  k2  y  y  k3 z  z ,
βx 
υx
,
c1
βy 
υy
c1
,
βz 
(8)
υz
.
c1
Уравнение Даламбера (7) определяет x-проекцию силы воздействия движущегося
заряда q1 на неподвижный заряд q2. Аналогично запишутся составляющие силы на оси y и
z.
4. Сведение уравнения Даламбера к интегральному виду
Оператор Даламбера  выражения (7) не зависит от переменных интегрирования k1,
k2, k3 в его правой части, поэтому уравнение (7) символически можно записать в форме:
Fx 
q1 q 2 i 
1  β x2 k1  β x β y k 2  β x β z k 3  1 exp (i rv )dk .
2

2  



Проекция силы Fx (9) будет представлена в виде интеграла, если определить
3
(9)
 1 exp (i rv )  G .
(10)
Функцию G называют функцией Грина [7]. Ее можно теперь определить как решение
уравнения
G  exp (i rv ) ,
(11)
которое является линейным дифференциальным уравнением второго порядка в частных
производных с правой частью. Нас не интересует общее решение уравнения (11),
поскольку мы ищем только воздействие от заряда q1, которое определяется правой частью
(11). Его частное решение запишем в виде
G  C  exp (i rv ) .
(12)
Подстановка выражения (12) в уравнение (11) позволяет определить коэффициент
C
1
.
2
k  k  k  β x k1  β y k 2  β z k3 
2
1
2
2
2
3
После подстановки этого коэффициента в (12), для функции Грина получим следующее
представление:
G
exp (i rv )
.
2
k  k  k   x k1   y k 2   z k3 
2
1
2
2
(13)
2
3
Если заменить в (9) выражение (10) функцией Грина, получаем представление для силы в
виде интеграла


1   x2 k1   x  y k 2   x  z k 3
q1 q 2 i 
Fx   2  2
exp( i rv )dk .
2   k1  k 22  k 32   x k1   y k 2   z k 3 2
(14)
Преобразуем (14), выделяя интеграл по переменной k1,
Fx  
q1q2i
2 2
 
  exp ik  y  y  k z  z I dk dk
2
3
1
2
,
(15)
dk1 ,
(16)
3
 
где I1 в подынтегральном выражении (15) имеет вид:

I1 


1  β  k  β β k
2
x
2
1
1
x
2 2
x 1
y 2

 β x β z k3  exp i x  x k1
k  β k  2 β x k1 β y k 2  β z k3   a 2
где
a 2  k 22  k 32  β y k 2  β z k 3  .
2
(17)
5. Вычисление интегралов
Рассматриваем интегралы (15) и (16) в случае скорости движения заряда не
превосходящей скорости c1, т.е. будем считать, что
β 2  βx2  β y2  βz2  1 .
4
(18)
Исследуем знак выражения (17) для a2. При предельных значениях скорости 
величина

заключена
a2
a 2  [k2 1  β y2

12
в
пределах
 k3 β y ]2  0 при
от
a 2  k22  k32
y
при
= z
=
0
до
β y2  βz2  1 , т.е. она является положительной
величиной. Перепишем выражение (17) в виде




a 2  k 22 1  β y2  k32 1  βz2  2 β y βz k 2 k3 .
Оно может быть отрицательным лишь тогда, когда третье слагаемое положительно,
например, когда  y ,  z , k2 и k3 имеют одинаковые знаки или попарно одинаковые знаки.
Из (17) найдем приращение (дифференциал) d(a2) при изменении  :
d(a 2 )  2β y k2  βz k3 k2dβ y  k3dβz  .
Нетрудно убедиться, что при этих знаках  y ,  z , k2 и k3 приращение d(a2) < 0, т.е. a2
монотонно изменяется. А так как в предельных случаях по  величина a2 положительна,
то и во всем диапазоне она положительна.
Введем
обозначения:
b   x  y k2   z k3  ;
e1  1   x2 ;
xq  x  x ,
а

–
комплексное число. Рассмотрим интеграл по замкнутому контуру в комплексной
плоскости
e   bexp ix  d .
2
1
e
2
1
q
2
(19)
 2b  a 2
При этих обозначениях видно, что подынтегральное выражение (19) при  = k1 совпадает с
подынтегральным выражением (16). Знаменатель подынтегральной функции в (19) имеет
нули при
 1, 2 
где

b  b 2  a 2 e12
,
e12


(20)

b 2  a 2 e12   k 22  k 32 1   x2  β y k 2  β z k 3  .
2
(21)
Способом, аналогичным тому, какой применялся при исследовании знака a2, можно
показать, что b 2  a 2e12  0 . Тогда после подстановки значений b, a2, e1 в (21), нули
знаменателя будут равны
 1, 2 
 x β y k 2  β z k 3   i k 22  k 32 1   x2   β y k 2  β z k 3  2
1   x2
(22)
Известно [7], что интеграл по замкнутому контуру типа (19) определяется через
сумму вычетов C-1
5
 f ( )exp( ix  )d
q
 2iC 1 ,
где f ( ) – сомножитель при экспоненте в (19).
Рассмотрим комплексный интеграл (19) по контуру полукольца с радиусом R в верхней
полуплоскости комплексного переменного  =  + i. Согласно (22), полюс  +, т.е. особая
точка при плюсовом знаке перед i, находится в этой полуплоскости. Представим интеграл
(19) как две составляющие: по верхней полуокружности CR и по
горизонтальному
диаметру:
 
R

      2iC 1  .
(23)
R
СR
В правой части записано его значение через вычет в точке  +, которая определяется
выражением (22) при знаке «+».
Согласно леммы Жордана [7] , интеграл по полуокружности с бесконечным
радиусом:
e12  b
exp ix qd
R   e 2 2  2b  a 2
1
CR
равен нулю, если xq > 0 и предел
lim
e12  b
является конечной величиной. Именно этот случай здесь имеет место.
  e 2 2  2b  a 2
1
lim
Если же, xq = x – x < 0, то условия леммы Жордана будут выполняться в нижней
полуплоскости и тогда, для вычисления интеграла (19), целесообразно разделить его на
две части с контурами интегрирования по нижней полуокружности –CR и по
горизонтальному диаметру:

R
 

CR
 
 2iС1   .
(24)
R
Для интеграла по нижней окружности также применима лемма Жордана. Поэтому,
интегралы, как по верхней полуокружности в (23), так и по нижней в (24) , равны нулю, а
интегралы по горизонтальному диаметру в пределе переходят в интеграл (16):
e12  b
exp ix q  d  I 1 .
R   e 2 2  2b  a 2
R 1
r
lim
Отсюда, в соответствии с (23) и (24), значение интеграла (16) будет равно при x – x > 0,
I1 = 2  iC-1( +), а при x – x < 0 равняется I1 = – 2  iC-1( -).
Найдем вычет для полюса в верхней полуплоскости:
 


С 1    lim  f  exp i xq      .
 
После подстановки f(  ), согласно (19), получаем величину вычета:
6
С1     lim
 
e   b exp i x       
e   b exp i x  
1          2i k  k 1    β k  β k 

2
1
q

2
x

2
1

2
2

q
2
3
2
x
y 2
2
.
z 3
Подставляя в последнее выражение значения e1 и b, можно записать вычет в виде:
 
С1 

 xq  x β y k 2  β z k3  ixq
 1 2 exp 
1   x2

k


 k32 1   x2  β y k2  βz k3  2 
 . (25)
1   x2


2
2
Аналогично определяется вычет для полюса в нижней полуплоскости:
 
С1 

 xq  x β y k 2  β z k3  ixq
+
 1 2 exp 
1   x2

k


 k32 1   x2  β y k2  βz k3  2 
 . (26)
1   x2


2
2
После подстановки значений вычетов в выражении для интеграла I1, находим:
при x > x

 x  y k 2   x  z k3
exp  x  x
I1  i exp ix  x
1   x2

k
2
2

при x < x

  k   k
I1  i exp ix  x x y 2 2 x z 3 exp x  x
1 x

k
2
2





 k32 1   x2   y k2   z k3  2 
,
1   x2


 k32 1   x2   y k2   z k3  2 
.
1   x2


Общее, для обоих случаев, выражение для интеграла можно записать в виде
  k   k 

x  x
I1  i
exp ix  x x y 2 2 z 3  x  x
x  x
1 x

k
2
2


 k32 1   x2   y k2   z k3  2 
.
1   x2


После подстановки I1 в (15), выражение для силы примет вид:
Fx 
 
q1q2 x  x
exp
2 x  x 


x  x
 x  y k 2 
i y  y  
2
1 x



  x  x
x  x
  z  z  
 x  z k3  

2
2
1 x

  1 x
 1   x2   y2
k
2
2

(27)

 k32 1   x2   y k 2   z k3  2 
dk 2 dk3 .
1   x2   y2

Введем новые обозначения:
L2  y  y  
L3  z  z  
x  x
xy ,
1   x2
x  x
xz ,
1   x2
7
(28)
(29)
Ag 
Ai 
 y2  z2
,
1   x2   y2
(30)

1   x2   z2   y2  z2 1   x2   y2

1
,
1   x2   y2
A  Ag  Ai i ,
x  x
(31)
(32)
1   x2   y2  0
(33)
s 2  k 2  k 3 A k 2  k 3 A   0 ,
(34)
u
1 
2
x
и заменим переменные
n = k2L2 + k3L3 .
(35)
Так как при изменении k2 и k3 в одной из полуплоскостей, например 0<k2<,
–<k3<,
новые переменные s и n принимают все возможные вещественные значения, например,
если 0<s<, –<n<, тогда полученное при интегрировании по n и s значение интеграла
необходимо удвоить.
Подстановка новых обозначений (28)–(35) в (27) приводит к следующему
выражению для силы:
 
q1q2 x  x
Fx 
exp iL2 k 2  L3 k3   us dk 2dk3 .
2 x  x 
Определим элемент площади в новых переменных n и s. Так как
 s n s n 
dk 2 dk3 ,
dsdn  


k

k

k

k
3
2 
 2 3
то с учетом (34) – (35) получаем
dk dk
dsdn  2 3 k 2 L3  L2 Ag   k 3 L3 Ag  L2 A 2  ,
s
где
 2y 2z
2
2
1





x
z
1   x2   y2
 2 y  z2
2
A 

.
1   x2   y2
1   x2   y2 2


(36)
(37)
(38)
Найдем выражения для k2 и k3 , как функции параметров s и n. С учетом (34) и (35),
будем иметь
L
n
k2 
 k3 3 ,
(39)
L2
L2
s 2  k22  2k2 k3 Ag  k32 A2 .
А после подстановки k2 в последнее выражение, получаем квадратное уравнение для k3
Ag
 L2

L
L
k32  23  2 Ag 3  A2   2k3 n 23 
L2
 L2 L2
 L2

8
 n2
  2  s 2  0 .
 L2
Решение этого квадратного уравнения, очевидно, равно
k3 
nL3  L2 Ag   L2 s 2 B 2  n 2 Ai2
B2
,
(40)
где
(41)
B 2  L23  2 Ag L3 L2  A2 L22 .
После подстановки k3 в (39), определим параметр
nL3 Ag  L2 A2   L3 s 2 B 2  n 2 Ai2
.
(42)
k2 
B2
Замена величин k2 и k3 в (37) соответствующими аналитическими формулами дает
окончательное выражение для элемента площади в новых переменных:
s
dk 2 dk 3  
dsdn .
(43)
s 2 B 2  n 2 Ai2
Двойные знаки, как уже было отмечено, свидетельствуют о двойственности значений k2 и
k3 при одних и тех же значениях n и s. Из выражений (40) и (42) видно, что k2 и k3 будут
действительны, если s 2 B 2  n 2 Ai2  0 , и тогда n  sBAi1 .
После подстановки элемента площади (43) в (36) и умножения на 2 сила запишется
в виде:


q  x  x 
s exp in  us 
Fx  1
d
s
dn .
(44)


 x  x 0  s 2 B 2  n 2 Ai2
Осуществим теперь переход к полярным координатам r,  в плоскости ns,
n  r  sin  ,
s  r  cos  ,
для которых элемент площади и диапазон изменения будут следующими:
 0    0 ,
dnds = rdrd,
0 < r < ,
где
B
 0  arctg .
Ai
Тогда выражение (44) в полярных координатах принимает вид


q1q2 x  x 0
r exp i sin   u cos   r
Fx 
cos

ddr ,


 x  x 
B 2 cos 2  Ai2sin 2

(45)
(46)
0
и после интегрирования по переменной r, получаем
q q  x  x 0
Fx  1 2
 x  x 

0
cos 
d
.
2
B cos   A sin  isin   u cos  
2
2
2
i
2
(47)
Выделим из (47) вещественную часть и после некоторых преобразований получим, что
B A
2q1q2 x  x 1
(u 2  tg 2 )dtg 
Fx 
0 u 2  tg 2 2 B 2  A2 tg 2 .
 x  x
i
Перейдем к новым параметрам, a1 и b1, по формулам:
B
B2
tg   sin  ,
a1  u 2 ,
b1  2  0 .
Ai
Ai
После очевидных операций получаем, что
 /2
2q1q2 x  x
a1  b1 sin 2
Fx 
d .
 x  x Ai 0 a1  b1 sin 2 2


Входящий в (49) интеграл можно записать в виде разности двух интегралов:
9
(48)
(49)
 /2
a1  b1 sin 2
 a
I2 
2
1  b1 sin 
0
 /2
 a
d  2a
2

0
1
 /2
d

 b1 sin 2
2


0
d
,
a1  b1 sin 2
(50)
выражения для которых даны в [8].
Запишем значение второго интеграла в виде
 a1  b1



arctg
tg

 /2


a
d

1

 2
d


.
0 a1  b1 sin 2
2
0 2 a2 ab
a1  a1b1
1
1 1
Первый интеграл легко вычисляется:
 /2
 a
0
1
d
 b1 sin 2


2
 /2

1
d


2a1  b1  
2a1 a1  b1  
a1  b1 sin 2
0
b1 sin  cos   2 
2a1  b1

.

2
a1  b 1sin  0  2a1 a1  b1  2 a12  a1b1
Подставляя значения интегралов в (50) находим интеграл I2 и после подстановки его в (49)
силу можно записать в виде:
a1
q1q2 x  x
.
 x  x Ai a1 b1 3 / 2
В соответствии с (48) определим параметры a1 и b1:
x  υx t
a1  u 
1   x2   y2 ,
2
1 x
Fx 


(51)

L23  2 Ag L3 L2  A2 L22 1   x2   y2
B2
b1  2 
,
Ai
(1   x2 ) (1   2 )
a1  b1 

2
1   x2   y2
(1   x2   z2 ) (1   x2   y2 )   y2  z2

 z  υ t 



 1   x2   z2 x  υxt   1   x2   z2 y  υy t  

 1   x2   y2
2
z
2
2
 2  x  y  x  υx t   y  υ y t  
 2 x  z x  υx t  z  υz t   2 y  z  y  υ y t  z  υz t .
А это, как нетрудно проверить в обратном порядке, равняется
1   x2   y2
  2   

a1  b1 
r  υ t     r  υ t  2 .
1   x2 1   2
После подстановки Ai , a1 и b1 в (51) получаем:
x  x
q1q2 x  x
1   x2   y2
2
1 x
Fx 
1/ 2
3/ 2
 1   2 1   2   1   2   2 
  2    2
x
y
x
 

 x  x 
r  rq     r  rq 

2
 1   x2   y2   1   x2 1   2 

Это выражение после упрощений принимает вид












10





3/ 2




.
Fx 

q1q2 x  x 1   2
  
 
 r  rq 2    r  rq 




2 3/ 2
.
(52)
6. Сила воздействия движущегося заряда на неподвижный заряд
Нетрудно убедиться, что аналогичными являются решения уравнений (6) для
составляющих сил Fy и Fz. Поэтому силу воздействия движущегося заряда q1 со скоростью

υ на неподвижный заряд q2 можно записать в векторном виде с помощью соотношения:
 

q1q2 r  rq  1   2
.
(53)
F
  2    2 3/ 2
 r  rq     r  rq 
  
Если R  r  rq – вектор расстояния от заряда q1 до заряда q2 (см. рис. 1), то

движущийся со скоростью υ относительно него заряд q1 в соответствии с (53) действует
силой


q2 q1 1   2 R
F
(54)
  2 3/ 2
2
 R    R 
на заряд q2. Сила Кулона (IV) при взаимодействии неподвижных относительно друг друга
зарядов зависит только от расстояния между ними. Как видим из (54), сила
взаимодействия между движущимися заряженными телами зависит от их относительных
параметров: расстояния между ними, их относительной скорости и углового положения
между расстоянием и скоростью. Взаимодействие двух тел не зависит от координатных
систем, систем отсчета, эфира, поля. Этот результат свидетельствует о том, что
отсутствуют среды типа эфира или поля, относительно которых происходит движение.
Если бы они были, то взаимодействие зависело бы от скорости относительно этих
гипотетических сущностей. Выражение (54) также свидетельствует, что наиболее просто
рассматривать взаимодействия двух тел можно с помощью их относительного расстояния
и скорости, а не в разных системах отсчета, как это принято в теории относительности.
С помощью выражения (54) в работах [4, 9-11] решены различные задачи
электромагнитного взаимодействия тел и их движений.







Литература
1. Smulsky J.J. A New Approach to Electrodynamics and to the Theory of Gravitation // What
physics for the next century? Prospects for renewal, open problems, "heretical truths"/
Proceeding of the International Conference. Ischia, Italy. - 1991. - p. 336 - 344.
2. Smulsky I.I. The New Approach and Superluminal Particle Production // Physics Essays.1994.-Vol. 7.-No. 2.-P. 153-166.
3. Смульский И.И. Электромагнитное и гравитационное воздействия (нерелятевистские
трактаты).- Новосибирск: Наука. -1994.-225с.
4. Смульский И. И. Теория взаимодействия. - Новосибирск: Из-во Новосибирского ун-та,
ННЦ ОИГГМ СО РАН. - 1999. - 294с.
5. Smulsky J.J. Conceptual Error in Contemporary Science // Proceedings of the Natural
Philosophy Alliance. 13th Annual Conference 3-7 April 2006 at the University of Tulsa, OK,
USA. Vol.3, No. 2. Published Space Time Analyses, Ltd. Arlington, MA, USA.– 2007. – Pp.
277-281.
6. Иваненко Д., Соколов А. Классическая теория поля.– M.: ГТТИ, 1949.
7. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.–
М.: Физматгиз, 1968.– 720 с.
11
8. Градштейн И.С., Рыжик И.Н. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.,– М.:
Физматгиз, 1962.
9. Смульский И.И. Траектории при взаимодействии двух тел, зависящем от
относительных расстояния и скорости // Мат. моделирование.– 1995.– Т.7.– N.7.– С. 111125.
10. Smulsky J.J. The new Fundamental Trajectories: part 1 – Hyperbolic/ Elliptic trajectories//
Galilcan Electrodynamics. Vol. 13, № 2, 2002, pp. 23-28.
11. Smulsky J.J. The new Fundamental Trajectories: part 2 - Parabolic/ Elliptic trajectories//
Galilcan Electrodynamics. Vol. 13, № 3, 2002, pp. 47-51.
12