Рациональность, аксиомы Дедекинда и пыль Кантора

Рациональность, аксиомы Дедекинда и пыль Кантора
1. Докажите, что рациональные числа из отрезка [0;1] можно покрыть системой
интервалов суммарной длины не больше 1/1000.
2. В числе a = 0,12457... n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе .
Докажите, что a - иррациональное число
3. Докажите, что число √2 + √3 + √5 + √7 + √2014 иррационально.
4. Дана бесконечная десятичная дробь 0,a1a2... Докажите, что цифры в ее десятичной
записи можно переставить так, чтобы полученная дробь выражала рациональное
число.
1
2
𝑀
5. Числа [a], [2a], ..., [Na] различны между собой, и числа [ ], [ ] , … , [ ], , ..., тоже различны между собой. Найти
𝑎
𝑎
𝑎
все такие a.
6. Докажите, что при определении вещественных чисел с помощью сечений Дедекинда все законы арифметики
сохраняются.
Множество Кантора или пыль Кантора
Рассмотрим отрезок [0; 1]. Разобьем его на три равные части и выбросим среднюю часть –
интервал (1/3; 2/3). Разобьем каждую из двух оставшихся частей снова на три равные части
и выбросим каждую среднюю часть – интервал (1/9; 2/9) и интервал (7/9; 8/9).
Разобьем каждую из четырех оставшихся частей на три равные части и выбросим каждую
среднюю и т.д. Оказывается, что этот бесконечный процесс приводит к тому, что от взятого
вначале отрезка остается множество точек, называемое канторовским множеством.
Докажите:
6. Канторово множество замкнуто.
7. Канторово множество не содержит не содержит изолированных точек – в любой окрестности произвольной его
точки содержатся другие точки этого множества.
Замкнутое множество, не имеющее изолированных точек, называется совершенным множеством. Так что
канторовское множество совершенно.
8. С другой стороны, оно исключительно «дырявое» – не содержит ни одного отрезка целиком.
9. Канторово множество имеет мощность континуум.
10. «Длина» канторового множества равна 0.
Основатель теории множеств Г. Кантор построил это множество в 1883 г.
11. Попробуйте сделать аналогичнео построение с квадратом (ковер Серпинского) и кубом.
12. Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа. Докажите, что найдется такой
отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине
13. Арифметико-геометрическое среднее. Пусть a и b — два положительных числа, причем a > b. Построим по
𝑎 +𝑏
этим числам две последовательности {an} и {bn} по правилам: a0 = a, b0 = b, 𝑎𝑛+1 = 𝑛 2 𝑛 , 𝑏𝑛+1 = √𝑎𝑛 𝑏𝑛 (n ≥ 0).
Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел. Этот предел называется арифметикогеометрическим средним чисел a, b.
14. Арифметико-гармоническое среднее. Пусть a и b — два положительных числа, причем a > b. Построим по
𝑎 +𝑏
2
этим числам две последовательности {an} и {bn} по правилам: a0 = a, b0 = b, 𝑎𝑛+1 = 𝑛 2 𝑛 , 𝑏𝑛+1 = 1 1 (n ≥ 0).
+
𝑎𝑛 𝑏𝑛
а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел. Этот предел называется арифметикогармоническим средним чисел a и b.
б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел a и b.
15. Докажите иррациональность числа e.