Основы теории управления Линеаризация дифференциальных уравнений

Основы теории
управления
Линеаризация дифференциальных уравнений
Математическое описание
элементов и систем
Это
вход
управления
x(t)
система
Это
выход
y(t)
• Математическое описание устанавливает
Выходное
Входное
связь во времени между текущими
воздействие
выходными
y(t)
и
входными
x(t)
воздействи
е
величинами
Динамика элемента – поведение его
координат во времени
описывается дифференциальными
уравнениями
Динамика элемента – характеризуется
переходным процессом
При t→∞, координаты y(t) и x(t)
принимают постоянные
установившиеся значения
Это статика элемента.
Статика наступает,
когда
x(∞)=x =const;
y(∞)=y =const
0
0
- Теоретически при t→∞
- Практически
при |x-x0|<<5%,
когда текущие
Эти
параметры называют
установившимися,
а
координаты
отличаются отстатике,
своих называют
процесс
соответствующий
установившихсяпроцессом
значений не более чем на 5 %
установившимся
Система
Система – это
целенаправленное
множество взаимосвязных элементов
любой природы
Это
элемент
системы
Это
элемент
системы
Это
элемент
системы
Линеаризация
дифференциальных уравнений
Нелинейное
уравнение
≈
Линейное
уравнение
Пусть существует нелинейная зависимость
y(t )  F ( x(t ))
Изобразим y(t) графически
Линеаризация дифференциальных
уравнений
y(t )  F ( x(t ))
Δy
y
Это
x(t ) рабочая
 x0  x(t )
Δx
y (t ) точка
y0  y (t )
kxx(t )
y(ty)yn k
Δy
y0
 dy 
k  
 dx 0
Δx
Геометрический смысл линеаризации:
Замена кривой на касательную к ней прямую в рабочей точке
x0
x
Составим уравнение элемента системы
x(t)
f(t)
элемент
y(t)
Получим динамическое уравнение произвольного
нелинейного типа
F  y, y, y   G  x, x, f 
F  y, y, y   G  x, x, f 
(1.1)
Выберем произвольно рабочую точку, тогда
Для текущихзначения
координат
тогда запишем
установившиеся
переменных
y, x, f -
x x(tx)0  xconst
0  x (t )
y y(ty)0  yconst
0  y (t )
Где
x(t ), y(t ), f (t )
от
(1.2)
F  y0   G  x0 , f 0 отклонения
f ff 0 f 
const
f (t )
0
положения
равновесия
из (1.1) получим уравнение статики элемента
F  y0   G  x0 , f 0 
(1.2)
для линеаризации (1.2) разложим его в ряд Тейлора
Рядом Тейлора называют ряд функции y(x)
следующего вида
 n
y( x0 )
y( x0 )
y
( x0 )
2
y ( x)  y ( x0 ) 
( x  x0 ) 
( x  x0 )  ... 
( x  x0 ) n
1!
2!
n!
Применим (1.1) к ряду Тейлора
F  y, y, y   G  x, x, f 
получим
 
F(y0 )    F   y+   F   y+  F  y 
y 0
  y 0
  y 0
 G  x+  G  x+  G  f + R
= G(x 0 ,f 0 ) 
x 0
x 0
f 0
 
где R – остаток ряда
 
 
Вычтем из (1.3) – (1.2)
 
  F   y+   F   y+ 
 y
 y


0

0
 G  x+  G  x+
=
 x 0
 x 0


(1.3)



F
y
y 
0
G
f

(1.4)
f
0
Сравним уравнения (1.1) и (1.4)
F  y, y, y   G  x, x, f 
(1.1)
 
  F   y+   F   y+ 
 y
 y


0

0
 G  x+  G  x+
=
x 0
x 0
 
 
F
y
y 
0
  Gf 
f
0
(1.4)
1. Точное уравнение
1. Уравнение приближенное
2. Уравнение
относительно y, x, f
2. Уравнение относительно отклонений от
т.(x0,y0)
3. Уравнение
нелинейное
3. Линейное уравнение
4. При изменении т. (x0,y0), изменятся все
угловые коэффициенты