Prezentaciya_2

Лекция 2. Деформации
• Деформацию тела под действием внешних сил
связывают с изменением формы и размеров тела.
• Если устранение причины деформации (разгрузка)
приводит к исчезновению деформации, то деформацию
называют упругой или обратимой.
• Если устранение причины деформации не приводит к
полному исчезновению деформации, то оставшуюся часть
деформации называют необратимой или пластической.
• Различают абсолютную деформацию и относительную
деформацию
Абсолютная деформация
• Абсолютная деформация характеризует
интегральную реакцию тела на внешнее воздействие.
Примеры абсолютной деформации – прогиб балки,
удлинение стержня, угол закручивания вала.
• Мерой абсолютной деформации является перемещение
одной или нескольких точек тела из начального
положения в конечное.
Относительная деформация
• Чтобы получить характеристику интенсивности
изменения формы и размеров тела вводят понятие
относительной деформации.
• Относительная деформация характеризует реакцию
рассматриваемой точки (области) тела на внешнее
воздействие.
• Различают линейную и угловую относительную
деформацию
• Под точкой тела в сопротивлении материалов
понимают объем некоторого элементарного
параллелепипед.
Относительная линейная деформация
Под действием сил произойдет изменение размеров граней
параллелепипеда
y
dy
dy
dx
dx
x
Относительная линейная деформация  x – это отношение
удлинения dx отрезка к его начальной длине dx .
x 
Аналогично
dy
y 
dy
dx
dx
z 
dz
dz
Относительная угловая деформация
Предположим, что элемент изменил также форму – прямоугольный
параллелепипед стал косоугольным.
Определим угловую деформацию xy как меру изменения прямого
угла, в данном случае угла между осями x и y :
  dx   dx
 xy  a tan

dy
 dy 
Аналогично
 dy 
 yz 
dz
 dz 
 zx 
dx
Закон Гука. Модули упругости
Закон Гука отражает экспериментально установленную
линейную зависимость между относительными
деформациями и напряжениями.
Для нормальных напряжений
 x  E x ,
где Е – модуль упругости первого рода (модуль Юнга).
Для касательных напряжений
 xy  G xy ,
где G – модуль упругости второго рода (модуль сдвига).
Коэффициент Пуассона
Коэффициент Пуассона  устанавливает связь
между продольными  x и поперечными ( у и  y )
относительными деформациями.
y
z


x x
Растяжение – сжатие прямого стержня
Растяжение (сжатие) – деформация
стержня под действием сил, направление
действия которых совпадает с осью
стержня, проходящей по центрам
тяжести всех нормальных сечений
стержня.
Напряжения при растяжении
dN X   X dF
N X    X dF   X F
F
NX
X 
F
N X ( x)


X x 
F ( x)
Деформации и перемещения при растяжении
 dx   X
NX
X 


dx
E
EF
x
N X dx
 dx    X dx 
EF
N X x dx
 N x     X x dx  
0
0 E  x F  x 
x
x
N X dx
 N x     X dx  
0
0 EF
x
Температурное удлинение стержня равно
x
 T  x    T  x dx ,
0
где  - коэффициент линейного температурного расширения и T  x  закон изменения температуры по длине стержня.
x
x
0
0
U x    N x   T x     X x dx   T x dx
NX L
U
 TL
EF
Построение эпюр
внутренних сил, напряжений, относительных
деформаций и перемещений сечений.
• Дан стержень, закрепленный с одного конца
x1
0.2 m
F1
9 cm
2
x2
0.4 m
F2
22 cm
2
x p1
0.1 m
x p2
0.3 m
P1
120 kN
P2
60 kN
Распределение температуры по длине стержня
5
2 10 MPa
T
T ( x)
19 K

5 1
1.2 10 K
0 if 0 x x p2
T if x p2 x x 2
0 K otherwise
0
Температура, К
E
10
20
0
0.1
0.2
0.3
Координата сечения x, , м
Распределение площади сечения стержня по
длине стержня
F 1 if 0 x x 1
F ( x)
F 2 if x 1 x x 2
2
Площадь сесения, кв.см
0 m
otherwise
30
20
10
0
0
0.1
0.2
0.3
Координата сечения x, , м
Вычисление реакции опоры R
Заделка на левом конце противодействует силам P1 и P2 , возникает
реакция опоры R. Заменим заделку этой реакцией и вычислим ее
значение.
F1
P1
R
P2
F2
0
x p1
x1
x p2
x2
х
Спроектируем все силы на ось х, запишем уравнение равновесия и найдем
значение R.
 R  P1  P2  0
;
R  P2  P1
.
Вычисление продольной внутренней силы
(Первый силовой участок)
Проведем сечение стержня на участке
0  x  x p1
Рассмотрим левую часть, связав с сечением координатную систему (X,
Y, Z). Действие отброшенной правой части на левую часть заменим
силой N X , направив ее от сечения в направлении оси Х.
NX
R
 R1  N X  0
Х
0
х
N X  R  P2  P1
Вычисление продольной внутренней силы
(Второй и третий силовой участок)
Проведем сечение стержня на участке
NX
P1
R
 R1  P1  N X  0
Х
0
x p1 x1
x1
х
x p1  x  x p 2
N X  R  P1  P2
Вычисление продольной внутренней силы
(Четвертый силовой участок)
Проведем сечение стержня на участке
P1
R
P2
x1
x p 2  x  x2
NX
Х
0
x p1 x1
x1
x p2
 R1  P1  P2  N X  0
х
R  P2  P1
N X  R  P1  P2  0
Эпюра продольной внутренней силы
Внутренняя продольная сила равна алгебраической сумме сил,
действующих по одну сторону от сечения. Сила, направленная
справа налево, берется со знаком «плюс» .
N X ( x)
R if 0 x x p1
R
P 1 if x p1 x x p2
R
P1
P 2 if x p2 x x 2
Продольная сила N.x ,, кН
0 kN otherwise
100
50
0
50
100
0
0.1
0.2
0.3
Координата сечения x, , м
Эпюра нормальных напряжений
 X ( x)
N X ( x)
F ( x)
Напряжение, MPa
100
50
0
50
100
0
0.1
0.2
0.3
Координата сечения x, , м
Эпюра относительных линейных деформаций
 X ( x)
Относит. деформация, эпсилон
 X ( x)
E
4 10
4
2 10
4
 T ( x)
0
2 10
4
4 10
4
0
0.1
0.2
0.3
Координата сечения x, , м
Эпюра перемещений сечений стержня
относительно опоры
0
 X ( x) d x
U ( x)
Перемещение сечения U, мм
x
0.02
0
0.02
0.04
0
0.1
0.2
0.3
Координата сечения x, , м
.
Итоги построения эпюр
Напряж ение, M Pa
П р од ол ьн ая с и л а
N .x ,, к Н
Объединим рисунок стержня и все построенные эпюры
100
Эпюра N X
50
0
50
100
0
0.1
0.2
Координата сечения x, , м
0.3
100
50
Эпюра X
0
50
100
0
0.1
0.2
Координата сечения x, , м
0.3
4  10
4
2  10
4
Эпюра  X
0
2  10
4
4  10
4
П е р е м ещ е н и е с е ч е н и я U , м м
О т н о с и т . д е ф о р м а ц и я , э п с и л о н
Итоги построения эпюр (продолжение)
0
0.1
0.2
0.3
Координата сечения x, , м
0.02
0
0.02
0.04
0
0.1
0.2
Координата сечения x, , м
0.3
.
Эпюра U X