Жизнь на краю хаоса?

ЖИЗНЬ НА КРАЮ ХАОСА?
РЕЗУЛЬТАТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ И АНАЛИЗА
ДАННЫХ ПОЛЕВЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
Александр Б. Медвинский
Институт теоретической и экспериментальной
биофизики РАН
Пущино, Московская область, 142290
medvinsky@iteb.ru
alexander_medvinsky@yahoo.com
Соавторы: Борис Адамович (Mинск), Тамара Михеева (Mинск),
Наиля Нуриева (Пущино), Наталия Радчикова (Mинск), Aлексей Русаков (Пущино),
Taтьяна Жукова (Нарочь)
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ ИЛИ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА?
В ходе экологического моделирования в большинстве случаев
используются непрерывные переменные, выражаемые
действительными числами. Однако в реальности численность
популяций не может изменяться непрерывно, поскольку
популяции состоят из целого числа особей. Дискретностью
популяций не всегда можно пренебрегать.
Jackson, E.A. (1989) Perspectives of Nonlinear Dynamics, Cambridge University, Cambridge.
Coulson, T., Rohani, P., Pascual, M. (2004) Trends in Ecology and Evolution 19, 359-364.
Henson, S.M., Costantino, R.F., Cushing, J.M., Desharnais, R.A.,
Dennis, B., King, A.A. (2001) Lattice effects observed
in chaotic dynamics of experimental populations.
Science 294, 602-605
c
 c

L(t  1)  bA(t ) exp   ea A(t )  el L(t ) 
V
 V

P(t  1)  1  l L(t )
 c pa

A(t  1)  P(t ) exp  
A(t )   1   a A(t )
 V

c

 c

L(t  1)  int bA(t ) exp   ea A(t )  el L(t ) 
V
 V


P(t  1)  int 1  l L(t )


 c pa

A(t  1)  int  P(t ) exp  
A(t )   1   a A(t )
 V



model
experiment
“… the traditional focus on continuous-state models is too narrow.”
Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V., Nurieva, N.I. (2013) Integer-based
modeling of population dynamics: Competition between attractors
limits predictability. Ecological Complexity, 13, 108-116
Логистическое разностное уравнений
N (t ) 

N (t  1)  rN (t )1 
  N (t )
K 

широко применяется в
математической экологии
Отображение Рикера
 c

N (t  1)  rN (t ) exp   N (t ) 
 K

Дискретный аналог логистического
разностного уравнения:
N (t ) 



N (t  1)  int rN (t )1 
  N (t )
K 



Дискреный аналог отображения Рикера:

 c

N (t  1)  int rN (t ) exp   N (t ) 
 K


используется для моделирования
пополнения рыбных запасов
Разностное уравнение Гомперца
N (t  1)   rN (t ) ln
N (t )
 N (t )
K
было предложено для описания
человеческой смертности в предположении,
что веротность умереть с возрастом
увеличивается экспоненциально. Это
уравнение также используется при
математическом моделировании
рыболовного промысла
Дискретный аналог разностного
уравнения Гомперца:
N (t )


N (t  1)  int  rN (t ) ln
 N (t )
K


ПОПУЛЯЦИОННАЯ ДИНАМИКА:
БИФУРКАЦИОННЫЕ ДИАГРАММЫ
N 

N t 1  rN t 1  t   N t
K 

N 
 

N t 1  int rN t 1  t   N t 
K
 

 c

N t 1  rN t exp   N t 
 K


 c

N t 1  int rN t exp   N t 
 K


N t 1   rN t ln
Nt
 Nt
K
N


N t 1  int   rN t ln t  N t 
K


Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V., Nurieva, N.I. (2013) Integer-based modeling of
population dynamics: Competition between attractors limits predictability.
Ecological Complexity 13, 108-116.
СПЕКТРЫ ФУРЬЕ:
(а) ЛОГИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕПРЕРЫВНЫХ СОСТОЯНИЙ,
(b) ЕЁ ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛОГ
Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V., Nurieva, N.I. (2013) Integer-based modeling of
population dynamics: Competition between attractors limits predictability.
Ecological Complexity 13, 108-116.
РЕКУРРЕНТНЫЕ ДИАГРАММЫ КАК
СПОСОБ ВЫЯВЛЕНИЯ ХАРАКТЕРА
НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ
(Eckmann, J.-P., Kamphorst, S.O., Ruelle, D. (1987) Europhysics Letters 4, 973-977)
Вначале строится вектор N(t)=(N(t),N(t-h),…,N(t-(d-1)h), где N(t) –
величина, задаваемая временным рядом в момент времени t, d –
размерность пространства вложения, h суть временной лаг. В d-мерном
пространстве вложения вектор N(t) представляется в виде точки. Эта точка
характеризует изменение сосотяния системы в течение интервала времени,
предшествующего моменту t.
Затем вычисляется расстояние (Δ) между точка i и j:
Δ = mod [N(i) - N(j)] .
Для периодического (с периодом T ) временного ряда Δ = 0, когда mod (i – j)
= nT, при n = 0, 1, 2, 3, …. Численные значения i откладываются вдоль
горизонтальной оси рекуррентной диаграммы, а численные значения j –
вдоль вертикальной оси.
Для построения рекуррентной диаграммы мы отмечаем точки с
координатами (i,j), если Δ < ε, где ε – малая константа.
РЕГУЛЯРНОСТЬ ХАОСА
Pavel Borisenko
Oil painting, 2002
(1) Периодический процесс
(2) Хаос
(3) Случайный процесс
Бобырев A.E., Бурменский В.A., Kриксунов E.A., Meдвинский A.Б., Meльник, M.M.,
Нуриева Н.И., Русаков A.В. (2012) Биофизика 57, 140-145.
ХАОС И РЕГУЛЯРНОСТЬ
Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V., Nurieva, N.I. (2013) Integer-based modeling of population dynamics:
Competition between attractors limits predictability. Ecological Complexity 13, 108-116.
СОСУЩЕСТВОВАНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ АТТРАКТОРОВ
В ДИСКРЕТНОМ АНАЛОГЕ
ОТОБРАЖЕНИЯ РИКЕРА (K = 103)
N(t = 0) = 167
N(t = 0) = 168
N(t = 0) = 169
N(t = 0) = 178
N(t = 0) = 179
Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V., Nurieva, N.I. (2013) Integer-based modeling of
population dynamics: Competition between attractors limits predictability.
Ecological Complexity 13, 108-116.
ХАОТИЧЕСКИЕ УЧАСТКИ РЕГУЛЯРНЫХ
ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ (K = 5∙105)
Для численной оценки λ мы использовали метод, предложенный в
(Kantz, H., Schreiber, T. (1997) Nonlinear Time Series Analysis. Cambridge University, Cambridge).
λ = +0.41

 c

N t 1  int rN t exp   N t 
 K


λ = +0.31
N 
 

N t 1  int rN t 1  t   N t 
K
 

λ = +0.37
N


N t 1  int   rN t ln t  N t 
K


Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V., Nurieva, N.I. (2013) Integer-based modeling of
population dynamics: Competition between attractors limits predictability.
Ecological Complexity 13, 108-116.
РЕКУРРЕНТНАЯ ДИАГРАММА ДЛЯ
ДИСКРЕТНОГО АНАЛОГА ЛОГИСТИЧЕСКОГО
ОТОБРАЖЕНИЯ (K = 5∙105)
Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V., Nurieva, N.I. (2013) Integer-based modeling of
population dynamics: Competition between attractors limits predictability.
Ecological Complexity 13, 108-116.
ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ВЫВОДЫ:
•
Несмотря на широкое распространение моделирования систем
в терминах непрерывных состояний, модели дискретных
состояний представляются более реалистическими с
биологической точки зрения, поскольку реальные популяции
состоят из конечного числа дискретных особей.
•
Хотя динамика популяционных систем, характеризующихся
дискретными состояниями, регулярна, предсказуемость этих
систем может существенно ограничиваться конкуренцией
между сосуществующими нехаотическими аттракторами. В
результате даже небольшие изменения размера популяции,
вызванные внешними случайными факторами, могут прводить
к непредсказуемым переходам системы от одного регулярного
аттрактора к другому.
•
В том случае, если внешними воздействиями можно
пренебречь, предсказуемость динамики систем,
характеризующихся дискретными состояниями, зависит от
временного масштаба. На сравнительно коротких временах
изменения размера популяций, характеризующихся
дискретными состояниями, могут быть хаотическими, в то
время как на больших временных масштабах временные ряды
дискретных состояний, формируемые периодически
повторяющимися хаотическими участками, являются
регулярными и полностью предсказуемыми.
ЖИЗНЬ НА КРАЮ ХАОСА?
Для того, чтобы оценить влияние шума на динамику исследуемых модельных систем,
мы сравнивали предсказуемость нерегулярных колебаний размера популяций как в
случае моделей с дискретными состояниями, так и для их непрерывных аналогов (как
детерминистических, так и стохастических). С этой целью мы использовали
модифицированную версию (Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V. Chaos and order in stateless
societies: intercommunity exchange as a factor impacting the population dynamical patterns.
(2011) Chaos, Solitons & Fractals 44, 390-400) алгоритма, предложенного в книге
(Kaplan, D., Glass, L. (1995) Understanding Nonlinear Dynamics. Springer, New York).
Было показано, что возрастающая интенсивность шума может приводить к сравнимым
численным значениям горизонта предсказуемости зашумленной нехаотической
динамики систем с дискретными состояниями и зашумленной хаотической динамики
систем с непрерывными состояниями. При этом численные оценки доминантого
показателя Ляпунова (λ) для зашумленных временных рядов хотя и были
положительными, но незначительно отличались от нуля: λ ≤ +0.1.
Ранее (Turchin, P. (2003) Complex Population Dynamics. A Theoretical/Empirical
Synthesis. Princeton University, Princeton) было выдвинуто предположение о том, что
динамика природных (а не модельных) популяций характеризуется следующими
значениями доминантного показателя Ляпунова: –0.1 < λ < +0.1. Эта концепция
получила название «жизнь на краю хаоса».
ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ЛИ ВСЕ ПОПУЛЯЦИИ
ЖИВУТ НА КРАЮ ХАОСА?
АНАЛИЗ ДАННЫХ ПОЛЕВЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
ДИНАМИКА ПЛАНКТОНА
В НАРОЧАНСКИХ ОЗЁРАХ
Горизонтальные оси: месяцы (май – октябрь; фитопланктон: 1993 - 2013;
зоопланктон: июль 1993 - 2013)
Вертикальные оси: биомасса, мг/л
ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ И
РЕКУРРЕНТНЫЕ ДИАГРАММЫ
(A) Сегмент фазовой траектории системы Рёсслера. Близость двух векторов в
фазовом пространстве (серая окружность в (A)) в моменты i и j, отмечается
чёрной точкой с кординатами (i,j) на рекуррентной диаграмме (B).
ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ И
ДИАГОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ НА
РЕКУРРЕНТНЫХ ДИАГРАММАХ
Диагональные отрезки на рекуррентных
диаграммах соответствуют промежутку
времени, в течение которого сохраняется
близость двух сегментов фазовых
траекторий.
Матрица, по которой строится рекуррентная
диаграмма:
Здесь 1 соответствует чёрным точкам на рекуррентной диаграмме. Более строго:
Θ – функция Хевисайда: Θ(x) = 1 при x > 0; Θ(x) = 0 при x < 0.
Определение диагонального отрезка длины l:
ОЦЕНКА ГОРИЗОНТА ПРЕДСКАЗУЕМОСТИ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЕКУРРЕНТНЫХ
ДИАГРАММ
Гистограмма P(ε, l) распределения длины l
диагональных отрезков рекуррентных диаграмм (с
учётом ε-окрестности):
Величина горизонта предсказуемости:
 lP(l )
 l 
 P (l )
N
T pr
l lmin
N
l lmin
Marwan, N., Romano, M.C., Thiel, M., Kurths, J. (2007) Recurrence plots for the analysis
of complex systems. Physics Reports 438, 237-329.
ЧИСЛЕННАЯ ОЦЕНКА ХАОТИЧНОСТИ
ВРЕМЕННОГО РЯДА С ПОМОЩЬЮ
РЕКУРРЕНТНОЙ ДИАГРАММЫ
Для оценки хаотичности временного ряда используется оценочная функция
энтропии Реньи второго порядка (корреляционная энтропия K2):
где pc (ε,l) – вероятность появления диагонального отрезка длиной l.
Имеет место формальное соотношение между корреляционная энтропия K2 и
показателями Ляпунова (Ruelle, D. An inequality for the entropy of differentiable maps.
(1978) Boletim da Sociedade Brasiliera de Matemática 9, 83):
.
Marwan, N., Romano, M.C., Thiel, M., Kurths, J. Recurrence plots for the analysis of complex
systems. (2007) Physics Reports 438, 237-329.
ХАОС В НАРОЧАНСКИХ ОЗЁРАХ, 1993 - 2013
ФИТОПЛАНКТОН
Малый плёс
Большой плёс
Мястро
Баторино
Водоём
Tpr
K2
λ ≈ 1/Tpr
Нарочь,
Малый плёс
≈ 6 months
+0.3
≈ 0.17
Нарочь,
Большой плёс
≈ 4 months
+0.6
≈ 0.25
Мястро
≈ 4 months
+0.5
≈ 0.25
Баторино
≈ 4 months
+0.6
≈ 0.25
ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИЙ
ВДАЛИ ОТ ГРАНИЦЫ ХАОСА
?
Продолжение следует