Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Армавирская государственная педагогическая академия»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
К ОРГАНИЗАЦИИ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
по дисциплине
Б З.Р «Основы элементарной математики»
Направление подготовки
Дефектологическое образование
Профиль подготовки
Логопедия (ZП Лог 4-1)
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения заочная
Составитель: доц. Фоменко Е.И.
Армавир, 2013
Литература
Основная литература
1. Виленкин Н.Я. и др. “Математика” - М. Просвещение, 1978 г.
2. Лаврова Н.Н., Стойлова П.П. “Задачник-практикум по математике” - М. Просвещение,
1985 г.
3. Стойлова Л.П. “Математика”, М. Изд. Центр «Академия», 1997 г.
4. Стойлова Н.П., Виленкин Н.Я. “Математика”, М. Просвещение, 1990 г.
5. Стойлова Н.П., Пышкало А.М. “Основы начального курса математики” - М.
Просвещение, 1988 г.
6. Фоменко Е.И. Пособие по математике для студентов заочного отделения факультета
педагогики и методики начального образования. Часть1. Армавир, 2000
7. Фоменко Е.И. Пособие по математике для студентов заочного отделения факультета
педагогики и методики начального образования. Часть 2. Армавир, 2000
8. Фоменко Е.И. Пособие по математике для студентов заочного отделения факультета
педагогики и методики начального образования. Часть3. Армавир, 2004
9. Фоменко Е.И. Пособие по математике для студентов заочного отделения факультета
педагогики и методики начального образования. Часть 4. Армавир, 2000
10. Фоменко Е.И. Основные вопросы математики: учебно- методическое пособие по
математике для студентов социально – педагогического факультета отделения
педагогики и методики начального образования педагогических вузов/ Е.И. Фоменко.Армавир: Редакционно – издательский центр АГПУ, 2009.-260с.
Дополнительная литература
11.Архипов Б.М. и др. “Математика” - Минск, 1976 г.
12.Кессельман В.С. Занимательная математика. М.: АСТ: Астрель,2008.
13.Колягин Ю.М., Луканкин Г.М. “Основные понятия современного школьного курса
математики”. - М. Просвещение, 1974 г.
14.Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. кол.: С.И.
Адян, Н.С. Бахвалов и др.- М.: Сов. Энциклопедия, 1988.
15.Новая иллюстративная энциклопедия. Кн.4 Ве-Ге.- М.: Большая российская
энциклопедия, 2000.
16.Пышкало А.М. “Теоретические основы начального курса математики” - М.
Просвещение, 1974 г.
17.Столяр А.А., Лельчук М.П. “Математика” - Минск, 1975 г.
Интернет-ресурсы:
1. 1. Образовательная система «Школа 2100» –http://www.school2100.ru
2. Российский общеобразовательный портал - http://www.school.edu.ru
3. Электронная библиотека. Грамотей. http://www.gramotey.com
5. Научная библиотека МГУ http://www.nbmgu.ru/ruslibraries
6. Российская государственная библиотека http://www.rsl.ru/
7. Электронная библиотека диссертаций РГБ http://www.diss.rsl.ru
ЗАДАНИЯ К ЗИМНЕЙ СЕССИИ
1) Выполните задания:
Тема: Понятие множества, элемент множества. Способы задания множеств. Виды
множеств. Отношения между множествами. Круги Эйлера
Выполните задания:
1) Найдите сходство и различие операций над множествами: пересечения,
объединения, разности, декартова произведения?
2) Найдите сходство и различие доказательства свойств пересечения,
объединения, разности, декартова произведения над множествами?
3) Изобразите на кругах Эйлера следующие множества:
а) АВС; б) АВ, ВС, АС=; в) АВ, СВ и АС=;
г) (АВ)С(рассмотрите различные случаи).
4) О каких множествах и операциях над ними идет речь в задачах:
а) С одной грядки сняли 25 кочанов капусты, а с другой-15 кочанов. Всю эту
капусту разложили в корзины по 8 кочанов в каждую. Сколько потребовалось
корзин?
б) Для школьного сада привезли 24 саженца яблонь. На одном участке пионеры
посадили 6 саженцев, а на другом - остальные в три ряда поровну. Сколько
саженцев посадили в каждом ряду?
5) Покажите, что выполняя задание: "Запишите числа, которые больше чем 65 и
меньше, чем 75",учащиеся по сути дела встречаются с двумя способами задания
множества.
6) Запишите множество К однозначных натуральных чисел, являющихся
нечетными или кратными 3. Выразите это множество через множество А,
однозначных нечетных чисел и множество В однозначных чисел кратных 3.
Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется элементами множества?
2. Какие способы задания множеств вы знаете?
3. Какое множество называется подмножеством другого множества?
Тема: Операции над множествами: пересечение, объединение, разность двух
множеств. Нахождение дополнения подмножества. Разбиение множества на
классы. Декартово произведение множеств. Свойства операций :
1. В чем сходство и различие операций над множествами: пересечения,
объединения, разности, декартова произведения? (Выделите отличительные
черты).
2. В чем сходство и различие доказательства свойств пересечения, объединения,
разности, декартова произведения над множествами? (Выделите
отличительные черты).
Выполните задания:
1)Докажите: а) свойство ассоциативности объединения множеств; б) свойство
дистрибутивности декартова умножения относительно пересечения (объединения)
множеств; в) свойства разности множеств № 10, 12, 13.
2)Запищите элементы пересечения (объединения, разности, декартова произведения)
множеств А и В:
а) А= {а,о,и,у,ю}, В={а,б,и,к,о};
б) А={3,6,9,12,15}; В={6,1,2,5,9,13}; в) А={1,2,3,4,5,6} В={12,34,56}.
3) Найдите разность множеств А и В:
а) А={д,о,м}, В={м,о,р,е}; б) А={11,12,48,54,7}, B={7,12};
в) А=х/ хN, х 11, В=х/ хN, х 5.
4) Выпишите все двузначные числа, в которых число десятков принадлежит множеству
{8,6,2}, а число единиц множеству {3,5,0}.
5) Даны множества: А={а, б, с}, B={m,n} ,С={х, у, z}. Запишите множества: АВС и
ВАС. Выясните, какие из следующих высказываний верны: а) (б, m, х)АВС;
б) (б, m, х)ВАС; в) АВС=ВАС.
6) Покажите графически, что декартово умножение множеств
А= {3,2,1} и В= {1, 4,6} не обладает свойством коммутативности.
7)Изобразите на координатной плоскости декартово произведение множеств Х и У, если
Х=х/ хN, х- четные; х  10, У= х/ хN, 5 х  10.
8) Определите порядок выполнения действий в следующих выра
жениях: а) АВС; б) АВС; в) АВСД; г) АВСД.
9) Постройте три круга, представляющие попарно пересекающиеся
множества А, В и С, и отметьте штриховкой области, изображающие
множества: а) АВС; б) АВС; в) (АВ)С; г) (АВ)С;
д) АВС; е) (АС) (В С).
10) Проиллюстрируйте, используя круги Эйлера, следующие свойства:
а) ассоциативности пересечения множеств;
б) дистрибутивности пересечения относительно объединения множеств;
в) дистрибутивности объединения относительно пересечения множеств.
11) Среди следующих выражений найдите такие, которые представляют собой равные
множества:
а) РМК; б) Р(МК); в) РМР К; г) Р(МК);
д) (РМ)К; е)(МР)(РК).
12) Даны множества: А - натуральных чисел, кратных 2; В - натуральных чисел, кратных
3; С- натуральных чисел, кратных 5.
а) Изобразите при помощи кругов Эйлера данные множества и от
метьте штриховкой область, изображающую множество А В  С.
б) Сформулируйте характеристическое свойство элементов этого
множества и назовите 3 элемента, которые ему принадлежат.
в) Верно ли, что А В С = (А В) (А  С)?
13) Сформулируйте условия, при которых истинны следующие выказывания:
а) 5  А \
В;
б) 7  А \ В.
14) Известно, что х  А \ В. Следует ли из этого, что: а)хА; б)хВ?
15) Найдите разность множеств А и В, если
а) А = {1,2, 3,4,5,6}, В ={2,4, 6, 8, 10};
б) А = {1,2, 3,4, 5, 6}, В = ;
в) А = {1,2,3,4,5,6},В={1,3,5};
г) А = {1, 2, 3,4, 5, 6}, В = {6, 2, 3, 4, 5, 1}.
16) В каких случаях, выполняя упражнение 14, вы находили дополнение множества В до
множества А?
17)Даны множества: А - натуральных чисел, кратных 3, В - натуральных чисел, кратных 9.
а) Сформулируйте характеристическое свойство элементов множества В'А.
б) Верно ли, что 123  В'А, а 333  В'А?
18) Найдите дополнение множества У до множества X, если:
а) Х- множество точек прямой АВ, Y- множество точек отрезка АВ;
б) X - множество точек квадрата, У - множество точек круга, вписанного в этот
квадрат.
19) Из каких чисел состоит дополнение:
а) множества натуральных чисел до множества целых;
б) множества целых чисел до множества рациональных;
в) множества рациональных чисел до множества действительных.
20) Из множества X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} выделили подмножества X1, Х2 и
Х3. В каком из следующих случаев множество X оказалось разбитым на классы:
а) X1 ={1,3,5,7, 11}, Х2 = {2,4,6,8, 10, 12},Х3={9};
б) X1 = {1,3,5,7,9,11}, Х2 = {2,4,6,8,10, 12}, Х3= {10, 11, 12};
в) X1 = {3, 6, 9, 12}, Х2 = {1, 5, 7, 11}, Х3 = {2, 10}?
21) Из множества X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10, 11, 12} выделим подмножества:
а) А - четных чисел, В - нечетных чисел;
б) А - чисел, кратных 2; В - чисел, кратных 3; С- чисел, кратных 4;
в) А - нечетных однозначных чисел; В - четных двузначных чисел.
В каком случае произошло разбиение множества X на классы?
Вопросы для самоконтроля.
1. Какое множество называется пересечением множеств А и В?
2. Докажите свойство ассоциативности операции пересечения множеств.
3. Какое множество называется объединением множеств А и В?
4. Какое множество называется разностью множеств А и В?
5. Какое множество называется декартовым произведением множеств?
6. Какое множество называется дополнением множества В до множества А?
7. Докажите свойства разности и дополнения множеств №10.11,12,13?
8. Докажите свойство дистрибутивности декартова произведения относительно
пересечения (объединения).
9. Докажите свойства связывающие операции пересечения и объединения множеств.
Тема: Понятие высказывания. Логические операции над высказываниями.
Предикаты, логические операции над предикатами. Кванторы.
Доказательство истинности или ложности высказываний с кванторами.
Построение отрицания высказывания с квантором.
1. Сравните высказывание и высказывание с квантором.
2. Что необходимо для выявления логической структуры составного предложения.
3. Определите сходство и различие между высказыванием и предикатом.
Выполните задания:
1) Что необходимо для выявления логической структуры составного предложения.
2) Определите сходство и различие между высказыванием и предикатом.
3) B высказывании «всякий прямоугольник является четырехугольником» выделите
квантор и высказывательную форму. Переформулируйте данное высказывание,
заменив слово «всякий» его синонимом.
4) В высказывании «хотя бы одно из чисел первого десятка составное» выделите
квантор и высказывательную форму. Переформулируйте данное высказывание,
заменив квантор «хотя бы одно» его синонимом.
5) Запишите, используя символы, следующие высказывания и определите их значения
истинности:
а) Всякое число, умноженное на нуль, есть нуль.
б) Произведение любого числа и единицы равно этому числу.
в) При делении нуля на любое другое число получается нуль.
г) Квадрат любого числа неотрицателен.
6) Укажите способы установления значения истинности высказываний, содержащих
кванторы, заполнив таблицу:
Структура высказывания
( х X) А(х)
( х  X) А(х)
Значение истинности
и
л
7)Сравните понятия высказывание и высказывание с квантором.
8)Запишите 5 таких чисел, что:
а) все они кратны 7; б) некоторые из них кратны 5; в) некоторые из них не кратны
5; г) ни одно из них не кратно 3.
9) Пусть P(x), Q(x) и R(x) соответственно обозначают следующие одноместные
предикаты: «треугольник х равносторонний», «треугольник х равнобедренный» и
«треугольник х прямоугольный».
Сформулируйте нижеприведенные высказывания и установите их значение
истинности: а) ( х) P(x); б) ( х) P(x); в) ( х) P(x) R(x);
г) ( х) R(x)  Q(x).
10) Ученик неправильно выполнил следующее задание: «Написать 4 таких числа,
чтобы некоторые из них были больше 12». Что можно сказать о числах,
написанных учащимся? Могло ли быть число 14 среди написанных чисел?
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется высказыванием?
2. Какие бывают высказывания? Дать их определение.
3. Что называется конъюнкцией (дизъюнкцией, отрицанием) высказывания?
4. Каковы свойства логических операций? Доказать с помощью таблицы истинности их
справедливость.
5. Какое предложение называется предикатом?
6. Что называется конъюнкцией (дизъюнкцией, отрицанием) предикатов?
7. Чему равно область истинности отрицания (конъюнкции, дизъюнкции) предикатов?
Доказать.
8. Что такое квантор?
9. Назовите виды кванторов.
10. Что называется операцией связывания кванторами?
11. Как установить истинность высказывания с квантором?
12. Как построить отрицание с квантором?
Тема: Определяемые и неопределяемые понятия. Способы определения понятий.
Требования к определению понятий. Решение задач на распознание.
1. Описать требования предъявляемые к понятиям.
Выполните задания:
1) Установите, какие ошибки допускаются при формулировке некоторых понятий.
2) Дайте определение квадрата через понятие «прямоугольник». Пользуясь данным
определением, укажите условия, при которых фигура будет являться квадратом.
3) Выявите логическую структуру следующих определений:
а)Параллельные прямые - это две прямые, принадлежащие плоскости и
непересекающиеся или совпадающие.
б) Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а
две другие не параллельны.
4) Установите, в каком из случаев (рис. 2) отрезок PQ является диаметром круга. Каким
определением диаметра удобнее воспользоваться при решении данной задачи:
а) Диаметр круга - это хорда,
проходящая через его центр.
б) Диаметр круга - это отрезок,
соединяющий две точки окружности
и проходящий через центр.
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется понятием?
2. Какими свойствами обладает каждый математический объект?
3. Назовите десять понятий изучаемых в начальном курсе математики. Есть ли среди них
такие, которые находятся в отношении рода и вида?
4. Что называется содержанием понятия?
5. Что называется объемом понятия?
6. Какое понятие называется родовым, а какое - видовым?
7. Что такое определение?
8. Какие существуют способы определения понятия?
9. Что такое определяемое и определяющее?
10. Сформулируйте требования предъявляемые к определению понятий.
Тема: Правильные и неправильные рассуждения. Простейшие правила вывода.
Проверка правильности рассуждений при помощи кругов Эйлера .
 П р и в е с т и п р и м е р ы н е п о л н о й и н д ук ц и и и а н а л о г и и .
 С ф о р м ул и р уй т е о п р е д е л е н и е п о л н о й и н д ук ц и и .
Выполните задания:
1. Если углы смежные, то их сумма равна 1800. АВС+DEF=2800. Следовательно, углы
ABC и DEF не смежные.
2.Все натуральные числа целые. Все целые числа рациональные. Следовательно, все
натуральные числа рациональные.
3.ЕСЛИ четырехугольник является прямоугольником, то у него диагонали равны. ABCD прямоугольник. Следовательно, у него диагонали равны.
4. Некоторые прямоугольники - квадраты. Все квадраты - правильные четырехугольники.
Следовательно, некоторые квадраты являются правильными четырехугольниками.
5. Некоторые целые числа не кратны 2. Некоторые целые числа кратны 3. Следовательно,
существуют целые числа, не кратные 6.
6. Постройте умозаключение, доказывающее, что: а) 18 делится на 2; б) 117 не делится на
2; в) 21 кратно 3; г) 121 не кратно 3.
7. Изобразите следующие высказывания с помощью к Эйлера:
а) все прямоугольники являются четырехугольниками;
б) некоторые учащиеся 1 В класса — отличники;
в) число 3,2 не является натуральным;
г) некоторые четные числа делятся на 3;
д) если число делится на 6, то оно делится на 2.
8. Приведите примеры умозаключений, встречающихся в начальных классах,
построенных по правилу: а) заключения; отрицания; в) силлогизма.
9.Закончите умозаключение, используя правило заключения:
Все студенты II курса педагогического факультета летом поработать в пионерский
лагерь. Соснина — ...
10. Закончите умозаключение, используя правило отрицания:
В любом прямоугольнике противоположные стороны попарно равны. В
четырехугольнике ABCD ...
11.Постройте правильные умозаключения из следующих предложений:
а) В четырехугольнике A BCD все углы прямые. Четырехугольник ABCD —
прямоугольник. Если в четырехугольнике все углы прямые, то он является
прямоугольником.
б) Все деревья имеют ствол. Боярышник не имеет ствола. Боярышник не является
деревом.
12.Восстановите рассуждение полностью:
5<6, так как при счете число 5 называется раньше чем 6.
Вопросы для самоконтроля.
1. Что такое умозаключение?
2. Какие виды умозаключений вы знаете?
3. Назовите простейшие схемы дедуктивных (не дедуктивных) рассуждений.
4. Что такое индукция (полная и неполная), аналогия?
5. Как осуществляется проверка правильности рассуждений с помощью кругов Эйлера?