Топологические эксперименты

гимназия №8 им. Л. М. Марасиновой
г. Рыбинск
Топологические
эксперименты
Глядя на мир, нельзя не удивляться.
Козьма Прутков
Работу выполнила
ученица 7 «А»класса
Павлова Инна
©
МОУ Гимназия №8, 2006
Содержание





Введение
Графы
Проблема четырех красок
Лист Мебиуса
Список литературы
© МОУ Гимназия №8, 2006
Что такое топология?
Топология – одна из самых «молодых» разделов
современной геометрии. Появилась она лишь в конце
19 века. В топологии изучаются свойства фигур,
которые могут быть установлены без измерения и
сравнения длин и величин углов. В школьном курсе
геометрии задачи подобного рода практически не
представлены.
Рассмотрим несколько топологических объектов.
© МОУ Гимназия №8, 2006
Графы
Фигура, образованная набором точек на плоскости и
отрезков(кривых), соединяющих некоторые из этих
точек, называется графом.
Точки называются вершинами,
а отрезки – ребрами графа.
Примерами графов могут служить
схемы метрополитена, железных
и шоссейных дорог, планы
выставок и т.д.
© МОУ Гимназия №8, 2006
Графы
Если граф можно «нарисовать одним росчерком», то
его называют уникурсальным графом.
Вершины могут быть четными или нечетными (по
количеству ребер графа, сходящихся в данной точке).

Если граф содержит не более двух нечетных
вершин, то он уникурсальный.
© МОУ Гимназия №8, 2006
Свойство уникурсального
графа
Если начало графа не совпадает с концом, то начало и
конец являются единственными нечетными вершинами.
Остальные вершины – четные, т.к. в каждую точку мы
входим и выходим из нее.
Если начало совпадает с концом, то нечетных вершин
нет.
© МОУ Гимназия №8, 2006
Задача о кенигсбергских мостах
положила начало задачам на вычерчивание фигур
(графов) одним росчерком.
Город Кенигсберг был расположен на берегах и двух
островах реки Преголь. Различные части города были
соединены семью мостами.
Совершая прогулки в воскресные дни, горожане
заспорили: можно ли выбрать такой маршрут, чтобы пройти
один и только один раз по каждому мосту и вернуться в
начальную точку пути?
Долго бы спорили жители города, если бы через
Кенигсберг не проезжал Леонард Эйлер. Он заинтересовался
спором и разрешил его.
Задаче о кенигсбергских мостах Эйлер посвятил целое
исследование и представил его в Петербургскую Академию
наук.
© МОУ Гимназия №8, 2006
Задача о кенигсбергских мостах
В городе Кенигсберге было семь мостов через реку Прегель. B –
левый берег, C – правый берег, А и D – острова. Можно ли,
прогуливаясь по городу, пройти через каждый мост ровно по одному
разу?
Решение:
Определим четность вершин графа.
В вершине А сходится 5 ребер, в
D – 3, в C – 3, в B – 3. Имеем 4
нечетные вершины.
Следовательно, граф не является
уникурсальным. Значит, нельзя
пройти по всем семи мостам,
побывав на каждом только один
раз.
© МОУ Гимназия №8, 2006
Задача про зайца
В небольшой роще
находится заяц. Выскочив
из норы и бегая по снегу
от дерева к дереву, он
оставил следы и, наконец,
спрятался под одним из
этих деревьев. Где
находится сейчас заяц и
где его нора?
Решение:
Все вершины этого графа,
кроме В и L, четные.
Значит заяц находится под
деревом L, а нора под
деревом B, либо наоборот.
© МОУ Гимназия №8, 2006
Можно ли нарисовать данные
фигуры одним росчерком
© МОУ Гимназия №8, 2006
Интересные задачи
1. Оса забралась в
стеклянный куб.
Сможет ли она
последовательно
обойти все двенадцать
ребер куба, не проходя
дважды по одному ребру?
2.
Добавьте еще один мост так,
чтобы можно было совершить
переход через все мосты,
побывав на каждом только
один раз, и вернуться в ту же
часть города, откуда началось
путешествие.
Решение
© МОУ Гимназия №8, 2006
Интересные задачи
3. На рисунке изображен план
подвала из десяти комнат.
Можно ли пройти через все
двери всех комнат, запирая
каждый раз ту дверь, через
которую вы проходите?
С какой комнаты нужно
начать движение?
Решение
© МОУ Гимназия №8, 2006
Проблема четырех красокодна из задач топологического характера
Сколько нужно красок для раскраски любой
географической карты, при которой соседние страны
раскрашены в разные цвета?
Для раскраски такой
карты потребовалось
три цвета.
Для раскраски этой
карты потребовалось
четыре цвета.
© МОУ Гимназия №8, 2006
Проблема четырех красок
Задачи раскрашивания карт были очень
популярны среди студентов математики конца XIX
века и даже привлекла к себе внимание крупных
ученых.
В 1879 году английский математик Келли
высказал гипотезу о том, что любую географическую
карту можно раскрасить четырьмя красками.
Опыт показал, что четырех красок
действительно достаточно, но строгого
математического доказательства не удавалось
получить на протяжении более ста лет. И только в
1976 К.Аппель и В.Хакен из Иллинойского
университета, затратив более 1000 часов
компьютерного времени, добились успеха.
© МОУ Гимназия №8, 2006
Проблема четырех красок



Каждую карту можно представить как
некоторый граф. Грани графа –
территории стран, ребра графа – границы
стран, вершины графа – точки
пересечения границ.
Для того чтобы раскрасить карту
только двумя красками необходимо и
достаточно, чтобы каждая вершина имела
четный индекс.
Для того чтобы карта была
раскрашена только тремя красками
необходимо и достаточно, чтобы каждая
грань графа имела четное число ребер.
Любую нормальную карту можно
раскрасить пятью разными красками.
© МОУ Гимназия №8, 2006
Задачи о раскраске карт
1.
2.
Какое минимальное
количество красок
необходимо для
раскраски данной
карты?
(ответ: четыре)
Сколько цветов
потребуется для
раскрашивания картысхемы московского
метрополитена?
3.
© МОУ Гимназия №8, 2006
Сколькими
красками
можно окрасить
грани
куба?
(ответ: тремя)
Лист Мебиуса
Рассмотрим несколько топологических опытов с
поверхностями, полученными из бумажной полоски
примерно 30 см в длину и 3 см в ширину.
Склеим два кольца: одно простое и одно перекрученное
Перекрученное кольцо получим так, как показано на
рисунке. Начнем закрашивать кольца с любого места,
постепенно перемещаясь по поверхности. У простого
кольца оказалась закрашенной только одна сторона, а у
перевернутого - вся поверхность.
Этот опыт провел в середине
прошлого века немецкий астроном
и геометр Август Мебиус. Он
обнаружил, что на перекрученном
кольце (впоследствии его назвали
листом Мебиуса) имеется только
одна сторона и один край!
© МОУ Гимназия №8, 2006
Лист Мебиуса
Муравью, ползущему по листу
Мебиуса, не надо переползать через
край, чтобы попасть на
противоположную сторону, как видно
на гравюре М. Эшера.
Свойство односторонности листа
используется при изготовлении
ременных передач. Если ремень
сделан в виде листа Мебиуса, то он
будет изнашивается вдвое
медленнее, чем обычный, т. к. в
работе принимает участие вся
поверхность, а не только внутренняя.
© МОУ Гимназия №8, 2006
Опыты с листом Мебиуса
задача
результат
разрезания
свойства
Разрезать лист
Мебиуса по
средней линии
1 кольцо
Длина
окружности в 2
раза больше,
кольцо уже
исходного и
является
двухсторонним.
Дважды
перекрученную
ленту разрезать
по средней линии
2 кольца
Оба кольца
двухсторонние,
длина окружности
не изменяется.
© МОУ Гимназия №8, 2006
рисунок
Опыты с листом Мебиуса
задача
результат
разрезания
свойства
Разрезать лист
Мебиуса шириной
5 см, отступив от
края на 1 см,
затем на 2 см, на
3 см, на 4 см.
3 кольца
Одно - маленькое,
одностороннее;
два другие –
большие,
перекрученные,
двухсторонние.
Лист Мебиуса
разрезать,
отступив от края
на 1/3 ширины
ленты.
2 кольца
Одно - большое,
двухстороннее;
другое –
маленькое,
одностороннее.
© МОУ Гимназия №8, 2006
рисунок
Литература
1.
2.
3.
4.
Познакомьтесь с топологией. Книга для внеклассного
чтения. VIII-X классы./ А.А. Саркисян и Ю.М. Колягин
- М.: Просвещение, 1976.
Геометрия: Учебник для 7-9 кл.
общеобразовательных учреждений./И. М. Смирнова,
В. А. Смирнов. – М.: Просвещение, 2001.
Наглядная геометрия. 5-6 кл.: Пособие для
общеобразовательных учебных
учреждений./Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н.- М.:
Дрофа, 2001.
Россыпи головоломок: Пер. с англ./Барр С. – М.:
Мир, 1987.
© МОУ Гимназия №8, 2006