Интересные факты из математики

Интересные факты из
математики
Ученика МБОУ лицея №15
г. Ставрополя
9 «Г» класса Золина Александра
Учитель Островская Таисия Алексеевна
•
•
А знаете ли вы, что рыбы умеют считать до четырех? Этот
интересный математический факт подтвердили итальянские
ученые. Сотрудник университета Падуи Кристиан Агрилло,
который участвовал в проведении эксперимента, сообщил: «Мы
получили доказательства того, что рыбы наделены
рудиментарными математическими способностями». Прежде
было известно, что рыбы умеют находить отличие между
большими и маленькими косяками рыб, но данный опыт показал,
что рыбы могут посчитать, сколько рыб плавает вокруг них.
Аналогичные математические способности имеют обезьяны,
дельфины и некоторые люди с ограниченными возможностями.
Данные интересные факты о математике основаны на
наблюдениях за самками пресноводной рыбы гамбузии, которые
показали, что когда за самкой начинает охотиться самец, она
пытается скрыться от него в ближайшем наибольшем косяке рыб.
При этом, выбирая между группами из двух, трех или четырех рыб,
она в состоянии сосчитать количество особей и прибиться к самой
большой группе. Кроме того, рыбы могут визуально отличить
более крупные числа, если их соотношение составляет 2:1. Эти
данные исследователи получили во время проведения второй
серии экспериментов. Так, к примеру, самка увидит разницу между
группами из 16 и 8 рыб, но не сможет различить стаи из 12 и 8 рыб,
так как соотношение в данном случае 3:2.
Как впервые измерили радиус
Земли
Как впервые измерили радиус Земли
Древние египтяне заметили, что во время летнего солнцестояния
Солнце освещает дно глубоких колодцев в Сиене (ныне Асуан), а в
Александрии – нет. У Эратосфена Киренского (276 год до н. э.—194 год
до н. э.) появилась гениальная идея – использовать этот факт для
измерения окружности и радиуса Земли. В день летнего
солнцестояния в Александрии он использовал скафис – чашу с
длинной иглой, при помощи которого можно было определить под
каким углом Солнце находится на небе.
Итак, после измерения угол оказался 7 градусов 12 минут, то есть
1/50 окружности. Стало быть Сиена отстоит от Александрии на 1/50
окружности Земли. Расстояние между городами считалось равным
5,000 стадиям, следовательно окружность Земли равнялась 250,000
стадиям, а радиус тогда 39,790 стадиев.
Неизвестно каким стадием пользовался Эратосфен. Если греческим
(178 метров), то его радиус земли равнялся 7,082 км, если египетским,
то 6,287 км. Современные измерения дают для усреднённого радиуса
Земли величину 6,371 км. В любом случае, точность для тех времён
потрясающая!
Египетское умножение
Египетское умножение
У древних египтян не было таблиц умножения и правил. Тем
не менее, умножать они умели и пользовались для этого
“компьютерным” способом – разложением чисел в двоичный
ряд.
Как же они это делали? А вот как:
Например, нужно умножить 22 на 35.
Записываем 22 35
Теперь делим левое число на 2, а правое умножаем на 2.
Подчёркиваем справа числа только тогда когда оно делится на
2.
Итак,
А теперь складываем 70+140+560=770
Правильный результат!
Египетское деление
Процесс египетского деления был очень
сложный и сопряженный с несколькими
попытками.
Например, делим 153 на 9.
Для этого умножаем 9 столько раз на 2 пока
9 не превысит 153.
Судьба отрицательных чисел
• Мы считаем отрицательные числа чем-то
естественным, но так было далеко не всегда.
Впервые отрицательные числа были узаконены в
Китае в III веке, но использовались лишь для
исключительных случаев, так как считались, в
общем, бесмыссленными. Чуть позднее
отрицательные числа стали использоваться в Индии
для обозначения долгов, но западнее они не
прижились – знаменитый Диофант
Александрийский утверждал, что уравнение
4x+20=0 – абсурдно.
• Какой математический закон раскрывается в
теореме о двух милиционерах?
Некоторые математические законы называют
по аналогии с ситуациями в реальной жизни.
Например, теорема о существовании предела
у функции, которая «зажата» между двумя
другими функциями, имеющими одинаковый
предел, называется теоремой о двух
милиционерах. Это объясняется тем, что если
два милиционера держат между собой
преступника и при этом идут в камеру, то
заключённый также вынужден туда идти.
• Каким сверлом можно просверлить
квадратное отверстие?
Треугольник Рело — это геометрическая
фигура, образованная пересечением трёх
равных кругов радиуса a с центрами в
вершинах равностороннего треугольника со
стороной a. Сверло, сделанное на основе
треугольника Рело, позволяет сверлить
квадратные отверстия (с неточностью в 2%).
• Почему Нобелевская премия не вручается за
достижения в математике?
Бытует мнение, что Альфред Нобель не включил
математику в список дисциплин своей премии из-за
того, что его жена изменила ему с математиком. На
самом деле Нобель никогда не был женат.
Настоящая причина игнорирования математики
Нобелем неизвестна, но есть несколько
предположений. Например, на тот момент уже
существовала премия по математике от шведского
короля. Другое — математики не делают важных
изобретений для человечества, так как эта наука
имеет чисто теоретический характер.
• Кто решил сложную математическую
проблему, приняв её за домашнее задание?
Американский математик Джордж Данциг,
будучи аспирантом университета, однажды
опоздал на урок и принял написанные на
доске уравнения за домашнее задание. Оно
показалось ему сложнее обычного, но через
несколько дней он смог его выполнить.
Оказалось, что он решил две «нерешаемые»
проблемы в статистике, над которыми бились
многие учёные.
Если вы спросите у химика, почему дрова или уголь горят только при высокой температуре, он скажет
вам, что соединение углерода с кислородом происходит, строго говоря, при всякой температуре, но при
низких температурах процесс этот протекает чрезвычайно медленно (т. е. в реакцию вступает весьма
незначительное число молекул) и потому ускользает от нашего наблюдения. Закон, определяющий
скорость химических реакций, гласит, что с понижением температуры на 10° скорость реакции (число
участвующих в ней молекул)уменьшается в два раза.
Применим сказанное к реакции соединения древесины с кислородом, т. е. к процессу горения дров.
Пусть при температуре пламени 600° сгорает ежесекундно 1 грамм древесины. Во сколько времени сгорит 1 грамм дерева при 20°? Мы уже знаем, что при температуре, которая на 580 = 58 · 10 градусов ниже,
скорость реакции меньше в
258 раз,
т. е. 1 грамм дерева сгорит в 258 секунд.
Скольким годам равен такой промежуток времени? Мы можем приблизительно подсчитать это, не
производя 57 повторных умножений на два и обходясь без логарифмических таблиц. Воспользуемся
тем, что
10
2 = 1024 × 103.
Следовательно,
58
60
2
60
2
2 =2
= 2 : 2 = 1/4 · 260 = 1/4 · (210)6 × 1/4 · 1018,
т. е. около четверти квинтиллиона секунд. В году около 30 млн., т. е. 3 · 107, секунд; поэтому
(1/4 ·1018) : (3 ·107) = 1/12 · 1011 × 1010.
Десять миллиардов лет! Вот во сколько примерно времени сгорел бы грамм дерева без пламени и жара.
Итак, дерево, уголь горят и при обычной температуре, не будучи вовсе подожжены. Изобретение орудий
добывания огня ускорило этот страшно медленный процесс в миллиарды раз.
А знаете ли вы, что «квадратура круга» не просто красивая метафора, а
вполне конкретная математическая задача, суть которой состоит в
построении с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по
площади данному кругу.
Математически неразрешимость этой задачи была доказана в 1882 году
Фердинандом Линдеманом, что, правда, не мешало многим энтузиастам
продолжать тратить годы на решение этой проблемы. Именно
бесмыссленность и бесперспективность таких изысканий привели к
появлению всем известной метафоры.
Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но
предупредила, что номер ее телефона очень сложно
запомнить: — 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный
Эйнштейн ответил: — Конечно, запомнил! Две дюжины и 19
в квадрате.
Многие физические явления открыты на бумаге математически,
например, многие космические объекты определены с помощью закона
Кеплера и закона всемирного тяготения до того, как были обнаружены
физически. Также реактивное движение выведено на бумаге, и является
следствием
математического закона сохранения импульса системы тел. Законы
специальной теории относительности - математическое следствие
допущения Эйнштейна о незименности формулы для импульса тела при
больших скоростях. Ограничение по скорости скоростью света ниоткуда
не следует,
кроме как математических предположений. Таких математических
фактов очень много.
Так что небыло б математики,небыло б физики!
Самый древний математический труд был найден в Свазиленде – кость бабуина
с выбитыми чёрточками (кость из Лембобо), которые предположительно были
результатом какого-то вычисления. Возраст кости – 37 тысяч лет. Во Франции был
найден ещё более сложныйматематический труд – волчья кость, на которой
выбиты чёрточки, сгруппированные по пять штук. Возраст кости – около 30 тысяч
лет.
Ну и наконец знаменитая кость из Ишанго (Конго) на которой выбиты группы
простых чисел. Считается, что кость возникла 18-20 тысяч лет назад.
А вот древнейшим математическим текстом могут
считатьсявавилонские таблички с кодовым названием Plimpton 322, созданные в
1800-1900 году до нашей эры.
Как-то ночью шериф Кольт Ремингтон встретил трех ковбоев, сидевших вокруг
костра. Шериф заподозрил, что один из них — печально известный угонщик
скота, Боб-Скотобой, а двое других были похожи на обычных безработных.
Шериф был уверен, что эти двое, если их допросить, скажут правду, а БобСкотобой непременно солжет.
Когда шериф обратился к первому ковбою, тот, пробормотав что-то
нечленораздельное, кинулся наутек. Его приятель быстро проговорил:
— Он сказал, что он ковбой, и это правда! Мы оба — ковбои!
Тогда третий вскочил на ноги и закричал, указывая пальцем на второго:
— Это неправда! Он лжет!
Шериф Ремингтон, не раздумывая долго, защелкнул наручники на руках одного
из них:
— Ну что, попался, Боб-Скотобой? Теперь у тебя будет много свободного
времени!
Кого из этой троицы арестовал шериф?
Ответ
Шериф арестовал третьего ковбоя. Он понял, что второй ковбой говорил правду,
иначе и первый и второй оказались бы лжецами, то есть были бы угонщиками
скота. Но такого быть не могло, потому что угонщиком скота был только один
ковбой.
Число 37 обладает многими любопытными свойствами. Так, умноженное на 3 и на числа, кратные 3 (до
27 включительно), оно дает произведения, изображаемые одной какой-либо цифрой:
37 × 3 = 111;
37 × 6 = 222;
37 × 9 = 333;
37 × 12 = 444;
37 × 15 = 555;
37 × 18 = 666;
37 × 21 = 777;
37 × 24 = 888;
37 × 27 = 999.
Произведение от умножения 37 на сумму его цифр равняется сумме кубов тех же цифр, т. е.:
37 × (3 + 7) = 33 + 73 = 370.
Если в числе 37 взять сумму квадратов его цифр и вычесть из этой суммы произведение тех же цифр, то
опять получим 37:
(32 + 72) – 3×7 = 37.
Но едва ли не самым интересным свойством числа 37 является то, что некоторые кратные ему числа при
круговой перестановке входящих в них цифр дают опять-таки числа, кратные 37. Например:
259 = 7 × 37
592 = 16 × 37
925 = 25 × 37
То же самое верно относительно чисел 185, 518, 851 и чисел 296, 629, 962. Все эти числа состоят из тех же
цифр, только переставляемых в круговом порядке, и все они кратны 37.
Подобным же свойством отличаются и некоторые числа, кратные 41. Так, числа:
17589; 75891; 58917; 89175 и 91758,
как легко проверить, все кратны 41, и каждое получается из предыдущего путем только одной круговой
перестановки входящих в число цифр.
Интересные свойства числа 9 часто применяются в арифметике как для теоретических изысканий и
практических действий, так и для составления различных занимательных задач или так называемых
«головоломок».
Распространено также практическое применение девятки для проверки умножения и деления.
Основано оно на том свойстве всякого числа, что остаток, получаемый от деления числа на девять,
всегда равен остатку от деления на 9 суммы цифр этого числа. Укажем здесь еще несколько интересных
применений этого числа.
Прежде всего нетрудно убедиться, что если мы напишем произвольное двузначное число, а затем
напишем цифры этого же числа в обратном порядке и возьмем разность полученных чисел, то эта
разность всегда разделится на 9.
Например,
72 − 27 = 45;
92 − 29 = 63;
63 − 36 = 27
и т. д.
Вообще ясно, что
(10a + b) − (10b + a) = 9(a − b),
т. е. получается число, делящееся на 9. (Кроме того разность эта равна произведению 9 на разность цифр
данного двузначного числа.)
Знание этой особенности может принести практическую пользу, например, многим бухгалтерам. В
двойной бухгалтерии случаются иногда ошибки, происходящие от перестановки цифр в числах. Так,
например, бухгалтер может вписать в сторону, скажем, «дебета»: 4 р. 38 коп., а в «кредите» по ошибке
поставить 4 р. 83 к., т. е. число, состоящее из тех же цифр, но две из них переставлены. Если других
ошибок нет, то при подведении баланса между дебетом и кредитом всегда будет выходить такая
разница, которая делится на 9. Обратив на это внимание, бухгалтер тотчас должен справиться, не
перепутаны ли где цифры.
Двое поочередно говорят произвольные числа, но не превышающие десяти. Эти числа складываются одно за
другим, и выигрывает тот, кто первый достигнет ста. Сделать так, чтобы всегда первым сказать «сто».
Наперед заданное число есть 100, а числа, которые говорят играющие, не превышают десяти, т. е. можно
называть 10 и всякое меньшее число.
Итак, если первый скажет, например, «7», а второй «10», получится «17»; затем первый говорит, например, «5»,
получится «22»; второй говорит «8», получится «30» и т. д. Победителем будет тот, кто первый получит «100».
Решение.
Чтобы быть победителем, старайтесь только, чтобы вам пришлось сказать число 89. Ясно что, если вы скажете
это число, то, какое бы число (десять или меньше) ни прибавил ваш противник, вы тотчас найдете
соответственное число, добавив которое к полученному противником вы получаете сто и выигрываете.
Но, чтобы суметь всегда сказать «89», а потом, значит, и «100», постарайтесь разобраться в следующих очень
нетрудных рассуждениях.
Начнем отнимать, сколько возможно, от ста по одиннадцати. Получим ряд таких чисел: 89, 78, 67, 56, 45, 34, 23,
12, 1. Или же, если напишем их в порядке возрастания, получим
1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89.
Запомнить эти числа очень легко: стоит только взять предельное число, т.е. 10, и прибавить к нему 1 — получится
11. Затем берем это число и все числа, составленные умножением 11 на 2, на 3, на 4, ..., на 8, — получим 11, 22,
33, 44, 55, 66, 77, 88; увеличим каждое из этих чисел единицей и начнем единицей же ряд. Получим опять-таки
предыдущий, уже написанный нами ряд чисел:
1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89.
Ясно теперь, если вы скажете «1», то, какое бы число (по условию не больше 10) ни сказал другой играющий, он
не помешает вам сказать 12; точно так же вы всегда можете сказать 23, а затем 34, 45, 56, 67, 78 и 89.
Когда вы скажете «89», то, какое бы число (не больше 10) ни сказал ваш соперник, вы говорите «сто» и
выигрываете.
Отсюда видно также, что если оба играющих знают, в чем дело, то выигрывает всегда тот, кто первый скажет
«один», т. е. тот, кто начинает игру.