Занятие 4 «Методика ведения кружковых занятий по математике

Занятие 4 ведет победитель методической олимпиады учителей математики
2011 года Винокуров Андрей Викторович
Тема. Избранные задачи Перельмана для кружковых работ
«Четырьмя тройками»
Очень легко выразить четырьмя тройками число 12:
12 = 3 + 3 + 3 + 3.
Немного хитрее можно составить подобным же образом из четырех
троек числа 15 и 18:
15= (3+3)+ (3×3);
18= (3×3)+ (3×3).
Попробуйте же теперь сами отыскать способы, как составить из
четырех троек числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, 9, 10, короче говоря, все числа от 1 до
10 (почти у каждого числа по несколько способов составления).
ОТВЕТ:
1= (3+3)/(3+3); 1=(3*3)/(3*3); 1=33/33; 1=3-(3+3)/3; 1=(3/3)*(3/3).
2=(3*3-3)/3; 2=3/3+3/3.
3=(3+3+3)/3; 3=3*3-3-3.
4=(3*3+3)/3.
5=3+(3+3)/3; 5=3+3-3/3.
6=(3+3)*3/3; 6=3+3+3-3.
7=3+3+3/3.
8=3*3-3/3; 8=33/3-3.
9=3*3*3/3.
10=3*3+3/3.
Если вы справились с этой задачей и имеете охоту к подобным
головоломкам, попробуйте составить все числа от 1 до 10 четырьмя
четверками. Это нисколько не сложнее, чем
составление тех же чисел из троек.
«Мухи на занавеске»
На
разрисованной
оконной
квадратиками,
занавеске,
уселось
девять мух. Случайно они расположились
так, что никакие две мухи не оказывались
в одном и том же прямом или косом ряду.
Спустя несколько минут три мухи
переменили свое место и переползли в
соседние, незанятые клетки; остальные
шесть остались на местах. И курьезно: хотя три мухи перешли на другие
места, все девять снова оказались размещенными так, что никакая пара не
находилась в одном прямом или косом ряду.
Можете ли вы сказать, какие три мухи пересели и какие квадратики
они избрали?
ОТВЕТ:
«Развертка куба»
Если вы разрежете картонный куб вдоль ребер так, чтобы его можно
было разогнуть и положить всеми шестью квадратами на стол, то получите
фигуру вроде трех следующих:
Сколько различных фигур можно получить таким путем? Другими
словами: сколькими способами можно развернуть куб на плоскости?
ОТВЕТ:
«Десять замков»
В древности один правитель желал
построить 10 замков, соединенных между
собой стенами; стены должны тянуться пятью
прямыми линиями, с четырьмя замками на
каждой
линии.
Приглашенный
строитель
представил план.
Но правитель остался недоволен этим
планом: ведь при таком расположении можно подойти извне к любому
замку, а ему хотелось, чтобы если не все, то хоть один или два замка были
защищены стеной от вторжения извне. Строитель возразил, что нельзя
удовлетворить этому условию, раз 10 замков должны быть расположены по
четыре на каждой из пяти стен.
Но правитель настаивал на своем. Долго ломал строитель голову над
этой задачей и наконец
решил ее. Может быть, и вам посчастливится найти такое расположение 10
замков и пяти соединяющих их прямых стен, чтобы требуемое условие было
удовлетворено?
ОТВЕТ:
Как видно 10 замков расположены здесь, как требовалось в задаче: по
четыре на каждой из пяти прямых стен. В первом случае аж два замка
защищены.
\
«Когда стрелки встречаются?»
В 12 часов одна стрелка покрывает другую. Но вы замечали, вероятно,
что это не единственный момент, когда стрелки часов встречаются: они
настигают друг друга в течение дня несколько раз. Можете ли вы указать все
те моменты, когда это случается?
ОТВЕТ:
Начнем наблюдать за движением стрелок в 12 часов. В этот момент обе
стрелки друг друга покрывают. Так как часовая стрелка движется в 12 раз
медленнее, чем минутная (она описывает полный круг в 12 часов, а минутная
в 1 час), то в течение ближайшего часа стрелки, конечно, встретиться не
могут. Но вот прошел час; часовая стрелка стоит у цифры 1, сделав
долю
полного оборота; минутная же сделала полный оборот и стоит снова у 12 —
на 1/12 долю круга позади часовой. Теперь условия состязания иные, чем
раньше: часовая стрелка движется медленнее минутной, но она впереди, и
минутная должна ее догнать. Если бы состязание длилось целый час, то за
это время минутная стрелка прошла бы полный круг, а часовая 1/12 круга то
есть минутная сделала бы на 11/12 круга больше. Но, чтобы догнать часовую
стрелку, минутной нужно пройти больше, чем часовой, только на ту 1/12
долю круга, которая их отделяет. Для этого потребуется времени не целый
час, а меньше во столько раз, во сколько раз 1/12 меньше 11/12, то есть в 11
раз. Значит, стрелки встретятся через 1/11 часа, то есть через 60/11 = 5
минуты.
Итак, встреча стрелок случится спустя 5
пройдет 1 час, то есть в
5
минуты после того, как
минуты второго. Когда же произойдет
следующая встреча?
Нетрудно сообразить, что это случится спустя 1 час 5
в 2 часа 10
часа 16
минуты. Следующая — спустя еще 1 час 5
минуты, то есть
минуты, то есть в 3
минуты, и т. д. Всех встреч, как легко видеть, будет 11; 11-я
наступит через 1 1/11×11 = 12 часов после первой, то есть в 12 часов;
другими словами, она совпадает с первой встречей, и дальнейшие встречи
повторятся снова в прежние моменты.
Вот все моменты встреч:
1 час 5
минуты
2 часа 10
минуты
3 часа 16
минуты
4 часа 21
минуты
5 часов 27
минуты
6 часов 32
минуты
7 часов 38
минуты
8 часов 43
минуты
9 часов 49
минуты
10 часов 54
минуты
12 часов 00 минуты
Однако у этой задачи есть второй способ решения (с конца):
Чтобы решить этим способом надо ответить на пару вопросов:
Для начала ответьте: сколько раз часовая и минутная стрелки
встречаются за 12 часов?
С помощью наручных или карманных часов легко найти ответ: 11 раз.
А теперь такой вопрос: интервал между встречами стрелок одинаковый
или разный?
Если после каждой встречи стрелок будем поворачивать сам (именно
сам) циферблат, так чтобы 12 попадало, на как раз на место, где встретились
стрелки, мы вернемся к началу всего этого маневра. Отсюда следует, что
интервал между встречами стрелок одинаков.
Исходя из этих умозаключений, следует, что стрелки будут встречаться
каждые
часа.
Заключение
Все представленные задачи идеально подходят для кружковых работ,
так как уровень задач такой, что с ними могут справиться абсолютно все
учащиеся (как начинающие, так и продвинутые) и каждый может сам лично
поучаствовать в решении, выходя к доске и показывая свой вариант решения
(ответа) и продискутировать на счет правильности, тем самым учиться
отстаивать свое мнение.
Советую найди все книги Якова Исидоровича Перельмана:
Занимательная физика, Занимательная астрономия, Живой учебник
геометрии, Новый задачник по геометрии, Ракетой на луну, Занимательная
алгебра,
Занимательная
арифметика,
Занимательная
механика,
Занимательные задачи и опыты, Живая математика
Перельман Я. И.
Яков Исидорович Перельман (Yakov Perelman), один из самых
известных представителей жанра научно-популярной литературы,
родился 4 декабря 1882 года в уездном городе Белостоке
Гродненской губернии в семье счетовода и учительницы. По
окончании начальной школы в 1895 году поступил в Белостокское
реальное училище. Еще будучи студентом училища, в 1899 году
опубликовал свою первую статью "По поводу ожидаемого
огненного дождя" в местной газете "Гродненские губернские
ведомости". В августе 1901 года Перельман поступил в Лесной
институт в Санкт-Петербурге. Уже на первом курсе он начал
сотрудничать с журналом "Природа и люди", дебютировав в нем с
очерком "Столетие астероидов".
Известность к Якову Перельману пришла в 1913 году, после
того как в издательстве Петра Сойкина вышла его первая книга
"Занимательная физика". Книга не только имела невероятный
успех у самого широкого круга читателей, но и было хорошо
принята в академической среде, удостоившись более чем
благосклонных отзывов ученых.
В 1916 году вышла вторая часть "Занимательной физики"
Перельмана. За свою жизнь он опубликовал большое количество
научно-популярных книг, посвященных разным отраслям науки и
техники, многие из которых неоднократно переиздавались и
продолжают переиздаваться и по сей день. Наглядная и образная,
а главное - увлекательная манера изложения принесли его книгам
популярность среди миллионов читателей.
В 1916 году, работая в петроградском Особом совещании по
топливу, Перельман внес предложение в целях экономии топлива
перевести часы на час вперед, таким образом, став первым в
стране, кто предложил ввести так называемое декретное время.
С 1918 по 1923 год Перельман был инспектором отдела Единой
трудовой школы Наркомпроса РСФСР, преподавал в различных
учебных заведениях и составлял учебные программы по физике,
математике и астрономии. Он был членом редакционных коллегий
журналов "Наука и техника", "Педагогическая мысль", работал в
отделе науки ленинградской "Красной газеты", а позднее, в начале
тридцатых годов входил в президиум Ленинградской группы
изучения
реактивного
движения,
где
заведовал
отделом
пропаганды
и
занимался
разработкой
первой
советской
противоградовой ракеты.
В октябре 1935 года в Ленинграде открылся созданный им
уникальный музей - Дом занимательной науки, который в
наглядной и познавательной форме знакомил школьников с
достижениями науки и техники. К сожалению, практически все
экспонаты музея погибли во время войны и в настоящее время
сохранились лишь описания некоторых из них. Во время блокады
Ленинграда немецко-фашистскими войсками, несмотря на голод и
тяжелые условия жизни Яков Перельман продолжал работать над
статьями и книгами, читал лекции по ориентированию на местности
без приборов бойцам Ленинградского и Краснознаменного
Балтийского флота. К несчастью, ему не довелось пережить
блокаду - 16 марта 1942 года Яков Исидорович Перельман
скончался от общего истощения, вызванного голодом.
Быстрый счет
Наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого
устного счета. Они рассчитаны на средние способности и имеют в
виду не публичные выступления на эстраде, а потребности
повседневной жизни.
Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное
овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне
сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или
менее продолжительную тренировку.
Веселые
задачиКнига включает в
себя
оригинальные расчеты, удачные сопоставления с целью побудить к
научному
творчеству,
иллюстрируемые
пестрым
рядом
головоломок, замысловатых вопросов, занимательных историй,
забавных задач, парадоксов и неожиданных параллелей.
Живой учебник геометрии
Перед вами книга известного популяризатора науки Якова
Исидоровича Перельмана "Живой учебник геометрии", которая
очень отличается от известной всем "Занимательной геометрии", главным образом, своей целью: эта книга носит скорее учебный
характер. Однако не торопитесь убирать книгу в долгий ящик.
Это отнюдь не сухое изложение учебного материала.
Изложение "Живого учебника геометрии" особенное, облегчающее
усвоение предмета. Здесь любознательный читатель найдет много
полезного,
интересного
и
доступного
материала,
проиллюстрированного чертежами.
Занимательная алгебраЗадачи с необычными
сюжетами, увлекательные исторические экскурсы и любопытные
примеры из повседневной жизни, несомненно, заинтересуют
читателя.
Занимательная
арифметикаНа
русском
языке имеется целый ряд оригинальных и переводных сборников,
преследующих в общем ту же цель, что и настоящая книга:
оживить школьную математику введением в нее интересных задач,
занимательных
упражнений,
любопытных
теоретических
и
практических сведений...
«Занимательная арифметика» представляет в большей своей
части попытку предложить ряд новых, еще не разрабатывавшихся
сюжетов арифметических развлечений...
Занимательные задачи и опыты
В настоящий сборник вошли материалы из разных книг
выдающего популяризатора науки Я.И. Перельмана, автором или
составителем которых он был.
Юный читатель найдет здесь немало интересных опытов и
задач из области физики, математики, геометрии и другие научные
развлечения.
Лабиринты
Необычайна судьба лабиринтов. Из таинственных сооружений
глубокой древности, назначение которых во многих случаях
составляет для нас загадку, они постепенно превратились в
средство увеселения и развлечения. А в самое последнее время
они неожиданно вновь приобретают серьезное значение: ими
пользуются ученые, как удобным способом изучения природной
сообразительности человека и животных. Исторические судьбы
лабиринтов так же извилисты, как собственные их ходы.
Занимательная математикаВ книгу вошли
математические рассказы и головоломки.
Живая
математикаВ
книге
собраны
разнообразные математические головоломки, из которых многие
облечены в форму маленьких рассказов. Для их решения
достаточно
знакомства
с
элементарной
арифметикой
и
простейшими сведениями из геометрии. Лишь незначительная
часть задач требует умения составлять и решать простейшие
уравнения.