Квадратные уравнения.

Задачи с параметром. От простого к несложному.
Тема 2: Квадратные уравнения (8 класс, до изучения неравенств и
квадратичной функции).
I. Вступление: задания базового уровня (до изучения линейных неравенств).
1) Квадратное уравнение х2 +bx+3=0 имеет один корень, равный 1. Найдите коэффициент b и
другой корень.
2) Квадратное уравнение х2 +4x+с =0 имеет один корень, равный 2. Найдите коэффициент с
и другой корень.
3) При каких значениях параметра с уравнение х2 -10x+с =0 имеет единственное решение?
Для каждого найденного значения параметра с укажите соответствующий ему корень
уравнения.
4) При каких значениях параметра b уравнение х2 +bx+9 =0 имеет единственное решение?
Для каждого найденного значения параметра b укажите соответствующий ему корень
уравнения.
5) При каких значениях параметра m уравнение х2 –(m-2)x+4 =0 имеет единственное
решение?
6) При каких значениях параметра k уравнение х2 - kx+k =0 имеет единственное решение?
7) При каких значениях параметра а уравнение ах2 - 4x+1 =0 имеет единственное решение?
8) При каких значениях параметра а уравнение (2а-1)х2 +8x+2 =0 имеет единственное
решение? Для каждого найденного значения параметра а укажите соответствующий ему
корень уравнения.
9) При каких значениях параметра а уравнение (а2-1)х2 +2(а+1)x+3 =0 имеет единственное
решение?
10) Один из корней квадратного уравнения х2 +3x+с =0 больше другого на 1. Найдите корни
уравнения и коэффициент с.
11) Отношение корней квадратного уравнения х2 +bx+6 =0 равно 3. Найдите корни
уравнения и коэффициент b.
II.
Количество корней уравнений, сводимых к квадратным.
1) При каком значении параметра а уравнение
x2  2x  a
0
x2
имеет
единственное решение? Для каждого найденного значения параметра а укажите
соответствующий ему корень уравнения.
2) При каком значении параметра а уравнение
единственное решение?
3) При каком значении параметра с уравнение
x 2  (a  1) x  1
0
x2  x
(1  c) x 2  6 x  2
0
x2  x  6
имеет
имеет
единственное решение? Для каждого найденного значения параметра с укажите
соответствующий ему корень уравнения.
4) При каком значении параметра m уравнение
решения?
x 2  4x
0
x 2  2x  m
имеет два
5) При каком значении параметра m уравнение
x 2  2x  3
0
x 2  mx  m 2  3
имеет два
решения?
6) При каких значениях параметра а уравнение (х2 - аx+9)(х+2) =0 имеет ровно два корня?
Для каждого найденного значения параметра а укажите соответствующие ему два корня
уравнения.
7) При каких значениях параметра а уравнение х3 – x2+ах =0 имеет ровно два корня? Для
каждого найденного значения параметра а укажите соответствующие ему два корня
уравнения.
8) При каких значениях параметра а уравнение (а-2)х3 –2x2 - х =0 имеет ровно два корня?
Для каждого найденного значения параметра а укажите соответствующие ему два корня
уравнения.
9) При каких значениях параметра а уравнение ах3 +4x2 +а х =0 имеет ровно два корня? Для
каждого найденного значения параметра а укажите соответствующие ему два корня
уравнения.
10) При каких значениях параметра а уравнение (х2 - аx+9)(х+2) =0 имеет ровно два корня?
Для каждого найденного значения параметра а укажите соответствующие ему два корня
уравнения.
11) При каких значениях параметра с уравнение ((с+3)х2 - 8x+32)(х2-1) =0 имеет ровно три
корня? Для каждого найденного значения параметра с укажите соответствующие ему три
корня уравнения.
III.
Выражение корней квадратного уравнения через параметр.
1) Решите уравнение (найдите, при каких значениях параметра уравнение корней не имеет, а
при каких имеет, в этом случае выразите корни через параметр): х2 + c =0.
2) Решите уравнение (найдите, при каких значениях параметра уравнение корней не имеет, а
при каких имеет, в этом случае выразите корни через параметр): х2 + bx =0.
3) Решите уравнение (найдите, при каких значениях параметра уравнение корней не имеет, а
при каких имеет, в этом случае выразите корни через параметр): aх2 – 2x =0.
4) Решите уравнение (найдите, при каких значениях параметра уравнение корней не имеет, а
при каких имеет, в этом случае выразите корни через параметр): х2 – (а+1)x+а =0.
5) Решите уравнение (найдите, при каких значениях параметра уравнение корней не имеет, а
при каких имеет, в этом случае выразите корни через параметр): х2 – 3аx + 2а2 =0.
6) Решите уравнение (найдите, при каких значениях параметра уравнение корней не имеет, а
при каких имеет, в этом случае выразите корни через параметр): х2 – x – а2+а =0.
7) При каком значении параметра а уравнение
единственное решение?
x 2  a(a  1) x  a 3
0 .
x 2  5x  4
x 2  4ax  3a 2
0.
9) Решите уравнение 2
x  a 2  4a  4
8) Решите уравнение
x 2  (2a  2) x  4a
0
x 2  (a  2) x  2a
имеет