условие остальных задач ВШЭ

Помощь студентам Высшей школы экономики,
электронного университета jBASE
учащимся ЗФТШ - ФЗФТШ при МФТИ
заочникам и вечерникам вузов
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ ИСПЫТАНИЕ
ПО МАТЕМАТИКЕ (профилирующий)
ОБРАЗЕЦ ТЕСТА
подготовлю в Высшую школу экономики
Тест состоит из 30 заданий и расчитан на 90 минут.
 y  x 2

y x
1. Сколько решений имеет система 
?
1) одно 2) два 3) три 4) четыре или больше 5) решений нет
9
2. Сумма всех различных корней уравнения
1) 6 2) 7 3) 3
4) 4
5) 5
x


 9 3 x  81
0
x2
равна
3. Ротвейлеры, составляющие 25% числа всех собак в вольере, получают
52% корма, остальное получают таксы. Один ротвейлер получает корма,
больше чем одна такса, на
1) 500% 2) 125% 3) 225% 4) 250% 5) 375%
4. Решите уравнение x  log 7 8  log 7 16 .
3
3
x
2 4)
4 5) корней нет
1) x  2 2)
3)
5. Наименьшее значение функции f ( x)  log 2 xlog 2 x  10  27 равно
x
4
3
x
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
6. Укажите приведенное квадратное уравнение, один из корней
которого равен сумме, а второй равен произведению корней уравнения
x 2  3 x  10  0 .
2
2
2
2
1) x  13x  30  0 2) x  7 x  30  0 3) x  7 x  3  0 4) x  10 x  3  0
2
5) x  10 x  30  0
7. Производная функции
f ( x)  sin x  sin 7 x  sin 13x  sin 19x  ...  sin 6k  1x  ...  sin 43x  sin 49x
в точке
x  0 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0
8. Прямая, касающаяся графика параболы y  x  8x  12 в точке,
лежащей на оси абцисс, пересекает ось ординат в точке (0; Y), причем
2
Y<0. Укажите остаток от деления натурального числа Y на 5.
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0

6   log 7 13 9

1
3

49 
 равно натуральному числу,
9. Значение выражения
остаток от деления которого на 5 равен
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0
10. Если радиус окружности, описанной около прямоугольного
треугольника, равен 5, один из катетов равен 6, число r равно радиусу
вписанной в этот треугольник окружности, то
1) r  0;1,1 2) r  1,1;2,2 3) r  2,2;3,3 4) r  3,3;4,4 5) r  4,4;999
11. Все корни уравнения sin x  cos x образуют множество
1)


4
 n

2) 4
 n
3
 2n
3) 4

4) 4
 2n
5
 2n
5) 4
,
n
x 3  3x 2 p  3xp 2  p 3
8

3
2
2
3
12. Если x  3x p  3xp  p 27 и x  35 , то значение величины p равно
натуральному числу, остаток отделения которого на 5 равен
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0
13. Наименьшее положительное значение параметра k, при котором
x  x  16  kx
уравнение
имеет ровно два различных корня, равно
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0
4
6
14. Наибольшее значение функции f ( x)  cos x  cos x равно
2
1)
2
4
2) 27
27
3)
3
9
2
4) 9
3
5)
3
4
15. Наибольшее значение параметра
p,
при котором уравнение
x  6 x  9 x  10  p
3
2
имеет ровно два различных корня,
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
равно
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0
16. Все решения неравенства
sin 4 x  cos 4 x 
3
4 образуют множество
  m  m 
  m  m 
  m 5 m 
; 
; 
;

 

 

 

1)  12 2 12 2  2)  6 2 6 2  3)  12 2 12 2 
  m  m 
  m  m 
; 
; 
 

 

8
2
8
2
6
2
3
2

 , m


4)
5)
17. Сумма всех различных целочисленных значений параметра p , при
x 2  5 px  4 p 2
0
2
котором уравнение x  12 x  32
имеет ровно один корень, равна
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
1) 1 2) 2 3) 3
4) 4 5) 0

8
9
10
f ( x)  4 x  x 3  x 9  x 27  ...  x 3   x 3   x 3 

18. Производная функции
в
x

1
точке
равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5
равен
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0
19. Все значения параметра p , при которых число x  9 расположено
2
между корнями уравнения x  3 p  6x   p  32 p  3  0
промежуток, длина которого равна d , причем
образуют
1) d  0;1,7 2) d  1,7;2,3 3) d  2,3;3,7 4) d  3,7;4,6 5) d  4,6;999
20.
Число
S равно сумме всех различных корней уравнения
9 x  3 x7  364  9 x  3 x7  254 .
Укажите остаток
ближайшего к S+100 натурального числа.
от
деления
на
5
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0
21. Если X 1 и X 2 - два наименьших положительных корня уравнения
sin x  sin 3x  sin 5x  sin 7 x  sin 9x  sin 11x  sin 13x  sin 15x  0 ,
то
значение
выражения   X 1  X 2
которого на 5 равен
1
1

равно натуральному числу, остаток от деления
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0
22. Функция y  x  12  2 x достигает своего наибольшего значения
при x равном
3
3) 2
5
4) 2
7
5) 4
1) 2 2) 3
23. Произведение всех различных значений параметра p , при которых
уравнение  p  8 p  136x  2 px  1  0 имеет единственный корень, равно
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
2
2
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0
24. Сумма всех различных целочисленных положительных корней
 49  6 x 
уравнения 2 x  11
остаток от деления которого на 5 равен
log7  49 6 x 
log7  2 x 11
равна натуральному числу,
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0
25.
Параметры
p  0, q  0, r
выбраны
так,
что
система
 p  4x  q  5 y  2r

q  5x   p  4 y  1 имеет бесконечное множество решений. Найдите
наибольшее возможное при этих условиях значение величины 6 pq и
укажите остаток от деления на 5 ближайшего натурального числа.
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0
26.
Если
число
S
равно
площади
фигуры
на
плоскости
6  36  x  y  6  6 x  x , то
2
2
1) S  0;8,3 
2) S  8,3 ;10,8 
5) S  14,8 ;999 
3) S  10,8 ;12,3 
4) S  12,3 ;14,8 
27. Наименьшее значение параметра
 y  cos2 arcsin x 

p
 2
2
 x  y  32
имеет
ровно
два
p,
при котором система
различных
решения,
равно
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0
28. Площадь трапеции равна 49, длины оснований относятся как 2 : 3.
Прямая, не параллельная основанию, делит боковые стороны в
отношении 4 : 3. Площадь большего четырехугольника равна
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0
29. Условия размещения вклада в паевом фонде таковы, что первые 2
года вклад уменьшается на 3x% в год, последующие 5 лет вклад
увеличивается на 4x% в год, причем величину x  0;30 вы можете
выбрать сами. При каком значении x через 7 лет прирост вклада будет
наибольщим? Укажите верное утверждение
1) x  0;11
30.
2) x  11;12
Пусть
xn
и
3) x  12;14
yn
x1  4, xn1  arcsin 0,5  0,5 cosxn 
-
4) x  14;18
5) x  18;30
последовательности,
в
которых
при всех n  1, y n  x1  x2  x3  ...  xn (всего n
слагаемых), число p равно наименьшему натуральному числу, которое
больше y n при всех n  1 . Укажите остаток от деления числа p на 5.
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0
Ответы по математике для экономистов
Тест
№ ответа
№ задачи
1
2
1
3
4
№ ответа
5
Х
2
Х
3
Х
№ задачи
Х
29
5
Х
30
31
Х
8
Х
9
10
35
11
13
34
Х
Х
12
36
Х
37
Х
14
32
33
Х
38
Х
39
15
Х
40
16
Х
41
17
Х
42
18
Х
43
19
Х
44
20
Х
21
22
Х
23
24
25
45
46
Х
47
Х
48
Х
49
Х
4 5
27
Х
7
3
Х
28
Х
2
26
4
6
1
50
Х
Х
Х