Методы решения уравнений высших степеней.

Приложение №1
Методы решения уравнений высших степеней.
1.
Разложение многочлена на множители.
Пример 1. Решите уравнение х3 – 9х + х2 – 9=0.
Способ решения данного уравнения - разложение на множители способом
группировки.
(х3+х2)-(9х+9)=0
х2(х+1)-9(х+1)=0
(х+1)(х2-9)=0
(х+1)(х-3)(х+3)=0
Ответ: -3; -1; 3.
Пример 2. Решите уравнение х3 – 6х2 + 11х – 6=0.
Способ решения данного уравнения – разложение на множители с помощью
теоремы Безу. Один корень найдём подбором. Их следует искать среди делителей
свободного члена данного многочлена ±1, ±2, ±3, ±6. Но т.к. сумма коэффициентов
многочлена равна 0, то его корнем является 1.По теореме Безу: остаток от деления
многочлена Р(х) на двучлен (х-а) равен Р(а); если а – корень многочлена Р(х), то
многочлен делится на (х-а) без остатка. Разделим многочлен 3 степени на двучлен
(х-1).
х3-6х2+11х-6=(х-1)(х2-5х+6)
(х-1)(х2-5х+6)=0
Ответ: 1, 2, 3.
Пример 3. Решите уравнение х5 – 5х4 – 9х3 + 41х2 + 32х – 60=0.
Решим с помощью схемы Горнера. Делители свободного коэффициента:
, но это
очень большое
количество делителей, поэтому можно воспользоваться тем, что если сумма
коэффициентов равна 0, то один из корней 1.
1-5-9+41+32-60=0 1 – корень.
1
-5
-9
41
32
-60
1
1
-4
-13
28
60
0
2
1
-2
-17
-6
48
3
1
-1
-16
-20
0
4
1
3
-4
-36
5
1
4
4
0
–
–
(х – 1) (х – 3) (х – 5) (х2 +4х + 4) = 0
(х – 1) (х – 3) (х – 5) (х + 2)2 = 0
х – 1 = 0, или х – 3 = 0, или х – 5 = 0,
х=1
х=3
х=5
Ответ: -2; 1; 3; 5.
2.
или (х + 2)2 = 0,
х=–2
Метод замены переменной.
Пример 4. Решите уравнение (х2 – 9)2 – 8(х2 – 9) + 7 = 0.
Введем новую переменную, обозначив х2-9=t, тогда получаем: t2-8t+7=0, t1=1; t2=7.
Возвращаемся к исходной переменной х2 – 9 = 1, х = ±
; х2 – 9 = 7, х = ±4.
Ответ: ±
; ±4.
Пример 5. Решите уравнение х(х + 1)(x + 2)(x + 3) = 24.
Перемножим первый и четвёртый множители, второй и третий.
Получим (х2 + 3х)(x2 + 3x + 2) = 24.
Вводим замену: x2 + 3x = t, тогда t(t + 2) = 24, t2 + 2t – 24 = 0, t1 = -6; t2 = 4.
Возвращаемся к исходной переменной, получим: x2 + 3x = -6, x2 + 3x + 6 = 0, D < 0,
уравнение не имеет действительных корней.
Уравнение x2 + 3x = 4 имеет корни х1 = -4, х2 = 1.
Ответ: -4; 1.
Пример 6. Решите уравнение х4 +5х3+6х2+5х+1=0.
(Возвратное или симметричное уравнение – это уравнение, в котором
коэффициенты, равностоящие от концов, равны.) Способ решения данного
уравнения – деление правой и левой частей уравнения на х2.
t 2-2+5t +6=0
t 2 + 5t + 4 = 0
t1= -4; t2= -1
, корней нет.
Ответ:
.
Пример 7. Решите уравнение х5+6х4+11х3+11х2+6х+1=0.
Возвратное уравнение нечётной степени имеет корень х= -1 (применим теорему
Безу), после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения на
двучлен (х+1) приводится к возвратному уравнению чётной степени.
(х+1)(х4+5х3+6х2+5х+1)=0 (см. предыдущий пример)
Ответ: – 1;
3.
.
Функционально-графический метод.
Пример 8. Решите уравнение х5 + 3х3 = 11
– х.
Построим в одной системе координат графики функций у = х5 + 3х3 и у = 11
– х.
1) у = х5 + 3х3;
у/ = 5х4 + 9х2 ≥ 0 ⇒ функция возрастает на множестве
действительных чисел;
2) у = 11 – х; у/ = – 1 < 0 ⇒ функция убывает на множестве действительных
чисел.
Значит, уравнение имеет единственный корень
Ответ: .
.