Лекция 9. Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ Содержание лекции: 1. 2. 3. 4. Неоклассическая микроэкономическая модель хозяйствующего субъекта Оптимальные объёмы потребления ресурсов и выпуска продукции Функциональная матрица задачи математического программирования в точке оптимума и её свойства Анализ компенсационных эффектов при анализе потребительского спроса Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ (с) Н.М. Светлов, 2007 Литература Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. — Раздел 4.3. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева. — 2-е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. — Глава 8.1. Гатаулин А.М., Светлов Н.М. Стоимость, равновесие и издержки в сельском хозяйстве. М.: ФГОУ ВПО РГАУ–МСХА им. К.А. Тимирязева, 2005. — Раздел 3.3. Mas-Colell А., Whinston M.D., Green J.R. Microeconomic Theory. New-York, Oxford: Oxford University Press, 1995. — Главы 3…6. Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ (с) Н.М. Светлов, 2007 2/10 9.1 Неоклассическая микроэкономическая модель хозяйствующего субъекта max wy vx x ,y y Y ( x) x ‡ 0; y ‡ 0 x – затраты ресурсов (по видам) y – выпуск продукции (по видам) v – цены ресурсов w – цены продукции Если предположить (упрощая), что Y ( x ) содержит единственный вектор при любом x , то можно записать max wy vx x ,y y f ( x) x ‡ 0; y ‡ 0, Линейная целевая функция Обычно считается: • выпуклой; • строго возрастающей по любому xi; • дважды дифференцируемой; • проходящей через начало координат где f ( x ) – производственная функция Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ (с) Н.М. Светлов, 2007 3/10 9.2 Оптимальные объёмы потребления ресурсов и выпуска продукции Функция прибыли : p ( v, w ) max(wy vx | y f ( x)) x,y Если верны предположения предыдущего слайда, то функция прибыли: – выпукла; – линейно однородна первой степени, т.е. p (kv, kw ) kp( v, w ) при k 0. Функция ресурса i: xi ( v, w ) xi | max(wy vx | y f (x)) , где x ( xi ), x,y при том же предположении: – линейно однородна нулевой степени, т.е. xi (kv, kw ) xi ( v, w ); Функция выпуска j: y j ( v, w ) f j (x( v, w )), где x( v, w ) ( xi ( v, w )), f ( x) ( f j ( x)), при том же предположении: – линейно однородна нулевой степени. Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ (с) Н.М. Светлов, 2007 4/10 Лемма Хотеллинга 9.2 Имеются данные о прибылях фирм и ценах Данных о ресурсах и выпуске нет Фирмы используют одни и те же технологии Поведение фирм хорошо согласуется с неоклассической моделью ? Выполнить статистическую оценку функций ресурсов и выпуска p ( v, w ) xi ( v, w ) vi p ( v, w ) y j ( v, w ) w j Решение: обосновываем функциональную форму функции прибыли выполняем статистическую оценку её параметров дифференцируем её по ценам Возможно и решение обратной задачи Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ (с) Н.М. Светлов, 2007 5/10 9.2 Проверка гипотезы о соответствии фирмы неоклассической модели Требуются данные о прибылях фирм, ресурсах, выпусках и ценах Выбираем функциональную форму для функции прибыли и статистически оцениваем её параметры Дифференцируя функциональную форму функции прибыли по ценам, получаем формы для функций выпуска и ресурсов Статистически оцениваем параметры функций выпуска и ресурсов Гипотеза отвергается, если различие в оценках одних и тех же параметров, входящих в функции прибыли, выпуска и ресурсов, является значимым (т.е. не остаётся в пределах, объяснимых случайностью) • Величина отклонения не должна выходить за границы интервала, охватывающего 95% вероятности возможных значений параметра • Для выяснения этого вопроса используется информация о дисперсии оценки параметра и предположение об её нормальном распределении В противном случае нет оснований отвергнуть гипотезу • Это не значит, что она безусловно верна; но имеющимся данным она не противоречит, и есть основания пользоваться ею в практических приложениях, пока (если) она не будет отвергнута другими исследователями на другом (более подробном?) материале. Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ (с) Н.М. Светлов, 2007 6/10 Функциональная матрица задачи математиче9.3 ского программирования max z ( x1 , x2 , , xn ) q ( x , x , , x ) „ 0 n 1 1 2 q2 ( x1 , x2 , , xn ) „ 0 qm ( x1 , x2 , , xn ) „ 0 z x q1 1 x1 q2 x1 qm x 1 z x2 q1 x2 q2 x2 qm x2 z xn q1 xn q2 xn qm xn Функциональная матрица состоит из функций Если указана конкретная точка ( x1 , x2 , , xn ), то функции можно заменить конкретными значениями Нас будут интересовать не любые точки, а точки Куна -Таккера Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ (с) Н.М. Светлов, 2007 7/10 9.3 max z ( x1 , x2 , , xn ) q (x , x , , x ) „ 0 n 1 1 2 q ( x , x , , x 2 1 2 n)„ 0 qm ( x1 , x2 , , xn ) „ 0 z x 1 q1 x1 q 2 x1 qm x 1 z x2 q1 x2 q2 x2 qm x2 z xn q1 xn q2 xn qm xn Каждая строка функциональной матрицы представляет собой вектор-градиент соответствующей функции (левой части неравенства или целевой функции) в данной точке Условия Куна-Таккера предъявляют определённые требования к векторам-градиентам функций, которые соответствуют целевой функции либо ограничениям, выполняющимся как строгие равенства Ранг функциональной матрицы, составленной для этих функций, в т.К.Т. окажется меньше числа её строк (в других точках – равен). Это означает, что из градиентов ограничений путём линейной комбинации можно составить градиент, направленный противоположно градиенту целевой функции • Чтобы его составить, нужно сложить векторы-градиенты ограничений, умноженные на соответствующие множители Лагранжа Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ (с) Н.М. Светлов, 2007 8/10 9.3 Приближение градиента целевой функции к положению, соответствующему условиям К.-Т., аналогично сокращению конечного потребления в МОБ Для любого минора ф.м., содержащего строки Конечное ПроПроПродля ц.ф. и всех ограничений, выполняющихся в Цены потреблецесс 1 цесс 2 цесс 3 т.К.Т. как строгие равенства, выполняется ние теорема о балансовой системе 401,01 7,142 Благо 1 – – 598,99 Если2ограничения означают 400,01то 2,641 Благо 2000ЗМП –2500 99,99ресурсы, компоненты данного минора означают 2551 Благо 3 3449 1,376 удельные затраты–ресурса на–6000 единицу Финансовый переменной в окрестности т.К.Т. баланс 1859,47 3712,90 –7430,67 Значит, согласно ТБС,1858,30 прирост значения любой 1 переменной, необходимый для увеличения выпуска (снижения расходования) ПроПро- благ Про- вПроПроПроокрестности т.К.Т., объясняет пропорции цесс 1 цесс 2 цесс 3 цесс 4 цесс 5 цесс 6 множителей Лагранжа Теорема о балансовой системе Благо 1 – 598,99 380 Конечное потребление Цены 1 0,01 7,142 – 50 – Благо 5 0,499 – – 99 –100 это и обозначает, что из них складывается градиент, Благо 6 0,5 0,5 1 – направленный противоположно градиенту целевой. 1 – 1 2 0,5 –3 0,01 – – 0,001 – 2,641 1,376 1,856 2,161 4,437 – –0,1 1 То есть цен:Финансовый см. слайд 10 лекции 7 баланс 0,09 – 0,009 – Цены несут информацию о степени роста масштаба системы, требуемого для выпуска единицы блага 10,348 1,459 1,057 8,473 4,237 0,917 4,871 2,435 1,765 20 компоненты Благо обратной матрицы, по ТБС, 2 2000 –2500 99,99 400 стремятся к решению системы уравнений Yp=0 Благо 3 – 3449 –6000 2500 (см. слайд 11 лекции 2), которым в нашем случае Благо 4 1000 1000 1998 –4000 будет вектор множителей Лагранжа – (–7430,67)B = Так дело обстоит не только в линейном межотраслевом балансе – так происходит в любой хозяйственной системе, если только она представима в форме задачи математического программирования 0,001 (–0,1)B = 7,1424 2,6415 1,3759 1,8561 2,1608 4,4370 7,1424 2,6415 1,3759 1,8561 2,1608 4,4369 7,1424 2,6415 1,3759 1,8561 2,1608 4,4370 7,1424 2,6415 1,3759 1,8561 2,1608 4,4370 7,1423 2,6415 1,3759 1,8561 2,1618 4,4371 7,1424 2,6415 1,3759 1,8561 2,1611 4,4703 Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ (с) Н.М. Светлов, 2007 9/10 9.4 Анализ компенсационных эффектов при анализе потребительского спроса Изучите самостоятельно Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. — Раздел 4.3. Знать (либо повторить): • • • • • Понятие «задача потребительского выбора» Виды (функциональные формы) функции полезности Использование метода Лагранжа для отыскания оптимума потребителя на двухпродуктовом рынке Понятия эффекта дохода и эффекта замены Уравнение Слуцкого и его смысл Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева. — 2-е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. — Глава 8.1, параграф «Функции потребительского спроса» Знать понятия «кривые Энгеля» и «функции Торнквиста» Знать классификацию товаров по Торнквисту Экономические приложения выпуклого программирования: теоретический анализ (с) Н.М. Светлов, 2007 10/10